數(shù)列經(jīng)典結(jié)論總結(jié)

1、1.等差數(shù)列的有關(guān)概念:數(shù)列復(fù)習(xí)基本知識點(1) 等差數(shù)列的判斷方法:(2) 定義法：+ 1-仙產(chǎn)(常數(shù))o 億為等差數(shù)列。%1 中項法：2a“ + =a“+a“ + 2 <=>仏為等滋數(shù)列。通項公式法：an=an+b(為常數(shù))o 億為等差數(shù)列。前n項和公式法：sn=anbn(a,b為常數(shù))o 億 為等差數(shù)列。(2)等差數(shù)列的通項：an = ax 4-(/?-y)d 或 = q”+(n-加)d。公式變形為:a,t=an+h 其111 a=d, b= a -d. 如等差數(shù)列他中，勺。=30,吆=50,則通項勺=(答：2/2 + 10) ； (2)首項為-24的等差數(shù)列,q從第10項起

2、開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是 (答：-< 6/<3)3(3)等差數(shù)列的前"和：s” =s,嚴(yán)呦+巴匸b。公式變形為：s=anbn2 2其中a二b二乞(注意：已知n,d,如，6,幾中的三者nj以求另兩者，即所謂的“知三求二”)21315如(1)數(shù)列an 'i', an = an_x + (n > 2,n w n"), % =二，前 n 項和 sn =一-,則a =_, n =_(答：a, = -3 , n = 10) ；(2)已知數(shù)列%的前n項和sn=12n-n2f求數(shù)列l(wèi)a的前項和7；(答：j12/? - n2n < 6,/? g

3、)"n2 一 12n + 72(n > 6, n w n*)(4)等差中項：若a9a,b成等差數(shù)列，則a叫做a與b的等差中項，ra = -o2提醒：(1)等差數(shù)列的通項公式及前/7和公式中，涉及到5個元素：q、d、n. q”及s“，其屮q、d稱作為 基本元素。只耍已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。3. 等差數(shù)列的性質(zhì)：(1) 項數(shù)成等差，則相應(yīng)的項也成等差數(shù)列.即做，做+加攻+ 2加伙,wn*)成等差若%、仇是等差數(shù)列,則伙、g+pb伙、p是非零常數(shù)）、認(rèn)（陽胡）、srsg-sysd-s",也成等差數(shù)列,而心成等比數(shù)列;若%是等比數(shù)列,且坷&g

4、t; 0,貝ljlgd”是等差數(shù)列.如等差數(shù)列的前料項和為25,前加項和為100,t s 偶 an + s偶_s奇=肱；s 奇 cln則它的前和為o （答：225）（2）在等差數(shù)列%中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2時，sn=n（aan+）項數(shù)為奇數(shù)加-1時，52z, i=（2h-1）6z/i； s偶-s奇一d ； =o如（1）在等差數(shù)列中，sn=22,則s奇na.= （答：2）； （2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列%屮，奇數(shù)項和為8（）,偶數(shù)項和為75,求此數(shù)列的屮間項與項數(shù)（答：5； 31） （3）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，貝ijd>0<=>加訃是遞增數(shù)列；dvoo °“是遞減數(shù)列

5、；d=0u> °“是常數(shù)數(shù)列（4）若等差數(shù)列an、bn的前n和分別為4il倉伽,則護(hù)詔碁瓷設(shè)2”與乞是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為s“和人，若乩=衛(wèi)上丄，那么乞二 （答:tn 4 一 3bn6 tt 2）8/? -7已知總成等差數(shù)列，求片的最值問題：若"<。且滿足總，嘰最大;若e v o ,d>o且滿足以°，則sn最小- °“首正”的遞減等差數(shù)列屮，前項和的最人值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，詢項和的最小值是所有非正項之和。法一:an > 0(d < 0 )或® + i s 0n °&g

6、t;山不等式組確定出詢多少項為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前斤項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n e tv* o如（1）等差數(shù)列%中，再=25, s9 = s17,問此數(shù)列前多少項和最大?并求此最大值。（答:前13項和最大,最大值為169）； （2）若“是等差數(shù)列，首項4 > 0,勺003 +如厲> 0，勺003 吆04 < °，貝ij使前川項和s”> °成立的授大正整數(shù)"是 （答：4006）4. 等比數(shù)列的有關(guān)概念:（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法乩=q（q為常數(shù)），其中g(shù)hoqho或紐=上（h&g

7、t;2）o如（1） 一個等比數(shù)列色共有2兀+ 1項，奇數(shù)項z積為10（）,偶數(shù)項z積為120,則a”，為（答：f）； 6（2）等比數(shù)列的通項：an =alqni an = amqnm。如設(shè)等比數(shù)列%中,a +an =66 , a2an_, = 128 ,前n項和sfl =126,求 n 和公比 g.（答：n = 6 f q =或 2）（3）等比數(shù)列的前舁和：當(dāng)g = l時，s嚴(yán)叫;當(dāng)qhl時，s” = ®d"）=魚二空。如（1）等比數(shù)列中，q =-q-q2, s99=77,求為+。6+。99 （答：44）特別提醒：等比數(shù)列前斤項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項和時，首

8、先要判斷公比g是否為1,再由 q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對q分q = 1和q h 1兩種情形討論求解。（4）等比中項：如果a、g、b三個數(shù)成等比數(shù)列，那么g叫做a與b的等比中項，即g二土臨.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比屮項，只有同號兩數(shù)才存在等比屮項，且有兩個±5/亦。如已知兩個正數(shù)q,b（c&b）的等差小項為a,等比 屮項為b,則人與站旳大小關(guān)系為 （答：a>b）提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前斤項和公式中，涉及到5個元素：卩、q、n、匕及s”，其中q、g稱作為 基本元素。只要己知這5個元素中的任意3個，便可求岀其余2個，即知3求2；

9、（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技 巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，生= ,a,aq,aq2（公比為q）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為 q2,冬，aq,aq',，因公比不一定為正數(shù)，只冇公比為正時才可如此設(shè)，且公比為如冇四個數(shù)，其中前三個數(shù) q' q成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù)。（答: 15, ,9, 3,1 或 04 &16）6.列的通項的求法:公式法:等差數(shù)列通項公式;等比數(shù)列通項公式.如已知數(shù)列斗5討£,9存試寫出其-個通項公 式：（答：色=2川+ 1 +占）（2）已知s” （即坷+

10、偽+色=弘）求陽,用作差法:幾（歸）q2）如已知匕的前n項和滿足log2(sn +l) = n + l,求色(答:3 n = 1|2« n>2);數(shù)列s”滿足+尹勺+歹"qz/ = 2n + 5 ,求(答:_ (14, n = 1=(2n+1,n>2/(!),(« = !)(3)已a2 - an= f(n)求,用作商法:an = < f(n) (n> 2)9。 61如數(shù)列a“中,a, = 1,對所有的 > 2都有aa2a3-an = n2,則勺+ as = (答：一)若色+1 一色=/（）求色用累加法：an = （% -%） + （%

11、 色_2）+ 2 一嗎） an = a/h + 1 - y2 + 1)+q （n > 2）。如已知數(shù)列%滿足州=1an an-l =7= 5»2),則 an =“/? + 1 + yjn（5）已知- = /（/?）求an，用累乘法:an =-也 -a （n > 2） o如已知數(shù)歹!jan中,® = 2 ,前項色an-l an-2 ai。4和 s”，若 sn = n an,求鑫（答:a” =）7?（n + l）已知遞推關(guān)系求色，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如5=kg+b、an = kan_ + bn （k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法

12、轉(zhuǎn)化為公比為r的等比數(shù)列后，再求色。如已知舛=1,%=3心_|+2,求an （答:an=2 3n-,-l）；己知坷=1,色+2”,求 （答：色=5 3”" 一2"氛）；（2）形如 % = % 的嘰 + b 遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。如已知勺=1,%= 八 ，求°”（答：an=）；已知數(shù)列滿足4=1,3勺_|+13n_2jan-l n yanan- '求色（答：=盲）n注意：（1）用=s”-s”_求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？ （h>2,當(dāng)刃=1時，=5,）；（2）-般地當(dāng)已知條件中含有anijsn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式=

13、s” -st ,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含色或 s”的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列%滿足絢=4,s” +*,加 求 （答：打;>2）7.數(shù)列求和的常用方法：（1）分組求和法：在點接運用公式法求和有怵i難時，常把數(shù)列的各項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等旁或等比數(shù)列，然后利用公式求和。如求：s”=1 + 3 5 + 71)"(2斤一1)(答：(-if-n)(2)錯位相減法:如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一-個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，即數(shù)列是一個“差比” 數(shù)列，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前斤和公式的推導(dǎo)方法).如設(shè)”為等比數(shù)列， 7>呦+-1)勺+ 2

14、%+%,已知7>1, 7； =4,求數(shù)列色的首項和公比;求數(shù)列7；的通項公式.(答: 坷=1, q = 2；tn =2w+i - n-2 )；(3) 裂項相消法：裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)抵消，從而前n項化成首尾若干 少數(shù)項z和。如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用 裂項形式有：1 =丄_ ；= 1(1_ )；n(n 4-1) n n +1(“ + £)n +1 11 z 1 1.1 1 11 1 11%1 v = _(),=< <=；k2k2-l2 k-1k + 1 kr + l伙+ 1)rk2(kdkk-lk