1128有限元講稿第四章等效載荷rev4

1、第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-1工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-2工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q有限元法是有限元法是以節(jié)點(diǎn)處的以節(jié)點(diǎn)處的“力平衡條件力平衡條件”建立求解方程的建立求解方程的，因此當(dāng)單元內(nèi)，因此當(dāng)單元內(nèi)部存在體力或邊界上存在面力時(shí)，必須通過某種方式將這些載荷轉(zhuǎn)移變部存在體力或邊界上存在面力時(shí)，必須通過某種方式將這些載荷轉(zhuǎn)移變換到單元的節(jié)點(diǎn)處。換到單元的節(jié)點(diǎn)處。q在有限元法中，在有限元法中，采用采用“靜力等效原則靜力等效原則”進(jìn)行等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算

2、進(jìn)行等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算。所謂。所謂“靜力等效原則靜力等效原則”是指，對(duì)任意虛位移，原來載荷與轉(zhuǎn)換后的節(jié)點(diǎn)載荷在是指，對(duì)任意虛位移，原來載荷與轉(zhuǎn)換后的節(jié)點(diǎn)載荷在同一虛位移上的虛功相等。同一虛位移上的虛功相等。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-3工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q設(shè)有設(shè)有一均質(zhì)、等厚度的三角形單元一均質(zhì)、等厚度的三角形單元i,j,k受重力受重力w的作用的作用，其合力作用在，其合力作用在單元的形心，試根據(jù)單元的形心，試根據(jù)靜力等效原則求轉(zhuǎn)換到節(jié)點(diǎn)上的等效載荷靜力等效原則求轉(zhuǎn)換到節(jié)點(diǎn)上的等效載荷。oxyijmyiibccw1、假設(shè)單元產(chǎn)生

3、以下幾何容許的虛假設(shè)單元產(chǎn)生以下幾何容許的虛位移：位移： 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i只沿只沿y方向移動(dòng)單位方向移動(dòng)單位1； 而其余兩而其余兩節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)j,k為鉸支約束為鉸支約束2、由于位移模式為線性函數(shù)變化由于位移模式為線性函數(shù)變化，當(dāng)當(dāng)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)i移動(dòng)后，單元內(nèi)部移動(dòng)后，單元內(nèi)部bi線段線段上上各點(diǎn)位移均按直線移動(dòng)，即變形后各點(diǎn)位移均按直線移動(dòng)，即變形后仍為仍為直線直線bi；3、重力、重力w作用在形心作用在形心： bc/bi=1/3 當(dāng)當(dāng)ii=1，則形心則形心c沿沿y移動(dòng)：移動(dòng)： cc/ii=bc/bi=1/3 4 4、所以可得：、所以可得： -w 1/3=yi 1，yi=w/3； 同理可得：同理可得： yj=

4、w/3，yk=w/3；第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-4工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q幾種載荷的等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算。幾種載荷的等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算?？紤]單元中某一點(diǎn)考慮單元中某一點(diǎn)(x,y)作用有集中載荷作用有集中載荷p： p=px, pyt對(duì)應(yīng)等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣為：對(duì)應(yīng)等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣為：re=xi, yi, xj, yj, xk, ykt單元內(nèi)部產(chǎn)生虛位移，集中載荷作用點(diǎn)單元內(nèi)部產(chǎn)生虛位移，集中載荷作用點(diǎn)(x,y)的虛位移為：的虛位移為： f= u, vt對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)虛位移為：對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)虛位移為： e= ui, vi, uj, vj, uk, vkt

5、由位移模式有：由位移模式有： f=n e利用虛位移原理可得：利用虛位移原理可得：( e)tre= ftp=(n e)tp利用矩陣乘積逆序法則：利用矩陣乘積逆序法則：( e)tre=( e)tntp由于虛位移是任意的，則有：由于虛位移是任意的，則有： re=ntp 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-5工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q如果單元上有體力作用如果單元上有體力作用，沿，沿x,y方向的體力分量為方向的體力分量為p=x, yt，相當(dāng)于在點(diǎn)相當(dāng)于在點(diǎn)(x,y)處作用處作用集中力為集中力為ptdxdy，則等效節(jié)點(diǎn)載荷為：則等效節(jié)點(diǎn)載荷為： vte

6、tdxdypnrq如果單元某邊界受有面力如果單元某邊界受有面力q作用作用，沿，沿x,y方向方向的面力分量為的面力分量為q=qx, qyt，若若將將微元體微元體tds上的面力上的面力qtds當(dāng)作集中當(dāng)作集中載荷載荷p，相當(dāng)于相當(dāng)于在邊界點(diǎn)在邊界點(diǎn)(x,y)處作用集中處作用集中力為力為p=qtds，則等效節(jié)點(diǎn)載荷為：則等效節(jié)點(diǎn)載荷為： ijtetdsqnr第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-6工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q對(duì)結(jié)構(gòu)分析建立整體剛度矩陣的方法，是利用單元對(duì)結(jié)構(gòu)分析建立整體剛度矩陣的方法，是利用單元“節(jié)點(diǎn)的平衡方程節(jié)點(diǎn)的平衡方程”。用具體

7、例題說明如下。用具體例題說明如下。aaaa123456x2x1y1ijmijmmijjim1234由于該結(jié)構(gòu)有由于該結(jié)構(gòu)有6個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)自節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)自由度為由度為12，即需要確定的節(jié)點(diǎn)位，即需要確定的節(jié)點(diǎn)位移參量為移參量為12個(gè)個(gè)，應(yīng)列出，應(yīng)列出12個(gè)線性個(gè)線性方程方程。這樣，線性方程組的系數(shù)。這樣，線性方程組的系數(shù)矩陣，也即總剛度矩陣有矩陣，也即總剛度矩陣有12 12個(gè)元素個(gè)元素，按，按(x, y)分塊后有分塊后有6 6子子矩陣。矩陣。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-7工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q按節(jié)點(diǎn)編號(hào)列出總剛陣結(jié)構(gòu)按節(jié)點(diǎn)編號(hào)列

8、出總剛陣結(jié)構(gòu)，每一個(gè)子陣先用零表示：，每一個(gè)子陣先用零表示： aaaa123456x2x1y1ijmijmmijjim1234 654321654321666564636261655554535251644554434241633534333231622524232221161514131211ffffffuuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk如果取如果取u u1 1=1=1，其余其余u u2 2= =u=u6 6=0,=0,則有：則有： k k1111= f f1 1； k k2121= f f2 2； k k6161= f f6 6；則則 k

9、k1111 表示表示節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1 1作用單位作用單位1 1位移位移時(shí)，時(shí)，在在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)1 1產(chǎn)生的載荷產(chǎn)生的載荷，其余類推。，其余類推。=1=0=0=0=0=0第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-8工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q建立每個(gè)單元的剛度矩陣，如對(duì)單元可表示為：建立每個(gè)單元的剛度矩陣，如對(duì)單元可表示為： aaaa123456x2x1y1ijmijmmijjim1234 mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk)3(注意單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)注意單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)(i,j,m)與整體節(jié)點(diǎn)編與整體節(jié)點(diǎn)編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： (i, j

10、, m)=(5, 3, 2) 當(dāng)許多單元共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，作用在當(dāng)許多單元共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，作用在該節(jié)點(diǎn)的合力就是每個(gè)單元?jiǎng)傟囍性摴?jié)點(diǎn)的合力就是每個(gè)單元?jiǎng)傟囍芯呔哂邢嗤聵?biāo)子矩陣有相同下標(biāo)子矩陣kij的迭加的迭加，也就是也就是總剛陣中具有相同下標(biāo)的元素，總剛陣中具有相同下標(biāo)的元素，即：即： eeijijkk第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-9工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q建立每個(gè)單元的剛度矩陣，如對(duì)單元可表示為：建立每個(gè)單元的剛度矩陣，如對(duì)單元可表示為： mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk)3(注意單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)注意單元節(jié)點(diǎn)編

11、號(hào)(i,j,m)與整體節(jié)點(diǎn)編與整體節(jié)點(diǎn)編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系： (i, j, m)=(5, 3, 2) 其中，其中，kii=k55表示單元表示單元的的節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5作用單位位移時(shí)在作用單位位移時(shí)在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與它應(yīng)與總剛陣子陣總剛陣子陣k55迭加迭加；kij=k53表示單元的表示單元的節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)3作用單位位移時(shí)在作用單位位移時(shí)在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與總剛陣子陣總剛陣子陣k53迭加迭加；kij=k52表示單元的表示單元的節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2作用單位位移時(shí)在作用單位位移時(shí)在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力；它應(yīng)與總剛陣子陣總剛陣子陣k52迭

12、加迭加等，等， 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-10工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q即即“相同下標(biāo)的單元子陣元素相加相同下標(biāo)的單元子陣元素相加”就可以得到該結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣元素為就可以得到該結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣元素為： k11=k11(1)，k12=k12(1) ，k13=k13(1)；k21=k21(1)，k22=k22(1)+ k22(2)+ k22(3)，k23=k23(1)+ k23(3)；k31=k31(1)，k32=k32(1)+ k32(3)，k33=k33(1)+ k33(3)+ k33(4)；k42=k42(2)，k44=k44

13、(2)，k45=k45(2)；k52=k52(2)+k52(3),k53=k53(3)+k53(4),k54=k54(2)，k55=k55(2)+k55(3)+k33(4)，k56=k56(4)k63=k63(4)，k65=k65(4)，k66=k66(4)； aaaa123456x2x1y1ijmijmmijjim1234第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-11工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q如果取如果取泊松比泊松比 =0，可得單元、的單元?jiǎng)偠染仃囀窍嗤模?，可得單元、的單元?jiǎng)偠染仃囀窍嗤?，均為如下形式：為如下形式?)4 , 3 , 2

14、, 1( ,1011010202001031211213010020201011014eetke第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-12工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q利用這個(gè)結(jié)果，將相應(yīng)的子陣代入總剛陣計(jì)算式中，經(jīng)整理后可得該結(jié)構(gòu)的利用這個(gè)結(jié)果，將相應(yīng)的子陣代入總剛陣計(jì)算式中，經(jīng)整理后可得該結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣為如下形式總剛度矩陣為如下形式：1021061216001030012130041006101200160001202160010111416000000002020000001011014etk對(duì)稱對(duì)稱第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)

15、靜力分析october 9, 2004第四章-13工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q最后獲得的線性代數(shù)方程為：最后獲得的線性代數(shù)方程為：6655443322116655443322111021061216001030012130041006101200160001202160010111416000000002020000001011014yxyxyxyxyxyxffffffffffffvuvuvuvuvuvuet對(duì)稱對(duì)稱第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-14工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q在建立了結(jié)構(gòu)總剛度矩陣后，就可以建立節(jié)點(diǎn)位移所滿足的線性

16、方程：在建立了結(jié)構(gòu)總剛度矩陣后，就可以建立節(jié)點(diǎn)位移所滿足的線性方程： k =r 式中，式中， 為全部節(jié)點(diǎn)位移列陣，為全部節(jié)點(diǎn)位移列陣，r為為全部節(jié)點(diǎn)載荷列陣。但由于沒有代入邊全部節(jié)點(diǎn)載荷列陣。但由于沒有代入邊界條件，這個(gè)方程組的解是不確定的。界條件，這個(gè)方程組的解是不確定的。q從線性代數(shù)理論上講，上述線性方程組是奇異的，即線性代數(shù)方程組的從線性代數(shù)理論上講，上述線性方程組是奇異的，即線性代數(shù)方程組的系數(shù)系數(shù)矩陣的行列式的值為零矩陣的行列式的值為零detk=0，因此線性代數(shù)方程組無法求解。，因此線性代數(shù)方程組無法求解。q這一點(diǎn)從力學(xué)意義上理解，是因?yàn)椴捎梦灰品ㄇ蠼鈺r(shí)，如果對(duì)受載結(jié)構(gòu)不引這一點(diǎn)從力

17、學(xué)意義上理解，是因?yàn)椴捎梦灰品ㄇ蠼鈺r(shí)，如果對(duì)受載結(jié)構(gòu)不引入符合實(shí)際的幾何約束條件，入符合實(shí)際的幾何約束條件，則該結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生沒有限制的剛體運(yùn)動(dòng)，顯然解是則該結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生沒有限制的剛體運(yùn)動(dòng)，顯然解是不確定的不確定的。這一點(diǎn)反映在數(shù)學(xué)上，。這一點(diǎn)反映在數(shù)學(xué)上，總剛度矩陣總剛度矩陣 kk是奇異的是奇異的，即它的行列式的即它的行列式的值為零，因而其逆陣不存在值為零，因而其逆陣不存在。 q因此對(duì)結(jié)構(gòu)受力分析，要使有限元模型能夠求解，必須保證至少有一因此對(duì)結(jié)構(gòu)受力分析，要使有限元模型能夠求解，必須保證至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)是完全固定的幾何約束，即整個(gè)結(jié)構(gòu)不能存在剛性運(yùn)動(dòng)。個(gè)節(jié)點(diǎn)是完全固定的幾何約束，即整個(gè)結(jié)構(gòu)不能存在

18、剛性運(yùn)動(dòng)。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-15工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q總剛度矩陣具有以下特點(diǎn)總剛度矩陣具有以下特點(diǎn)：1）對(duì)稱性對(duì)稱性 很容易證明，總剛度矩陣是個(gè)對(duì)稱矩陣。利用對(duì)稱性，有限元程序只需存很容易證明，總剛度矩陣是個(gè)對(duì)稱矩陣。利用對(duì)稱性，有限元程序只需存儲(chǔ)對(duì)角線元素以上的部分即可，這樣將節(jié)約一半的存儲(chǔ)空間。儲(chǔ)對(duì)角線元素以上的部分即可，這樣將節(jié)約一半的存儲(chǔ)空間。2）稀疏性）稀疏性 總剛度矩陣是一個(gè)稀疏矩陣，其絕大部分元素都是零，非零元素只占總元總剛度矩陣是一個(gè)稀疏矩陣，其絕大部分元素都是零，非零元素只占總元素的很少一部分。對(duì)稀

19、疏矩陣線性方程組，已建立了許多有效求解方法。在有素的很少一部分。對(duì)稀疏矩陣線性方程組，已建立了許多有效求解方法。在有限元程序中，只需存儲(chǔ)非零元素，這樣又可大大減少存儲(chǔ)量，提高計(jì)算效率。限元程序中，只需存儲(chǔ)非零元素，這樣又可大大減少存儲(chǔ)量，提高計(jì)算效率。3）帶狀分布）帶狀分布 總剛度矩陣中的非零元素呈斜帶狀區(qū)域，對(duì)稱分布在主對(duì)角線的兩側(cè)?？倓偪倓偠染仃囍械姆橇阍爻市睅顓^(qū)域，對(duì)稱分布在主對(duì)角線的兩側(cè)?？倓傟囍忻啃邪ㄖ鲗?duì)角線元素的陣中每行包括主對(duì)角線元素的“半帶中半帶中”非零元素的個(gè)數(shù)，稱為非零元素的個(gè)數(shù)，稱為“半帶寬半帶寬”。應(yīng)充分利用有效的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方法，減小半帶寬度，提高有限元程序計(jì)算效率

20、。應(yīng)充分利用有效的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方法，減小半帶寬度，提高有限元程序計(jì)算效率。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-16工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q最后獲得的線性代數(shù)方程為：最后獲得的線性代數(shù)方程為：6655443322116655443322111021061216001030012130041006101200160001202160010111416000000002020000001011014yxyxyxyxyxyxffffffffffffvuvuvuvuvuvuet對(duì)稱對(duì)稱第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9,

21、 2004第四章-17工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q在此我們從物理意義對(duì)位移模式的要求作一分析：在此我們從物理意義對(duì)位移模式的要求作一分析：1）位移模式必須能反映單元的剛性位移位移模式必須能反映單元的剛性位移 單元的剛性位移是指平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，與單元的內(nèi)部變形無關(guān)，它是由于其他單元的剛性位移是指平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，與單元的內(nèi)部變形無關(guān)，它是由于其他單元發(fā)生了變形后而連帶發(fā)生的，因此要正確反映單元的位移形態(tài)，位移模式單元發(fā)生了變形后而連帶發(fā)生的，因此要正確反映單元的位移形態(tài)，位移模式中必須包含反映單元?jiǎng)傂晕灰频暮瘮?shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)。中必須包含反映單元?jiǎng)傂晕灰频暮瘮?shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)。 2）位移模式必須能反映單元的常

22、應(yīng)變項(xiàng)位移模式必須能反映單元的常應(yīng)變項(xiàng) 當(dāng)單元的尺寸越來越小時(shí)，每個(gè)單元內(nèi)的應(yīng)變應(yīng)趨于一個(gè)確定的值。因此當(dāng)單元的尺寸越來越小時(shí)，每個(gè)單元內(nèi)的應(yīng)變應(yīng)趨于一個(gè)確定的值。因此對(duì)有限區(qū)域（元）講，所選擇位移模式必須包含能描述上述特性的函數(shù)項(xiàng)，即對(duì)有限區(qū)域（元）講，所選擇位移模式必須包含能描述上述特性的函數(shù)項(xiàng)，即包括兩部分：一部分能給出常應(yīng)變，另一部分給出與坐標(biāo)有關(guān)的應(yīng)變，即變量包括兩部分：一部分能給出常應(yīng)變，另一部分給出與坐標(biāo)有關(guān)的應(yīng)變，即變量應(yīng)變。由于變量應(yīng)變隨單元尺寸減小逐漸變小，因此常應(yīng)變項(xiàng)為應(yīng)變的主要部應(yīng)變。由于變量應(yīng)變隨單元尺寸減小逐漸變小，因此常應(yīng)變項(xiàng)為應(yīng)變的主要部分。即位移模式至少需包含

23、線性函數(shù)項(xiàng)。分。即位移模式至少需包含線性函數(shù)項(xiàng)。 3）位移模式應(yīng)反映實(shí)際結(jié)構(gòu)位移的連續(xù)性位移模式應(yīng)反映實(shí)際結(jié)構(gòu)位移的連續(xù)性 位移的連續(xù)性包括兩方面要求：一是每個(gè)單元在整體結(jié)構(gòu)變形后仍能保持位移的連續(xù)性包括兩方面要求：一是每個(gè)單元在整體結(jié)構(gòu)變形后仍能保持為一個(gè)連續(xù)的構(gòu)件；二是相鄰單元的共同邊界在變形后仍是連續(xù)的，不會(huì)發(fā)生為一個(gè)連續(xù)的構(gòu)件；二是相鄰單元的共同邊界在變形后仍是連續(xù)的，不會(huì)發(fā)生脫離和重疊現(xiàn)象。這就需要假設(shè)位移模式必須是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。脫離和重疊現(xiàn)象。這就需要假設(shè)位移模式必須是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-1

24、8工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q如前所述，如前所述，線性位移模式的單元為常應(yīng)變單元，線性位移模式的單元為常應(yīng)變單元，當(dāng)單元尺寸較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生明當(dāng)單元尺寸較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生明顯誤差。為減少離散化帶來的誤差，使所求得位移和應(yīng)力能更好反映真實(shí)狀態(tài)顯誤差。為減少離散化帶來的誤差，使所求得位移和應(yīng)力能更好反映真實(shí)狀態(tài)，可采用，可采用具有較高階次位移插值函數(shù)的單元，即精度較高的平面單元具有較高階次位移插值函數(shù)的單元，即精度較高的平面單元。q對(duì)平面問題，常用的較高精度單元是矩形單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元。對(duì)平面問題，常用的較高精度單元是矩形單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析oct

25、ober 9, 2004第四章-19工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q矩形平面單元：矩形平面單元：q以矩形四個(gè)角點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)局部標(biāo)號(hào)用以矩形四個(gè)角點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)局部標(biāo)號(hào)用( (i, j, k, m)i, j, k, m)表示，為簡單起見表示，為簡單起見，坐標(biāo)系選在矩形單元的中心，如圖所示。，坐標(biāo)系選在矩形單元的中心，如圖所示。 xyoijkmaabbuiumukujvivjvkvm emkjienininininvuftmmkkjjiievuvuvuvu其中：其中：形函數(shù)為：形函數(shù)為：byaxnbyaxnbyaxnbyaxnmkji1141,1141,1141,1141第四章第四章 彈性結(jié)

26、構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-20工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q六節(jié)點(diǎn)三角形平面單元：六節(jié)點(diǎn)三角形平面單元：q其節(jié)點(diǎn)布置如圖所示，由于其節(jié)點(diǎn)布置如圖所示，由于單元存在單元存在1212個(gè)自由度個(gè)自由度，就可以，就可以采用完全二次多項(xiàng)采用完全二次多項(xiàng)式位移插值函數(shù)式位移插值函數(shù)( (見第三章討論見第三章討論) )： xyoijkml這種單元也稱為這種單元也稱為二次單元二次單元。有關(guān)應(yīng)變矩。有關(guān)應(yīng)變矩陣陣 bb、應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣 ss和單元?jiǎng)偠染仃嚺c和單元?jiǎng)偠染仃嚺c上述推導(dǎo)思路完全相同，但推導(dǎo)過程十上述推導(dǎo)思路完全相同，但推導(dǎo)過程十分復(fù)雜。在此不作進(jìn)一步的討論，可

27、參分復(fù)雜。在此不作進(jìn)一步的討論，可參見有關(guān)文獻(xiàn)專著。見有關(guān)文獻(xiàn)專著。 2121121098726524321,yaxyaxayaxaavyaxyaxayaxaaun第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-21工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q工程結(jié)構(gòu)在溫度作用下的熱應(yīng)力分析問題十分普遍。如何利用有限元法計(jì)算工程結(jié)構(gòu)在溫度作用下的熱應(yīng)力分析問題十分普遍。如何利用有限元法計(jì)算由于溫度變化所產(chǎn)生的熱應(yīng)力？由于溫度變化所產(chǎn)生的熱應(yīng)力？q總的講有三種分析思路：總的講有三種分析思路： 1 1）如果結(jié)構(gòu)溫度分布已知，則可以將溫度作為體載荷直接加在離散模）如果結(jié)構(gòu)溫度

28、分布已知，則可以將溫度作為體載荷直接加在離散模型的節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行計(jì)算；型的節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行計(jì)算； 2 2）間接法，用有限元法首先進(jìn)行溫度計(jì)算，然后將求得節(jié)點(diǎn)溫度作為）間接法，用有限元法首先進(jìn)行溫度計(jì)算，然后將求得節(jié)點(diǎn)溫度作為體載荷加在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中，溫度和應(yīng)力分開計(jì)算；體載荷加在結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中，溫度和應(yīng)力分開計(jì)算； 3 3）直接法，將溫度和應(yīng)力耦合在一起進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)得到溫度和應(yīng)力）直接法，將溫度和應(yīng)力耦合在一起進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)得到溫度和應(yīng)力分布。分布。 直接法或耦合法是最復(fù)雜得計(jì)算過程，也是最符合實(shí)際情況。對(duì)大多數(shù)結(jié)直接法或耦合法是最復(fù)雜得計(jì)算過程，也是最符合實(shí)際情況。對(duì)大多數(shù)結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力分析，都采用第二

29、種間接法進(jìn)行分析。構(gòu)熱應(yīng)力分析，都采用第二種間接法進(jìn)行分析。 我們?cè)诖藘H介紹第一種溫度分布已知的最簡單情況。我們?cè)诖藘H介紹第一種溫度分布已知的最簡單情況。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-22工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q對(duì)于對(duì)于平面熱應(yīng)力問題，溫度平面熱應(yīng)力問題，溫度t t僅是坐標(biāo)僅是坐標(biāo)x,yx,y的函數(shù)的函數(shù)t=t(x,y)t=t(x,y)，溫度產(chǎn)生的體積溫度產(chǎn)生的體積膨脹或收縮只影響彈性體的正應(yīng)變，此時(shí)材料的應(yīng)力膨脹或收縮只影響彈性體的正應(yīng)變，此時(shí)材料的應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系變?yōu)閼?yīng)變關(guān)系變?yōu)? : xyxyxxyyyyyyxxxxete

30、te)1 (2,1,1q將上式移項(xiàng)有：將上式移項(xiàng)有： 溫度產(chǎn)生溫度產(chǎn)生的正應(yīng)變的正應(yīng)變xyxyxxyyyyyyxxxxeetet)1 (2,1,1第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-23工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法xyxyxyxxyyyyyyxxxxeetteettee211)1 (2),(1)(1),(1)(122222q再改寫成應(yīng)力得形式，有：再改寫成應(yīng)力得形式，有： q引進(jìn)記號(hào)：引進(jìn)記號(hào)： 溫度產(chǎn)生溫度產(chǎn)生的正應(yīng)力的正應(yīng)力 ttttt01100 00dbddde第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第

31、四章-24工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q代入單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式有：代入單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式有： q上式中第二項(xiàng)表示上式中第二項(xiàng)表示由于溫度作用而產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力由于溫度作用而產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力，對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)：，對(duì)上式進(jìn)行移項(xiàng)： dxdytdbkdxdytdbdxdytbdbftetete00etekdxdytdbf0q可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)不受力時(shí)可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)不受力時(shí)節(jié)點(diǎn)實(shí)際載荷并不存在節(jié)點(diǎn)實(shí)際載荷并不存在，而包含溫度的項(xiàng)就，而包含溫度的項(xiàng)就相當(dāng)于相當(dāng)于作用在單元節(jié)點(diǎn)的作用在單元節(jié)點(diǎn)的“等效節(jié)點(diǎn)載荷等效節(jié)點(diǎn)載荷”。 0=dxdytdbrte0第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析octobe

32、r 9, 2004第四章-25工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q在工程實(shí)際中，如果結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束條件及所受的外載都繞某一軸對(duì)在工程實(shí)際中，如果結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束條件及所受的外載都繞某一軸對(duì)稱，則所有的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也對(duì)稱于此軸。這種問題稱為軸對(duì)稱問題。如稱，則所有的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也對(duì)稱于此軸。這種問題稱為軸對(duì)稱問題。如各種壓力容器、宇航結(jié)構(gòu)、圓柱（筒）等都是軸對(duì)稱問題。各種壓力容器、宇航結(jié)構(gòu)、圓柱（筒）等都是軸對(duì)稱問題。 q在描述軸對(duì)稱問題時(shí)，采用在描述軸對(duì)稱問題時(shí)，采用圓柱坐圓柱坐標(biāo)標(biāo)( (r,r, ,z),z)比較方便比較方便。q用相距用相距drdr的兩個(gè)圓柱面，互成的兩個(gè)圓柱面

33、，互成d d 角角的兩個(gè)垂直面的兩個(gè)垂直面，和兩個(gè)相距，和兩個(gè)相距dzdz的水平的水平面，從彈性體中分離出一個(gè)小的微元面，從彈性體中分離出一個(gè)小的微元體，用體，用 rrrr表示徑向正應(yīng)力，表示徑向正應(yīng)力， 表示環(huán)表示環(huán)向正應(yīng)力，向正應(yīng)力， zzzz表示軸向正應(yīng)力，剪應(yīng)表示軸向正應(yīng)力，剪應(yīng)力分量力分量 rzrz= = zrzr。第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-26工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q任何一點(diǎn)只有兩個(gè)位移分量：任何一點(diǎn)只有兩個(gè)位移分量：即沿即沿r r方向的徑向方向的徑向位移位移u u，和沿和沿z z方向的軸向位移方向的軸向位移w w。

34、由于對(duì)稱性，垂由于對(duì)稱性，垂直對(duì)稱面的直對(duì)稱面的 方向環(huán)向位移為零；剪應(yīng)力分量方向環(huán)向位移為零；剪應(yīng)力分量 r r = = r r=0=0， z z = = z z=0=0。q這樣在軸對(duì)稱問題中，所求解的未知參量有：這樣在軸對(duì)稱問題中，所求解的未知參量有： 位移分量：位移分量： f=uf=u，wwt t； 應(yīng)力分量：應(yīng)力分量： = rrrr， ， zzzz， rzrz t t； 應(yīng)變分量：應(yīng)變分量： = rrrr， ， zzzz， rzrz t t； 共計(jì)共計(jì)1010未知參量未知參量。軸對(duì)稱問題分析就是在確定。軸對(duì)稱問題分析就是在確定約束和載荷邊界條件下，求解結(jié)構(gòu)中上述約束和載荷邊界條件下，求

35、解結(jié)構(gòu)中上述1010未知未知參量的分布規(guī)律參量的分布規(guī)律。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-27工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q根據(jù)圖所示微元體的在根據(jù)圖所示微元體的在r和和z方向的平衡條件方向的平衡條件 rr=0, rz=0，可推導(dǎo)出軸對(duì)可推導(dǎo)出軸對(duì)稱問題的平衡方程為：稱問題的平衡方程為： , 0, 0zrrzrrzrrzrzzzzzrrzrrrq由幾何關(guān)系，可導(dǎo)出幾何方程為：由幾何關(guān)系，可導(dǎo)出幾何方程為： , 0,zrrzzzrrrwzuzwruru第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-28工

36、程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q由廣義由廣義hookes lawhookes law可得物理方程（應(yīng)力可得物理方程（應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系）為：應(yīng)變關(guān)系）為： ,)1 (2,1,1,1rzrzrzrrzzzzzzrrzzrrrregeeed)1 (221010110111vd對(duì)稱對(duì)稱第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-29工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q在軸對(duì)稱問題中，以任一對(duì)稱面在軸對(duì)稱問題中，以任一對(duì)稱面( (r, z)r, z)為研究對(duì)象。采用的單元是一些軸為研究對(duì)象。采用的單元是一些軸對(duì)稱環(huán)形單元，其橫截面（與對(duì)稱環(huán)形單元，其橫截面（與rzrz

37、面相交的截面）可以是各種平面形狀，就像面相交的截面）可以是各種平面形狀，就像平面問題在平面問題在xyxy面上進(jìn)行離散化。面上進(jìn)行離散化。 r, (x)zoy, ( )rozmjiuiujumwiwjwm第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-30工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q采用三角形單元對(duì)軸對(duì)稱截面進(jìn)行離散化，仿照平面問題，選擇線性位移采用三角形單元對(duì)軸對(duì)稱截面進(jìn)行離散化，仿照平面問題，選擇線性位移模式：模式： rozmjiuiujumwiwjwmzaraawzaraau654321可以得到與平面問題類似的關(guān)系式，即：可以得到與平面問題類似的關(guān)系

38、式，即： mmjjiimmjjiiwnwnwnwunununu其中，其中，ni=(ai+bir+ciz)/2a, (i,j,m)。emjiinininwuf第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析october 9, 2004第四章-31工程數(shù)值模擬技術(shù)有限元分析方法q在軸對(duì)稱問題中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有四個(gè)應(yīng)變分量，在軸對(duì)稱問題中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有四個(gè)應(yīng)變分量，沿沿r r方向徑向正應(yīng)變方向徑向正應(yīng)變 rrrr，沿沿 方向方向環(huán)向正應(yīng)變環(huán)向正應(yīng)變 ，沿，沿z z方向軸向正應(yīng)變方向軸向正應(yīng)變 zzzz和在和在rzrz平面中的剪應(yīng)變平面中的剪應(yīng)變 rzrz。由于對(duì)稱性，由于對(duì)稱性，其余兩個(gè)剪應(yīng)變其余兩個(gè)剪應(yīng)變 r r 和和 z z等于零等于零。由幾何方程可得單元應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移得關(guān)系為。由幾何方程可得單元應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移得關(guān)系為: : rozmjiuiujumwiwjwm其中，其中， emjiebbbb),( ,00021000mjibcchbarnznznrnrnbiiii