第二章單自由度系統(tǒng)振動5.6

1、第二章 單自由度系統(tǒng)振動單自由度系統(tǒng)不但包含振動理論的重要基礎，而且工程上有許多問題都可以簡化為單自由度系統(tǒng)并得到滿意的結(jié)果。此外，應用坐標變換或振型疊加法，多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的振動可以轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng)進行分析。因此，單自由度系統(tǒng)分析理論還是進一步研究復雜振動的基礎。2.1振動微分方程單自由度系統(tǒng)由質(zhì)量、彈簧及阻尼組成，一般受外部激勵作用。圖2.1(a)即為一簡單的單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)，單自由度系統(tǒng)振動微分方程是一個二階常系數(shù)微分方程。下面就通過幾個例題來說明振動微分方程的建立方法。例一 簡單彈簧質(zhì)量系統(tǒng)如圖2.1(a)所示：一單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)。該系統(tǒng)受激勵作用，

2、質(zhì)量、彈簧剛度和阻尼分別為m、k和c，彈簧無初始變形。解：取質(zhì)量塊為研究對象，以表示水平振動位移，當質(zhì)量塊水平振動位移為時，速度為，其受力圖如圖2.1(b)所示。根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向有： (2.1)整理得： (2.2)例二 基礎運動引起的振動圖2.2(a)為基礎運動引起系統(tǒng)振動的簡化模型，如地震引起的機床、設備、工程結(jié)構(gòu)物振動等。圖中為基礎的振動位移，此類問題可用兩種坐標系建立方程，質(zhì)量塊的絕對振動位移或質(zhì)量塊相對基礎的振動位移。當采用絕對坐標時，設為質(zhì)量塊的絕對振動位移，彈簧兩端相對位移為，阻尼器兩端相對速度為，受力圖如圖2.2(b)所示。圖2.2(a)力學模型 圖2.2(b)絕對坐

3、標 圖2.2(c)相對坐標根據(jù)牛頓第二定律,在豎直方向有： (2.3)整理得： (2.4)當采用相對坐標時，設為質(zhì)量塊相對基礎的振動位移，則質(zhì)量塊的絕對加速度為，受力圖如圖2.2(c)所示。根據(jù)牛頓第二定律，在豎直方向有： (2.5)整理得： (2.6)方程(2.4)和(2.6)形式上有差別，但計算結(jié)果是一樣的。在此例中，我們沒有考慮重力及彈簧在重力作用下的初始變形，這是因為我們是在平衡狀態(tài)下研究振動增量，對于線性系統(tǒng)，初始變形量可以不考慮。在前面兩例中建立方程時我們也沒有標明坐標原點及其靜平衡位置，這是因為振動分析只研究振動產(chǎn)生的動位移、速度、加速度和動力等部分，分析的是系統(tǒng)的附加動位移和附

4、加動力等，坐標原點或靜平衡位置對動力分析沒有影響。正因為如此，作結(jié)構(gòu)全部受力分析時還要疊加上靜力分析結(jié)果。比較(2.2)、(2.4)和(2.6)可以看出，單自由度系統(tǒng)振動微分方程一般形式為： (2.7)對于線性系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)m、c和k為常數(shù)，方程是二階常微分方程。只是對不同的問題，其系數(shù)m、c、k和外力的表達形式不同，初始位移和初始速度不同。二階常系數(shù)微分方程的解有兩個待定常數(shù)，由系統(tǒng)初始位移和初始速度確定。當系統(tǒng)沒有激勵時，叫作自由振動，對應的振動微分方程是齊次微分方程；系統(tǒng)在激勵作用下的振動（），叫作強迫振動，對應的振動微分方程是非齊次微分方程。阻尼的系統(tǒng)叫無阻尼系統(tǒng)?，F(xiàn)實中并不存在無阻尼

5、系統(tǒng)，但無阻尼系統(tǒng)的討論有重要的理論意義，這一點將在后續(xù)介紹中有所體現(xiàn)。微分方程建立后，單自由度振動問題已轉(zhuǎn)化為尋找滿足初始條件的微分方程解的問題。借助于計算機，我們已經(jīng)可以很容易的得到它的響應。但為了全面了解振動特性，僅僅求出響應是遠遠不夠的，必須學習其它分析方法和手段。微分方程已將力學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，由高等數(shù)學知識知道，非齊次微分方程的解是齊次微分方程的解疊加上特解。由于特解的求解受形式的影響，高等數(shù)學中分為幾種類型求特解。本章將按物理意義分類介紹。無阻尼自由振動、有阻尼自由振動（齊次微分方程）和強迫振動（非齊次微分方程）、簡諧激勵和單位脈沖激勵、一般激勵強迫振動特解順序討論單自由度系

6、統(tǒng)振動，考慮到振動試驗分析需要，還介紹了傅氏積分變換和傳遞函數(shù)。2.2 無阻尼自由振動無阻尼自由振動系統(tǒng)是沒有阻尼且不受外部激勵的系統(tǒng)。令式(2.7)中和為零，得到無阻尼自由振動微分方程： (2.8)按微分方程理論，設其解為： (2.9)式中和均為待定常數(shù)。將式(2.9)代入式(2.8)式有為了得到非零解,只能：有令： (2.10)式中為虛數(shù)符號。根據(jù)微分方程理論，式(2.8)的通解為 (2.11)式中和為待定常數(shù)，可由初始條件確定。根據(jù)歐拉公式 (2.12)將(2.12)式代入(2.11)式整理得： (2.13)由于和都是待定常數(shù)，兩個待定常數(shù)的和、差仍然是待定常數(shù)，可用另一個待定常數(shù)代替，

7、設 (2.14)式(2.13)改寫為： (2.15)和是新的待定常數(shù)。設和關系如圖2.3所示，則: 圖2.3 變換示意圖 (2.16) (2.17)將式（2-17）代入式(2.15)，解可表達為： (2.18a)將圖2.3中的、互換，可得 (2.18b)式中和是待定常數(shù)。式(2.11)、(2.15)和(2.18)是同一個函數(shù)的三種表達式，表達式都各有兩個待定常數(shù)，這些待定常數(shù)之間的關系見(2.14)、(2.16)和(2.17)，并由初始條件確定。三種表達式各有特點：式(2.11)求導方便；式(2.15)的兩個常數(shù)分別由初始位移和初始速度確定；式(2.18)物理意義明確。下面我們用式（2-18b

8、）來討論單自由度無阻尼自由振動特性，由于正余弦函數(shù)最大值為1，所以振動的最大幅度為，叫做振幅。由于正弦和余弦函數(shù)的周期是，所以振動的周期為： (2.19)圖2.4振動曲線示意圖由于只與系統(tǒng)的參數(shù)有關，其量綱為弧度/秒(rad/s)，在量綱上與簡諧振動的圓頻率相同，并僅僅由系統(tǒng)質(zhì)量和彈簧剛度確定(見式2.10)，反映了系統(tǒng)的固有特性，所以叫作(無阻尼)固有頻率。工程上常用每秒振動的次數(shù)來恒量振動的快慢，叫做(工程)頻率(赫茲:1/s)。固有頻率與工程頻率的關系為： (2.20)其中： (2.21)根據(jù)(2.18a)畫出振動曲線示意圖如圖2.4，可看出：單自由度無阻尼系統(tǒng)振動最大幅值-振幅不變，振

9、動的周期不變，振動的起始點由初始相位確定。反映了振動時刻的時間起點，叫做相位。因此，單自由度無阻尼自由振動是等幅的周期振動，也叫簡諧振動。固有頻率、振幅、相位反映了振動系統(tǒng)的基本特性，僅由系統(tǒng)參數(shù)確定。2.3 有阻尼自由振動阻尼在現(xiàn)實中具有普遍性，絕對無阻尼的情況是不存在的。阻尼要消耗能量，使振動衰減。若在振動過程中系統(tǒng)受到的阻尼不能忽略，就要建立有阻尼系統(tǒng)進行分析。有阻尼自由振動微分方程為： (2.22)兩邊同除以得到 (2.23)令 (2.24)的引入是為了解的表達式簡潔，同時也有明確的物理意義，稱為粘性阻尼因子。將式(2.10)和(2.24)代入式(2.23)有 (2.25)和無阻尼系統(tǒng)

10、一樣，設方程的解為 (2.26)式中為常數(shù)，為一個尚待確定的量。將解(2.26)代入方程(2.25)，得到非零解的條件為： (2.27)它稱為該系統(tǒng)的特征方程。這是關于的二次方程，它有兩個根： (2.28)顯然，根和的性質(zhì)取決于的值。我們看到，當時，得到虛根，對應無阻尼自由振動。下面我們分別討論(有阻尼)的情況。根據(jù)(2.26)，方程的解取決于開方項。其結(jié)果有三種情況：1.當時，開方項開方后為小于的正實數(shù)，和為兩不相等的負實數(shù)，微分方程的解為：按指數(shù)規(guī)律衰減，并逐漸回到平衡位置，沒有發(fā)生振動，這種現(xiàn)象叫做流變。振動中把的情況稱為過阻尼情況，本書不作討論。2.當時，開方項為零，和為兩相同的負實數(shù)

11、，方程有重根，按照微分方程理論，微分方程的解為：顯然，為單調(diào)減函數(shù)，當，系統(tǒng)也不振動。進一步分析可知，時，阻尼的大小剛好使系統(tǒng)能最快地回到平衡位置使系統(tǒng)不做周期振動，我們把對應的阻尼叫臨界阻尼，它是使振動系統(tǒng)剛好不振動而又能最快地回到平衡位置時的阻尼，由（2.24）式知，其值為： (2.29)3.當時，開方項開方為小于1的虛數(shù)，和為共軛復數(shù)，令則： (2.30)微分方程的解可表達為 (2.31)根據(jù)上節(jié)的思路和方法,式(2.31)可表達為另外兩種形式(2.32) (2.33a) (2.33b)以上三式均包含三角函數(shù)的乘積，表現(xiàn)出振動特性。所以當粘性阻尼因子時，系統(tǒng)是振動的。從式(2.33)可清

12、楚的看出解由兩部分構(gòu)成，按指數(shù)規(guī)律衰減的振幅和以為頻率周期函數(shù)。因而，有阻尼振動為周期性的減幅振動，其周期為： (2.34)是有阻尼振動的固有頻率。我們把的情況稱為小阻尼情況。顯然，有阻尼固有頻率小于無阻尼固有頻率。有阻尼系統(tǒng)周期大于無阻尼周期，阻尼使振動變慢、周期變長。根據(jù)式(2.33a),其典型的響應曲線如圖2.5所示。振動是周期的，但振幅是衰減的，曲線是振幅的包絡線。圖2.5有阻尼自由振動響應對于有阻尼系統(tǒng)，一個周期前后振幅比值的對數(shù)稱為對數(shù)衰減率，它是與阻尼有關的。 (2.35)為了減少測試誤差，試驗時往往多取幾個周期。如圖2.6所示，設時刻的振幅為，經(jīng)過n個周期后，振幅為，其振幅比值

13、的對數(shù)是對數(shù)衰減率的n倍，有圖2.6 有阻尼自由振動響應 (2.36)而所以而代入可求得： (2.37)當阻尼很小時，上式可進一步簡化為 (2.38)對數(shù)衰減率為測試系統(tǒng)阻尼提供了理論基礎。2.4單自由度系統(tǒng)的強迫振動及解的結(jié)構(gòu)當系統(tǒng)受持續(xù)激勵作用時的振動稱為強迫振動。系統(tǒng)持續(xù)激勵可以是連續(xù)的，也可以是間斷的。我們用時間的函數(shù)F(t)表示。其振動方程的一般表達式為式（2.7）： (2.39)1.解的結(jié)構(gòu)這是一個二階線性非齊次微分方程。在數(shù)學上，非齊次方程的通解是由齊次方程的通解疊加特解而得。因此，利用前面求得的自由振動通解（齊次解），強迫振動的通解為： (2.40)如前節(jié)，上式還可以用其它兩種

14、表達形式代入。在上式中，代入初始條件和就得到強迫振動通解。初始條件代入后有： (2.41)顯然，雖然強迫振動通解和自由振動都是兩個待定常數(shù)，但自由振動時兩個待定常數(shù)僅僅由初始條件確定，而強迫振動通解中的兩個待定常數(shù)不僅取決于初始條件，同時還要受特解影響。振動過程中阻尼總是客觀存在的。因此，解的前一項(齊次解)是衰減的，并隨著振動時間增加而逐漸消失，稱為瞬態(tài)響應。后一項(特解)是外部激勵的響應，只要激勵是持續(xù)的，振動就不會消失。在一段時間過后，振動只有后一項（特解），稱為穩(wěn)態(tài)響應。顯然，穩(wěn)態(tài)響應與初始條件無關，只與系統(tǒng)和外部激勵有關。在振動的前一段時間，振動是兩項的疊加，在一段時間后就只有穩(wěn)態(tài)響

15、應，瞬態(tài)響應時間的長短取決于阻尼的大小。待定常數(shù)中含有特解在初始時刻和的值。可將上式進一步分開寫成三項：上式由三部分組成，第一部分為初始條件下系統(tǒng)的自由振動，由初始條件和系統(tǒng)參數(shù)確定；第二部分是激勵與與自由振動的相互影響，叫作系統(tǒng)的自由伴隨振動；第三部分為激勵引起的穩(wěn)態(tài)響應，由激勵和系統(tǒng)參數(shù)確定。因此，由于激勵的影響，對于初始位移和初始速度為零的系統(tǒng)，自由振動的通解項也會存在。事實上在(2.41)式中代入零初始位移和零初始速度，并將其代入(2.40)得： (2.42)2、共振和拍現(xiàn)象由于自由振動響應是簡諧的，當激勵也是簡諧的時，在某些條件下振動現(xiàn)象比較特殊。如當系統(tǒng)固有頻率與激勵頻率接近或相等

16、時，振幅會急劇增大，這種現(xiàn)象叫作共振。下面我們就無阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵時的兩種特殊現(xiàn)象進行討論。第1種情況是與相差不大時響應出現(xiàn)的“拍”的現(xiàn)象；第2種情況是與相等時共振現(xiàn)象，我們把共振頻率定義為。這兩種情況我們都假設激勵為，初始條件為和，根據(jù)無阻尼微分方程，特解為：其中頻率比；顯然，根據(jù)（2.42）無阻尼且滿足零初始條件的解為： （A）1）當與相差不大時為了分析拍現(xiàn)象，令，則系統(tǒng)的響應變?yōu)椋簩⑸鲜礁膶憺椋?利用三角函數(shù)變換中的和差化積公式，變換為：由于與相差不大，其差值很小，上式每項均由兩個頻率相差很大正、余弦函數(shù)相乘，相對來說，前一項變化很慢，后一項變化很快，形成的響應示意如圖2-7，慢變的前

17、項相當于快變的后項的振幅，振動看似被變成高頻的。這種現(xiàn)象叫“拍”，拍的現(xiàn)象在實驗測量頻率中很大的用處，也是調(diào)頻的基本原理。圖2.7 “拍”的示意圖2）當與相等時，響應的分母變?yōu)榱悖瑸槔寐灞剡_法則分析，將用代替并代入式（A）得：當時，上式變成型，利用洛必達法則。分子、分母分別對求導，得系統(tǒng)的響應為：其中第一項是有限值，第二項是隨時間增加而增大的?？梢姡敃r，即時，在一段時間后，系統(tǒng)的振幅基本與時間成正比。因此，即使是無阻尼系統(tǒng)，雖然理論上共振時振幅會達到無窮大，但振幅增大的過程是與時間成正比的，需要持續(xù)的能量激勵才可能發(fā)生，如圖2-8所示。圖2.8 共振時振幅隨時間變化示意圖根據(jù)強迫振動解的結(jié)

18、構(gòu)及特性，下面我們主要研究穩(wěn)態(tài)響應。顯然穩(wěn)態(tài)解的形式和和求解方法與激勵形式有關。不同形式的激勵物理意義不同，求特解的方法也不同。根據(jù)求解方法和振動物理意義我們把激勵分為：簡諧激勵、周期性激勵、沖擊和單位脈沖、任意激勵。任意激勵是指沒有上述特征的一般激勵形式。2.5 簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應1穩(wěn)態(tài)響應解簡諧激勵是指用正弦或余弦函數(shù)描述的激勵。不失一般性，我們可根據(jù)歐拉公式(2.12)用簡諧激勵的復數(shù)形式： (2.43)其中為激勵頻率，為激勵幅值。其實部對應余弦型激勵、虛部對應正弦形激勵，激勵描述時沒有考慮相位，但考慮相位的方法是一樣的。引入簡諧激勵的復數(shù)形式不但是為了方便求解，更是為了后面章節(jié)應用。從

19、而簡諧激勵的一般振動微分方程為 (2.44)按微分方程理論，設特解形式為 (2.45)式中為待定常數(shù)。代入式(2.45)可得 (2.46)將A回代入式(2.46)可得穩(wěn)態(tài)響應為： (2.47)若記 (2.48a)只與系統(tǒng)參數(shù)和激勵頻率有關，我們把它叫作傳遞函數(shù)，將在后面詳細討論。從而響應可用表達為： (2.48b)顯然簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應仍然是簡諧的，只是因為系統(tǒng)的影響，響應被“放大”倍，。為了進一步分析穩(wěn)態(tài)響應特性，我們將對傳遞函數(shù)進一步分析。2解表達式及特性為了得到簡諧激勵穩(wěn)態(tài)響應的具體表達式，對式(2.48)同乘分母的共軛復數(shù)，得： (2.49)根據(jù)圖2.9所示關系，可得： (2.50)

20、(2.51)代入式(2.51)得： (2.52) (2.53)代回到(2.52)式得： (2.55 a) (2.55b)其實部為余弦激勵的穩(wěn)態(tài)響應、虛部為正弦激勵的穩(wěn)態(tài)響應。顯然簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應仍然是簡諧的，且周期和頻率與激勵一致，幅值放大了，并產(chǎn)生了相位差。將；，且定義頻率比，代入(2.55)得 (2.56)若定義系統(tǒng)在激勵力幅作用下的靜位移為：則簡諧激勵穩(wěn)態(tài)響應幅值是靜位移的倍， (2A)我們把稱做無量綱放大因子。相位差可由式(2.53)、(2.54)或下式求得： (2B)3. 幅頻和相頻率響應特性放大系數(shù)式（2A）和相位差式（2B）分別反映了幅值和相位差與不同阻尼比和頻率比時的特性。時

21、幅頻（幅值-頻率）特性曲線如圖2.10所示。圖2.10 不同阻尼比時放大因子從圖2.10看到，放大因子起點對應靜力狀態(tài)，此后隨頻率比增加而增加，在頻率比為1附近達到最大值，以后逐漸減小，并逐漸趨于平緩。放大因子取極值，也就是根項內(nèi)取極值，對式(2.54)根號內(nèi)項求極值可得：有： (2.57)當頻率比時，放大因子有最大值： (2.58)實際上由于阻尼的影響，放大因子最大值并不在的點，而是前移了，阻尼越小，前移量越小。對應不同阻尼系數(shù)，放大因子的值不同。從無量綱放大因子圖（2.10）看出1）在共振頻率附近阻尼對振幅的抑制作用非常明顯，在離開共振稍遠的范圍，阻尼作用減弱。增加系統(tǒng)阻尼可以有效的減小共

22、振區(qū)的振動強度。2）為了減小系統(tǒng)的振動，使激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率相互避開是非常有效的；反之，要利用振動時就要使二者接近。3、系統(tǒng)對不同頻率成分的振動量放大程度不同，振動測試時應當合理選擇拾振器，希望工作頻段在放大因子較平滑段（共振頻率右邊），否則，不同頻率的振動放大程度差異太大，使信號失真。不同阻尼比時相頻（相位-頻率）特性曲線如圖2.11所示，當系統(tǒng)固有頻率與激勵頻率相等時，相位差為，圖2-11 相位-頻率特性曲線例四圖2.12所示為車輛在不平的道路上勻速行駛時振動分析簡化模型。設車輛質(zhì)量，懸掛的剛度k=350kN/m，阻尼比為0.5，車速為v=100km/h，軌道不平順呈正弦波形，可表示為

23、，其中波長。求車體穩(wěn)態(tài)響應及振動加速度。解：取質(zhì)量塊為隔離體，x(t)表示質(zhì)量塊的絕對坐標，其受力圖如圖2.13所示：圖2.13 受力圖系統(tǒng)平衡微分方程為： (a)整理得： (b)將代入不平順中，并設，則，將其代入式（b）得：穩(wěn)態(tài)響應為由兩項疊加而成，根據(jù)式(2.52)，取實部力幅為、取虛部時力幅為，疊加得：則振動加速度最大值為： 此結(jié)果核實一下？代入數(shù)據(jù)解得2.6沖擊、單位脈沖響應和任意激勵的響應除直接對方程(2.39)用數(shù)值積分方法求解外，求任意激勵的響應的解析方法還有杜哈梅積分法和積分變換法。杜哈梅積分是將激勵看作是一系列脈沖激勵的疊加，求出脈沖激勵的響應后，將這一系列脈沖激勵響應疊加就

24、得到了任意激勵的響應。積分變換方法是將振動微分方程(2.39)作拉氏或傅氏變換，然后反變換求響應。2.6.1 沖擊、單位脈沖函數(shù)振動系統(tǒng)受沖擊時的響應叫作沖擊響應。沖擊激勵形式多樣，除工程中的沖擊問題外，在振動測試中，我們往往用力錘激振系統(tǒng)。沖擊過程時間一般很短，在很短的時間內(nèi)系統(tǒng)受力從無達到最大并消失，如圖（2.14a）所示。沖擊過程相對復雜，但當我們對沖擊過程不感興趣時，沖擊引起的沖擊響應問題可描述為三個階段。1、 沖擊前系統(tǒng)初始位移和初始速度均為零；2、 系統(tǒng)在某時刻受沖擊力F作用，在很短的時間內(nèi)系統(tǒng)受力從無達到最大并消失，短暫的沖擊過程結(jié)束后，系統(tǒng)獲得沖量U，質(zhì)量塊獲得一個初始速度。由

25、于沖擊過程時間短，產(chǎn)生的位移可以忽略。3、 沖擊結(jié)束后瞬時、系統(tǒng)以沖擊結(jié)束后的速度為初始條件自由振動。設沖擊發(fā)生在t=0時刻，分別用0-和0+表示沖力作用瞬間的前后時間，則，在此過程結(jié)束后系統(tǒng)獲得沖量U，質(zhì)量塊獲得一個初始速度：在沖擊過程質(zhì)量塊產(chǎn)生位移是沖擊時間的乘積，因為沖擊時間很短，可假設位移很小，與速度相比可以略去。沖擊束后系統(tǒng)系統(tǒng)不再有激勵，只是以初始速度開始作自由振動。因此、求沖擊響應而不注重沖擊過程時，我們可以不考慮沖擊過程力的詳細變化規(guī)律，而只需要知道沖量的大小。根據(jù)沖量的定義，我們可以把發(fā)生在時刻的沖擊沖量簡化為寬為，高為的脈沖力，用如圖（2.14b）所示。如沖量為1、叫作做單

26、位脈沖。顯然、當脈沖寬度趨近于零，脈沖力趨近于無窮大。（a） （b）圖2.14 沖擊與脈沖激勵在數(shù)學上單位脈沖函數(shù)很好的描述了單位脈沖力，如圖2.14（b）所示，它定義為 (2.59) 或如圖2.14（b）所示 ，當時且有 (2.60)函數(shù)還有如下的重要性質(zhì) (2.61)其中為一連續(xù)函數(shù)。式(2.59)使具有定位功能，式(2.61)使具有篩選功能。2.6.2 單位脈沖響應當沖擊力的沖量為1時，激勵稱為單位脈沖，處于零初始條件的系統(tǒng)對單位脈沖力的響應稱為單位脈沖響應，記為。單位脈沖響應為初始位移為0，而初始速度為的自由振動，由2.4節(jié)單自由度有阻尼系統(tǒng)的通解為：將初始條件代入上式有：因此：其響應

27、如上圖2.15所示。當系統(tǒng)無阻尼時，只需要令阻尼為零，可得無阻尼時的單位脈沖響應。如果沖擊發(fā)生在時刻，則單位脈沖響應也將滯后時間，有，響應在大于零時才開始（圖2.15）。圖2.15 響應時間滯后示意圖2.6.3任意激勵響應杜哈梅(Duhamel)積分當初始條件為零的系統(tǒng)受到任意激振力作用時，可以將激振力看作是一系列的寬度為，高度為的脈沖力，如圖2.17所示。在時刻的脈沖力，其沖量對的任意時刻響應的貢獻為： (2.62)圖2.17 任意激勵劃分示意圖由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在任意激勵時時刻的響應等于激勵在時間區(qū)間內(nèi)的各個脈沖響應的總和，即 (2.63)上式的積分形式稱為卷積。因此線性系統(tǒng)對任意

28、激勵的穩(wěn)態(tài)響應等于它的單位脈沖響應與激勵的卷積。式(2.60)稱為杜哈梅積分。由卷積性質(zhì)，上式的積分變量可以互換。有 (2.64)例六求無阻尼系統(tǒng)的階躍激勵響應階躍激勵是指突然施加在系統(tǒng)上大小不變的激勵，用，其中如表示激勵的大小，稱為階躍函數(shù)，如圖2.18所示。圖 2.18階躍函數(shù)的表達式為它的導數(shù)為函數(shù)，也是振動分析的一個常用函數(shù)，其響應叫階躍響應。由杜哈梅積分，無阻尼階激勵的響應：2.7傅氏級數(shù)及傅氏變換、頻率譜響應反映了振動量與時間的關系，對于振動量，我們不僅僅需要從響應了解幅值，更需要了解其頻率特征。對于稍微復雜的振動量，從響應很難直接得到頻率特征。傅氏級數(shù)及傅氏變換是分析振動頻率特征

29、的有效工具。下面我們從傅氏級數(shù)開始介紹頻率譜及傅氏積分變換。2.7.1 傅氏級數(shù)簡諧運動是最基本和最簡單的振動形式。對于線性系統(tǒng)，求周期激勵的穩(wěn)態(tài)響應可先將周期激勵分解的一系列不同頻率的簡諧激勵分量，然后求出各簡諧激勵分量的響應，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各個響應逐一疊加就得到了系統(tǒng)對周期激勵的穩(wěn)態(tài)響應，從而將周期激勵的穩(wěn)態(tài)響應問題轉(zhuǎn)化為簡諧激勵穩(wěn)態(tài)響應的求和問題。另一方面，對于一個周期為振動量，總有，其基本園頻率?？偸强梢杂酶凳霞墧?shù)把其分解為諧波： （2.65）其中、是各個正、余弦諧波分量的幅值，是的平均值。是各個諧波的頻率。為確定余弦項和正弦項的幅值和，利用三角函數(shù)的正交性，把（1-1）

30、式兩側(cè)同乘上或，然后對從到上積分可得： （2.66）顯然，、反映了每個諧波分量的幅值，在圖上是離散的，可叫做（頻率的）幅值譜。例五求如圖2.16所示方波的傅氏級數(shù)。圖2.16解：將方波激勵展開成傅氏級數(shù)，各諧波分量系數(shù)為： 因為基本園頻率，所以上式劃為：各諧波分量的幅值與頻率關系如下圖。圖2.17 諧波分量幅值幅值譜2.7.2 復傅氏級數(shù)及傅氏積分（2.66）式中所求的和是實數(shù)傅氏系數(shù)，或即稱為傅氏系數(shù)，是物理振動過程，當然是實數(shù)級數(shù)。在理論推導中常采用復數(shù)形式比較方便，復傅氏級數(shù)當然并不改變振動過程本身。在式（2.67）中利用歐拉公式：； （2.67）整理后并記 （2.68）（2.69）式就

31、成為下面形式。雖然只是形式上的改變，但將傅氏級數(shù)從實數(shù)域擴展到了復數(shù)域，叫復傅氏級數(shù)。 （2.69）其中，由（2.68）和（2.69）式可知為： （2.70）傅氏級數(shù)及復傅氏級數(shù)只適于對周期函數(shù)進行頻率分析。2.7.3 傅氏積分變換對于周期函數(shù)，作諧波分析時，由于需要滿足周期的要求，所以各高次諧波的頻率只能取基頻的整數(shù)倍。實際應用中有很多非周期函數(shù)，我們可以將非周期函數(shù)看作是周期可趨近的周期函數(shù)。當周期趨近時，頻譜間隔將趨于零，傅氏級數(shù)的求和轉(zhuǎn)變積分。顯然，頻譜間隔將趨于零使得譜將是連續(xù)的，這是周期函數(shù)與非周期函數(shù)在頻域中表現(xiàn)出的主要特征差別之一。對于周期函數(shù)，頻率間隔為。頻譜是離散取值的。愈

32、大，頻率間隔愈小。對于非周期函數(shù)，當T趨近無窮大時，記頻率間隔為，則同理周期函數(shù)中頻率間隔的整數(shù)倍可表達為：從而：將（2.70）式代入：可以認為，因而，（連續(xù)取值），。因而有，可以記函數(shù) （2.71）為原函數(shù)的正傅氏積分變換，則的逆傅氏積分變換為： （2.72）把乘數(shù)放在正或逆傅氏變換中有不同的取法。把乘數(shù)放在逆變換中，這時由于，所以這樣的傅氏變換對對于圓頻率和對于赫茲頻率將是一致的。使用（2.71）和（2.72）作為傅氏變換對時，赫茲頻譜與圓頻率頻譜之間的關系成為： （2.73）即赫茲頻譜等于圓頻率頻譜中的以代替后，再乘以。一般是復的，可以用實部頻率、虛部頻率、幅值頻率、相位頻率的圖線表示。

33、為了比較傅氏級數(shù)和傅氏積分的差別，我們對前例用積分變換求幅值譜。例六 對圖2.16所示方波進行傅氏積分變換，也在一個周期內(nèi)進行。解：其實部為零，虛部為： 由于是連續(xù)變化的，與實傅氏變換相比，除基本園頻率取極值外，在其它點并不為零。圖2.18 幅值譜：（a）傅里葉積分；（b）傅里葉級數(shù)2.8 傳遞函數(shù)除了根據(jù)激勵求響應外，還需要根據(jù)激勵和響應求系統(tǒng)的物理參數(shù)-系統(tǒng)參數(shù)識別，系統(tǒng)參數(shù)識別也是故障診斷的理論基礎。在求簡諧振動的穩(wěn)態(tài)響應時，我們的知道復數(shù)形式激勵和穩(wěn)態(tài)響應與激勵之間的關系僅僅由確定，而與激勵無關，僅由系統(tǒng)參數(shù)m、c、k和振動頻率確定，為系統(tǒng)參數(shù)識別提供了基礎。在工程中隨不同的激勵和響應而給出了不同的名稱，例如力激勵至位移響應時稱為位移導納或動柔度，速度至力稱機械阻抗。由于它用復數(shù)形式反映了系統(tǒng)的幅值和頻率傳遞特性，也叫作復頻響應函數(shù)；常把用拉氏變換復參量表示的傳遞恃性稱為傳遞函數(shù)，也有用傳遞函數(shù)一詞來統(tǒng)稱各種頻率傳遞特性，本書也將它稱為傳遞函數(shù)。從輸入、系統(tǒng)、輸出三者之間的關系看，響應是通過反映系統(tǒng)物理特性的后傳遞的激勵，不同的系統(tǒng)傳遞后的響應不同。傳遞函數(shù)還可根據(jù)微分方程由傅氏變換和拉氏變換得到。對于一般的系統(tǒng)振動微分方程均有式（2.66）的形式，其傳遞函數(shù) (2.74)在工程實際中有不同的系統(tǒng)、不同的輸入和輸出關系，因此也有不同形式。對于