教案_空間幾何體的表面積和體積_

1、空間幾何體的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法；2.能運用公式求解柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；3.了解球的表面積和體積公式推導(dǎo)的基本思想，掌握球的表面積和體積的計算公式，并會求球的表面積和體積；4.會用柱、錐、臺體和球的表面積和體積公式求簡單幾何體的表面積和體積.【要點梳理】【高清課堂：空間幾何體的表面積和體積 395219 空間幾何體的表面積】要點一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積 棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個面的面積之和計算時要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個面的面積

2、再求和棱柱、棱錐、棱臺底面與側(cè)面的形狀如下表：項目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高要點詮釋：求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積要點二、圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱、圓錐、圓臺是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積1圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個矩形的長等于圓柱底

3、面周長C=2r，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2r （2）圓柱的表面積：2圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個扇形的弧長等于圓錐底面周長C=r，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積是（2）圓錐的表面積：S圓錐表=r2+r 3圓臺的表面積（1）圓臺的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)如果圓臺的上、下底面半徑分別為r、r，母線長為，那么這個扇形的面積為(r+r)，即圓臺的側(cè)面積為S圓臺側(cè)=(r+r)（2）圓臺的表面積：要點詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從旋轉(zhuǎn)體的生

4、成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系4圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下圖所示 要點三、柱體、錐體、臺體的體積1柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=r2h綜上，柱體的體積公式為V=Sh2錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用r2表示S，則綜上，錐體的體積公式為3臺體的體積公式棱臺的體積：如果棱臺的上、

5、下底面的面積分別為S、S，高是h，那么它的體積是圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是r、r，高是h，那么它的體積是綜上，臺體的體積公式為4柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系如下圖所示 要點四、球的表面積和體積1球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式 S球=4R2即球面面積等于它的大圓面積的四倍2球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)球的體積公式為要點五、側(cè)面積與體積的計算1多面體的側(cè)面積與體積的計算在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺側(cè)面積公式及其推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，對于一些較簡單的幾何組合體的表面

6、積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍?、錐、臺、球，再進(jìn)一步分解為平面圖形（正多邊形、三角形、梯形等），以求得其表面積與體積要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈活運用（1）棱錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例關(guān)系：對應(yīng)線段（如高、斜高、底面邊長等）的平方之比要點詮釋：這個比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時，會大大簡化計算過程在求臺體的側(cè)面積、底面積比時，將臺體補成錐體，也可應(yīng)用這個關(guān)系式（2）有關(guān)棱柱直截面的補充知識在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面平行的截面棱柱的側(cè)面積與直截面周長有

7、如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)=C直截（其中C直截、分別為棱柱的直截面周長與側(cè)棱長），V棱柱=S直截（其中S直截、分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長）2旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積的計算（1）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形式及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵（2）計算柱體、錐體和臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)問題的關(guān)鍵【典型例題】類型一、簡單幾何體的表面積例1如右圖，有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，則的取值范圍是 【答案】【解析】底面積

8、為，側(cè)面面積分別為6、8、10，拼成三棱柱時，有三種情況：，拼成四棱柱時只有一種情況：表面積為，由題意得，解得【總結(jié)升華】（1）直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長和高的乘積；表面積等于它的側(cè)面積與上、下兩個底面的面積之和（2）求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一是定義法；二是公式法所謂定義法就是利用側(cè)面積為各側(cè)面面積之和來求，公式法即直接用公式求解例2在底面半徑為R，高為h的圓錐內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，求內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時圓柱的高，并求此時側(cè)面積的最大值【思路點撥】一般要畫出其軸截面來分析，利用相似三角形求解。【答案】高為 側(cè)面積的最大值為【解析】如右圖，設(shè)圓柱的高為x，其底面半徑為r，則，圓柱的側(cè)面積

9、 ，當(dāng)時，即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時圓柱的高為，此時側(cè)面積的最大值為【總結(jié)升華】與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問題，常作軸截面，利用相似比得出變量之間的關(guān)系，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題解決 例3粉碎機的下料斗是正四棱臺形，如圖，它的兩底面邊長分別是80 mm和440 mm，高是220 mm計算制造這一下料斗所需鐵板的面積【思路點撥】問題的實質(zhì)是求正四棱臺的側(cè)面積，欲求側(cè)面積，需先求出斜高可在有關(guān)的直角梯形中求出斜高【答案】2.8×105【解析】如圖所示，O、O1是兩底面的中心，則OO1是正棱臺的高設(shè)EE1是斜高，過E1作E1FOO1交OE于F，則E1FOE，在直角梯形OO1E1E中， 邊數(shù)n=4，兩底面邊長

10、a=440 mm，a=80 mm，斜高h(yuǎn)269 mm， 答：制造這一下料斗約需鐵板2.8×105 mm2【總結(jié)升華】 （1）解決與正棱臺有關(guān)的計算問題，關(guān)鍵是利用有關(guān)直角梯形，即上圖中的梯形OEE1O1、梯形OAA1O1、梯形AEE1A1（2）求棱臺的側(cè)面積，只需利用公式求解即可，這就需要求出上、下底面半徑以及母線長類型二、簡單幾何體的體積例4已知一個三棱臺上、下底面分別是邊長為20 cm和30 cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積【答案】 【解析】如右圖所示，在三棱臺ABCABC中，O、O分別為上、下底面的中心，D、D分別是BC、

11、BC的中點，則DD是梯形BCCB的高，所以又AB=20 cm，AB=30 cm，則上、下底面面積之和為由S側(cè)=S上+S下，得，所以，所以棱臺的高，由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為 【總結(jié)升華】 注意構(gòu)造簡單幾何體中的特殊三角形與特殊梯形，它們的數(shù)量關(guān)系往往是連接已知與未知的橋梁，要注意利用例5一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則這個幾何體的體積為 m3【答案】 【解析】 由三視圖可知這個幾何體是由一個圓錐和一個長方體組成的其體積為等于圓錐的體積與長方體的體積之和即 =（m3）【總結(jié)升華】給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求解

12、此類題目是新課標(biāo)高考的熱點，應(yīng)引起重視 【解析】由三視圖可知，其幾何體是由一個正方體挖去一個圓錐所得，所以其體積是正方體的體積減去圓錐的體積之差，即類型三、球的表面積與體積例6已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面積與球的體積【答案】54 【解析】如右圖，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1平面ABC于點O1，由于OA=OB=OC=R，則O1是ABC的外心，設(shè)M是AB的中點，由于AC=BC，則O1CM設(shè)O1M=x，連接O1A，O1B，易知O1MAB，則，又O1A=O1C，解得在RtOO1A中，OO1A=90°，OA=R，由勾股定理得，解得則S球=4R2=54，【總結(jié)升華】本題利用球面的性質(zhì)，根據(jù)條件中的等量關(guān)系建立方程例7已知正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為（1）求它的外接球的體積（2）求它的內(nèi)切球的表面積【答案】（1）（2）【解析】 如右圖，作PE垂直底面ABCD于E，則E在AC上（1）設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，連接OA、OC，則OA=OC=OP，O為PAC的外