學(xué)生成績(jī)的統(tǒng)計(jì)分析(共6頁)

1、·!·學(xué)生成績(jī)的統(tǒng)計(jì)分析樓裕勝（浙江金融職業(yè)學(xué)院，浙江杭州"#$%$）摘要：在以往的考試中，教師對(duì)學(xué)生成績(jī)的分析，方法上比較單一，內(nèi)容上比較模糊。這不利于教學(xué)信息的發(fā)掘和反饋，從而也影響了教學(xué)決策。因此，我們需要借鑒統(tǒng)計(jì)分析的方法，科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、定量地分析學(xué)生的考試成績(jī)，從中找出有利于教學(xué)的信息，推動(dòng)教學(xué)工作的不斷進(jìn)步。關(guān)鍵詞：學(xué)生成績(jī)；統(tǒng)計(jì)；分析考試的目的是為了檢測(cè)、評(píng)價(jià)教學(xué)效果，推動(dòng)和促進(jìn)教學(xué)水平的不斷提高。為充分發(fā)揮考試的功能，使考試真正為提高素質(zhì)教育服務(wù)，建立科學(xué)合理的考試評(píng)價(jià)體系是關(guān)鍵所在。這種學(xué)生成績(jī)的評(píng)價(jià)體系建立在統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用各種統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)

2、對(duì)考試的結(jié)果予以評(píng)價(jià)和監(jiān)控，然后提出教學(xué)及考試中存在的不足。一、考試試卷的統(tǒng)計(jì)分析（一）試卷難度的分析所謂難度是指考試中試題或者試卷的難易程度，是考試題目對(duì)學(xué)生知識(shí)和能力水平適合程度的指標(biāo)。1.難度的計(jì)算以往教師在考試中對(duì)試題難度的測(cè)定大部分是憑感覺。這種方法本身比較模糊，對(duì)有經(jīng)驗(yàn)的教師也并不是非常有效。根據(jù)難度的概念，得到如下公式。以.x.a表示第i題的成績(jī)均值和滿分值，則：第i題的難度：d=1-x/a若第i題全部答對(duì)，則d=0；若第/題全部答錯(cuò)，則d=1；當(dāng)d=0.5，說明此題難度適中。試卷難度：試卷難度的測(cè)定建立在試題難度的基礎(chǔ)上，以試題難度為變量，以試題滿分值為權(quán)數(shù)的加權(quán)算數(shù)平均數(shù)。一

3、般而言，試卷都是以#$分為滿分，于是對(duì)于學(xué)校的常規(guī)考試，目的在于測(cè)量個(gè)體差異。當(dāng)d=0或1時(shí)，即試題全部答對(duì)或答錯(cuò)，該題便無法提供個(gè)體差異的信息。而只有當(dāng)d=0.5時(shí)，題目才能做最大程度的區(qū)分度。但在實(shí)際工作中要使每題難度均達(dá)到0.5有一定的困難。因此，一般要求試卷平均難度為0.5左右，各試題的難度控制在0.5±0.2之間。2.難度的比較按以上公式計(jì)算的試題及試卷難度，只能看出不同試題或不同試卷的難易程度，但卻不能分析題目或試卷之間的相對(duì)難度。如某試卷中，第一，第二，第三題的難度分別是0.3,0.4,0.5。從難度數(shù)據(jù)中可以看出，第一題相對(duì)較容易，第三題較難。但第二題與第一題的難度差

4、和第三題與第二題的難度差是否相等？這卻不一定。原因是不同試題的難度位于不同的等距量表，因而不具有可比性。為解決試題及試卷之間難度的相互對(duì)比，需要將以上公式計(jì)算的難度，通過正態(tài)分布表，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分。如：1 2$("，4 2,#(&&；1 2$(!，4 2,#()*；1 2$(*，4 2$。顯然，第二題與第一題的難度差為$(#"，第三題與第二題的難度差為#()*，難度差并不相等。（二）試卷區(qū)分度的分析區(qū)分度也叫鑒別力，就是通過一次考試將不同程度，不同能力的學(xué)生區(qū)分開來的重要指標(biāo)。比如一道題目，水平高、能力好的同學(xué)都答對(duì)，而水平低、能力差的同學(xué)都答錯(cuò)，那么這道題就

5、有好的區(qū)分度。計(jì)算公式：1.試題的區(qū)分度：·!"·式中：h為班級(jí)中高分組同學(xué)第$題的平均成績(jī)($為班級(jí)中低分組同學(xué)第$題的平均成績(jī)（一般而言，高分組與低分組的同學(xué)人數(shù)是以班級(jí)同學(xué)人數(shù)*+,*",確定）當(dāng)高分組平均成績(jī)與低分組平均成績(jī)差距較大時(shí)，#$較大，這時(shí)對(duì)試題的區(qū)分度評(píng)價(jià)就比較好。2.試卷區(qū)分度區(qū)分度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：二、學(xué)生考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)分析（一）對(duì)學(xué)生成績(jī)分布曲線的描述和分析1.學(xué)生成績(jī)分布曲線的描繪方法學(xué)生成績(jī)分布曲線的描繪方法是：首先將學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，同時(shí)統(tǒng)計(jì)出各組中的學(xué)生人數(shù)；其次以每組的組中值為橫坐標(biāo)，每組的學(xué)生人數(shù)為縱坐標(biāo)建立直角坐

6、標(biāo)系；最后在所建立的直角坐標(biāo)系中描繪各組所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并用光滑的曲線連接這些點(diǎn)，成為學(xué)生成績(jī)分布曲線。在一般的考試中，由于每班的學(xué)生只有數(shù)十人，因而成績(jī)分組不可能太細(xì)，否則會(huì)出現(xiàn)有的組別的學(xué)生人數(shù)為零，從而不能更好的顯示出學(xué)生成績(jī)分布的規(guī)律性，也不能描繪出光滑的學(xué)生成績(jī)分布曲線。2.學(xué)生成績(jī)分布曲線的類型根據(jù)教育學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論，一次難度適中信度可靠的考試，學(xué)生的成績(jī)應(yīng)接近正態(tài)分布。也就是說，當(dāng)學(xué)生的成績(jī)接近于正態(tài)分布時(shí)，則說明此次考試基本達(dá)到了教學(xué)要求。判斷成績(jī)是否接近正態(tài)分布，最直觀，最有效的方法是將成績(jī)分布曲線與均值和方差相同的正態(tài)分布曲線加以比較。一般地說，學(xué)生成績(jī)分布曲線有以下幾種類型

7、：（1）正態(tài)分布自然界或社會(huì)經(jīng)濟(jì)中許多現(xiàn)象的發(fā)展都呈現(xiàn)出正態(tài)分布，其特征為“兩頭小，中間大”，即特別大或特別小的現(xiàn)象數(shù)量少，而處于平均水平周圍的現(xiàn)象數(shù)量較多。如：人的身高等。教育統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于難度適中的試題，其學(xué)生人數(shù)與成績(jī)應(yīng)該呈現(xiàn)正態(tài)分布。其圖形為：當(dāng)然，學(xué)生成績(jī)呈現(xiàn)正態(tài)分布是理想化狀態(tài)。考試成績(jī)完全呈正態(tài)分布有一定的困難，也不現(xiàn)實(shí)。但我們要以正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)模式，加以對(duì)比，找出不足。（2）負(fù)偏態(tài)分布如果學(xué)生人數(shù)與成績(jī)呈現(xiàn)這種分布形態(tài)，說明試題總體難度偏高。(3)正偏態(tài)分布如果學(xué)生人數(shù)與成績(jī)分布呈現(xiàn)這種形態(tài)，說明試題總體難度過低。(4) 陡峭型如果學(xué)生成績(jī)分布呈現(xiàn)這種形態(tài)，說明試卷

8、中難度中等的度量所占比重太大。（二）學(xué)生平均成績(jī)的測(cè)定方法與評(píng)價(jià)平均成績(jī)是指全班同學(xué)在某一次考試中所達(dá)到的一般水平。它將全班同學(xué)成績(jī)的差異抽象化，反映同學(xué)成績(jī)的集中趨勢(shì)。因而，教師計(jì)算平均成績(jī)，一方面是反映同學(xué)在學(xué)業(yè)上達(dá)到的一般水平；另一方面也是為了不同班級(jí)間學(xué)習(xí)水平的對(duì)比。學(xué)生平均成績(jī)的測(cè)定方法：（1）算數(shù)平均數(shù)算數(shù)平均數(shù)是我們最常用的計(jì)算平均成績(jī)的方法，其公式為：5其中x代表第1個(gè)同學(xué)的成績(jī)，n是全班同學(xué)人數(shù)。如果已經(jīng)對(duì)全班同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分組，則采用公式其中#$代表第$組組中值，%$為第$組的人數(shù)。算數(shù)平均數(shù)具有科學(xué)、嚴(yán)密、可靠、易于計(jì)算和理解、在抽樣調(diào)查中具有良好的穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)。缺

9、點(diǎn)是容易受極端值的影響，從而影響代表性大小；當(dāng)成績(jī)的分布呈偏態(tài)分布時(shí)，平均數(shù)則不能適當(dāng)描述分布情況。（&）中位數(shù)中位數(shù)是把全班同學(xué)的成績(jī)按從低到高的順序排列，處于中間位置同學(xué)的成績(jī)就是中位數(shù)。若同學(xué)人數(shù)為偶數(shù)，則中位數(shù)為處于中間位置二個(gè)同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)。如果已經(jīng)對(duì)同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行了分組，則中位數(shù)是：其中*為中位數(shù)所在組的下限；%為中位數(shù)所在組的次數(shù)；%,-為中位數(shù)所在組以前各組次數(shù)的累計(jì)值；/為中位數(shù)所在組的組距。中位數(shù)具有意義明確，不受極端值的影響，一旦平均數(shù)受到極端值的影響而失去代表性時(shí)，中位數(shù)可作為全班同學(xué)成績(jī)的代表值，反映其一般水平。但中位數(shù)的缺點(diǎn)是缺乏靈敏度，不如平均數(shù)可靠，計(jì)

10、算也不如算數(shù)平均數(shù)方便。（0）眾數(shù)眾數(shù)是指全班同學(xué)成績(jī)中出現(xiàn)最多的這個(gè)分?jǐn)?shù)。在一般的常規(guī)考試中，由于班級(jí)考生人數(shù)較少，可能會(huì)沒有眾數(shù)或有兩個(gè)及兩個(gè)以上的眾數(shù)。這種情況往往隨著考生人數(shù)的增加而減少。眾數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是易于計(jì)算，易于理解，反映考生成績(jī)的集中趨勢(shì)。&1平均成績(jī)的評(píng)價(jià)平均成績(jī)是把全班同學(xué)成績(jī)的差異抽象化，反映出了全班同學(xué)在學(xué)業(yè)上的一般水平和成績(jī)分布的集中趨勢(shì)，具有一定的代表性。但全班每個(gè)同學(xué)的成績(jī)是參差不齊的，它們分布在平均數(shù)的周圍，呈現(xiàn)出了離散的趨勢(shì)。學(xué)生成績(jī)的離散指標(biāo)正是反映全班同學(xué)考試成績(jī)的離散程度。當(dāng)離散指標(biāo)值越大，則學(xué)生成績(jī)的離散趨勢(shì)越強(qiáng)，集中趨勢(shì)越弱，表明了平均成績(jī)代表性

11、越差。此時(shí)教師再用平均成績(jī)來評(píng)價(jià)同學(xué)學(xué)業(yè)水平，就顯得欠妥當(dāng)；反之亦然。當(dāng)然離散指標(biāo)并非越小越好。離散指標(biāo)越小，說明學(xué)生的成績(jī)十分接近，沒有拔尖的，也沒有太差的，也說明這套試卷難度過大或過小，未能反映學(xué)生在學(xué)業(yè)中的真實(shí)差距。（-）全距全距又稱極差，是全班同學(xué)最高分與最低分的高差，即2)全班最高分,最低分。全距反映了全班同學(xué)在學(xué)業(yè)上的最大差距，具有計(jì)算簡(jiǎn)單，意義明確的優(yōu)點(diǎn)。但由于全距只取決于二個(gè)極端值的大小而忽略了二者之間成績(jī)的差異狀況，因此，用全距只能粗略估計(jì)同學(xué)成績(jī)的離散趨勢(shì)。（&）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差又稱均方差，是目前最常用，最科學(xué)的測(cè)量成績(jī)離散程度的指標(biāo)。公式為：其中#$為第$個(gè)同學(xué)的成績(jī)

12、，#全班同學(xué)的平均成績(jī)，3為全班人數(shù)。如果已經(jīng)對(duì)同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行了分組，則標(biāo)準(zhǔn)差是：其中%$為第$組的人數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差過大過小都說明了考試中存在著不正常狀況。大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)踐表明，當(dāng)考試成績(jī)呈正態(tài)分布時(shí)，全距約為"個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。而正常情況下，全距一般在滿分的一半左右。也就是說，當(dāng)滿分是-44分時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為-4至-5分，成績(jī)的離散程度較為合理。三、關(guān)于成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差的進(jìn)一步應(yīng)用（一）測(cè)定成績(jī)分布的偏度學(xué)生成績(jī)的單峰鐘形分布有對(duì)稱分布和非對(duì)稱分布。非對(duì)稱分布包括不同程度的左右偏態(tài)分布。為準(zhǔn)確測(cè)定成績(jī)分布的偏斜程度并進(jìn)行比較分析，最常見的方法是計(jì)算偏度系數(shù)。其中：4為眾數(shù)，!為標(biāo)準(zhǔn)差67為無量綱的系數(shù)，取值

13、通常在,0至+0之間。其絕對(duì)值越大，表明偏斜程度越大；反之，表明了偏斜程度越小。當(dāng)#"4，67"4為右偏態(tài)；當(dāng)#!48 67!4為左偏態(tài)；當(dāng)#)4，67)4，分布為對(duì)稱。（二）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分，客觀評(píng)價(jià)考試成績(jī)目前學(xué)校常規(guī)考試中，使用百分制表示的原始分?jǐn)?shù)是最廣泛的成績(jī)表示方法。然而，原始分?jǐn)?shù)由于在不同難度，不同班級(jí)，不同時(shí)間的考試中不具有可比性，因而局限性很大。為了實(shí)現(xiàn)考生之間學(xué)業(yè)水平和學(xué)習(xí)能力的·!"·真實(shí)的比較，必須將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為可比較的標(biāo)準(zhǔn)分，從而得出有利于教學(xué)管理與決策的信息。其中3為標(biāo)準(zhǔn)分，&3為班級(jí)平均分，!為班級(jí)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，&4為第4個(gè)同學(xué)的成績(jī)。標(biāo)準(zhǔn)分能表明每個(gè)同學(xué)的成績(jī)?cè)谡麄€(gè)分布中的地位，而且還能對(duì)不同分布的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。現(xiàn)在以具體實(shí)例說明標(biāo)準(zhǔn)分的應(yīng)用。甲，乙二個(gè)學(xué)生在期末考試中的成績(jī)?nèi)缦?。學(xué)生甲的科目二、三、六成績(jī)優(yōu)于學(xué)生乙；學(xué)生乙的科目一、四、五成績(jī)優(yōu)于學(xué)生甲，從原始分?jǐn)?shù)來看，總分乙高出甲#$分，顯然乙比甲好。但計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分卻得到以下結(jié)果：甲比乙的標(biāo)準(zhǔn)分多$,1，因此甲比乙更優(yōu)秀。事實(shí)上，我們仔細(xì)分析他們的原始分?jǐn)?shù)，甲的所有科目成績(jī)都