《集合》公式匯總

1、集合公式匯總集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念，它是 集合論的研究對(duì)象，集合論的基本理論直到 19世紀(jì)才被創(chuàng)立。最簡(jiǎn)單的說(shuō)法，即是在最原始 的集合論一一樸素集合論中的定義，集合就是一堆東西”。集合里的東西”，叫作元素。由一個(gè)或多個(gè)元素所構(gòu)成的叫做集合。若 x是集合A的元素，則記作x A。集合中的元素有三個(gè)特征： 1.確定性（集合中的元素必須是確 定的）2.互異性（集合中的元素互不相同。例如：集合A=1，a，貝U a不能等于1） 3.無(wú)序性（集合中的元素沒(méi)有先后之分。）并交集并集定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作A U B （或BU A），讀作A并B ”（或B并A ”），

2、即A U B=x|x 代或x B。并集越并越多。交集定義：由屬于 A且屬于B的相同元素組成的集合，記作AAB （或BAA），讀作A交B”（或B交A”），即卩A AB=x|x A,且x B。交集越交越少。若 A 包含 B，貝U A AB=B，A U B=A補(bǔ)集相對(duì)補(bǔ)集定義：由屬于 A而不屬于B的元素組成的集合，稱(chēng)為 B關(guān)于A的相對(duì)補(bǔ)集，記作 A-B或A B，即A-B=x|x A，且x?B'絕對(duì)補(bǔ)集定義：A關(guān)于全集合U的相對(duì)補(bǔ)集稱(chēng)作 A的絕對(duì)補(bǔ)集，記作 A'或?u （A）或A。U'=；U（一）元素與集合1、元素與集合的關(guān)系： 、若a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作：a A

3、，讀作“ a屬于A ” 若a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作：a A，讀作“ a不屬于A”。2、集合的表示：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合形如：123,5描述法： x| x具有的性質(zhì)，其中x為集合的代表元素.形如：x|x 2+ 2x 3>0.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合 .3、常見(jiàn)數(shù)集的符號(hào)表示：（自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）N ;正整數(shù)集N或N ；整數(shù)集Z ;'有理數(shù)集Q ；實(shí)數(shù)集R ;I正實(shí)數(shù)集R符號(hào)法N :非負(fù)整數(shù)集合或自然數(shù)集合0,1,2,3 ,N*或N + :正整數(shù)集合1,2,3,Z :整數(shù)集合,-1,0,1,Q :有理數(shù)集合Q + :正有

4、理數(shù)集合Q-:負(fù)有理數(shù)集合R:實(shí)數(shù)集合（包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)）R+：正實(shí)數(shù)集合R-:負(fù)實(shí)數(shù)集合C :復(fù)數(shù)集合?:空集合（不含有任何元素的集合稱(chēng)為空集合，又叫空集）（二）集合間的基本關(guān)系概念寫(xiě)法含義相等子集讀作“ A包含于B ”或“ B包含A ”(1)(2) A(3) A B真子集讀作“ A真包含于B ”或“ B真包含A ”(1)(2) A非空真子集A應(yīng)B且A工空集空集是任何集合的子集注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。2、集合個(gè)數(shù)：集合A中有n個(gè)元素，則集合 A的子集有（2n ）個(gè)，真子集有（2n 1 ）個(gè)，非空真子集有（2n 2 ）個(gè)元素子集真子集非空子集非空真子集集合韋恩

5、圖數(shù)軸表示交集%在畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注意層次感和實(shí)心空心！并集只要是線下面的部分都要！補(bǔ)集注：1集合運(yùn)算法則：從括號(hào)內(nèi)開(kāi)始，由內(nèi)而外Cu （An B） =Cu An Cu BCu （AU B） =Cu AU Cu B2、常見(jiàn)結(jié)論：若 AU B=B,則 A B若 AI B A，則 A B-.知識(shí)歸納：1 .集合的有關(guān)概念。1）集合（集）：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合（集）.其中每一個(gè)對(duì)象叫元素注意：集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書(shū)中是通過(guò)描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類(lèi)似。 集合中的元素具有確定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若 a?A，b?A，則aMb）和無(wú)序

6、性（a,b與b,a表示同一個(gè)集合）。 集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對(duì)象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號(hào)條件2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法3）集合的分類(lèi)：有限集，無(wú)限集，空集。4） 常用數(shù)集：N,乙Q, R N*2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。1）子集：若對(duì) x A都有x B,則A B （或A B）;2）真子集：A B且存在x0 B但x0 A ;記為A B （或，且）3）交集：An B=x| x A 且 x B4）并集：AU B=x| x A 或 x B5）補(bǔ)集：CUA=x| x A 但 x U注意：? A，若AM ?，貝q ? A ; 若，則

7、； 若且，則A=B （等集）3弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，特別要注意以下的符號(hào)：（1）與、?的區(qū)別；（2）與 的區(qū)別；（3）與的區(qū)別。4有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系A(chǔ)n B=A A B : AU B=B A B :A B C uA C uB ； An CuB =空集 CuA B : CuAU B=I A B。5交、并集運(yùn)算的性質(zhì)An A=A, An ? = ?，An B=BnA; AU A=a AU ? =A，AU B=BU A；Cu (A U B)= CuA A CuB, Cu (A A B)= CuA U CuB;6.有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合 A的元素個(gè)數(shù)是n,則A有2

8、n個(gè)子集，2n- 1個(gè)非空子集，2n 2個(gè)非空真子集。二.例題講解：【例 1 】已知集合 M=x|x=m+ ,m Z,N=x|x= ,n Z,P=x|x= ,p Z，則 M,N,P 滿(mǎn)足關(guān)系A(chǔ)) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。解答一：對(duì)于集合 M: x|x= ,m Z；對(duì)于集合 N: x|x= ,n Z對(duì)于集合P： x|x= ,p Z，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P,故選B 分析二：簡(jiǎn)單列舉集合中的元素。解答二：M=，N=，,，P=，,，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集

9、合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。= N， N，a M ”，又=M，二 M N，=P，a N P 又 N,.； P N，故 P=N 所以選 Bo點(diǎn)評(píng)：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒(méi)有從理論上解決問(wèn)題，因此提倡思路一，但思路二易人手。變式：設(shè)集合，則(B )A. M=N B. M N C. N M D .解：當(dāng) 時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選 B【例2】定義集合 A*B=x|x A且x B，若A=1,3,5,7,B=2,3,5 ，則A*B的子集個(gè)數(shù)為A) 1 B ) 2 C ) 3 D ) 4分析：確定集合 A*B子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合A=a1，

10、a2,，an有子集2n個(gè)來(lái)求解。解答：t A*B=x|x A且x B , a A*B=1,7，有兩個(gè)元素，故 A*B的子集共有22個(gè)。選D。變式1 :已知非空集合 M 1,2,3,4,5，且若a M,則6?a M,那么集合 M的個(gè)數(shù)為A) 5個(gè)B ) 6個(gè)C ) 7個(gè)D) 8個(gè)變式 2 :已知a,b A a,b,c,d,e,求集合 A.解：由已知，集合中必須含有元素a,b.集合 A 可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.評(píng)析本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合c,d,e的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有個(gè).【例 3】已知集合 A=x|x2+px+q=0,B

11、=x|x2?4x+r=0, 且 AA B=1,A UB=?2,1,3, 求實(shí)數(shù) p,q,r 的值。解答：t AA B=1 a 1 B a12?4 x 1+r=0,r=3.a B=x|x2?4x+r=0=1,3,t AU B=?2,1,3,?2 B, a ?2 A且 AA B=2,A U B=B,求實(shí)數(shù) b,c,m 的值.t A A B=1 a 1 A a 方程 x2+px+q=0 的兩根為-2 和 1 ,變式：已知集合 A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0,解：T An B=2 /. 1 B /. 22+m?2+6=0,m=-5/. B=x|x2-5x+6=0=2,3：AU

12、B=B 二又/ An B=2 / A=2 / b=-(2+2)=4,c=2 X 2=4.：b=-4,c=4,m=-5【例 4】已知集合 A=x|(x-1)(x+1)(x+2)>0, 集合 B 滿(mǎn)足：AU B=x|x>-2，且 An B=x|1分析：先化簡(jiǎn)集合A,然后由AU B和An B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B,哪些元素不屬于Bo解答：A=x|-21。由 An B=x|1-2可知-1,1 B ，而(-,-2) n B=»綜合以上各式有 B=x|-1 < x < 5變式 1 :若 A=x|x3+2x2-8x>0, B=x|x2+ax+b < 0,已知 AU B=x|x>-4, An B=O ,求 a,b。(答案：a=-2 , b=0)點(diǎn)評(píng)：在解有關(guān)不等式解集一類(lèi)集合問(wèn)題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來(lái)解之。變式2 :設(shè)M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0 ，若 MA N=N求所有滿(mǎn)足條件的a的集合。解答：M=-1,3 ,/ MA N=N, a N M當(dāng)時(shí)，ax-仁0無(wú)解，a a=0綜得：所求集合為-1 , 0, 【例5】已知集合,函數(shù)y=l