膜管的生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)

1、膜管的生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)摘要：本文利用蒙特卡洛方法通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬從而更直觀和快捷地研究影響膜管生長(zhǎng)過(guò)程，由所建立模型得到的模擬結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)加以比較，可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性，進(jìn)而對(duì)模型所采用的理論，如分子間的作用描述式等進(jìn)行選擇和調(diào)整。因此計(jì)算機(jī)模擬具有實(shí)驗(yàn)無(wú)法比擬的優(yōu)越性，做好這方面的工作將對(duì)材料的研究起重要的作用。關(guān)鍵詞：膜管 材料 性能 產(chǎn)業(yè)1 緒論1.1 膜管的用途隨著固態(tài)高科技技術(shù)產(chǎn)業(yè)（集成電路產(chǎn)業(yè)、固體發(fā)光和激光器件產(chǎn)業(yè)、錄材料和器件產(chǎn)業(yè)等）的飛速發(fā)展，膜管科學(xué)和技術(shù)越來(lái)越受到重視1。膜管科學(xué)之所以能夠成為現(xiàn)代材料科學(xué)各分支中發(fā)展最為迅速的一個(gè)，其原因有很總結(jié)起來(lái)可包含三個(gè)方面2：現(xiàn)代科學(xué)技

2、術(shù)的發(fā)展，特別是微電子技術(shù)的發(fā)展打破了過(guò)去體材料一下的局面，過(guò)去需要眾多材料組合才能實(shí)現(xiàn)的功能，現(xiàn)在僅僅需要少數(shù)幾個(gè)或一塊集成電路板就可以完成，膜管技術(shù)正是實(shí)現(xiàn)器件和系統(tǒng)微型化的最有技術(shù)手段。器件的微型化不僅可以保持器件原有的功能并使之強(qiáng)化，隨著器件的減小并接近量子化運(yùn)動(dòng)的微觀尺度，膜管材料或器件將顯示出許多全新的物象，所以膜管技術(shù)作為器件微型化的關(guān)鍵技術(shù)是制備具有新型功能器件的有段之一。每種材料的性能都是有局限性，而膜管技術(shù)則可將各種不同材料靈活合在一起，構(gòu)成具有優(yōu)異特性的復(fù)雜材料體系，發(fā)揮各種材料獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，單一材料的某些局限性。由于膜管材料的研究和開(kāi)發(fā)對(duì)產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)貢獻(xiàn)日益增大，膜管科學(xué)研究

3、成化為生產(chǎn)力的速度不斷加速等等，都迫使人們對(duì)膜管材料的研究進(jìn)一步深化且膜管材料的科學(xué)研究和其生產(chǎn)是緊密相連的，如果沒(méi)有對(duì)膜管生長(zhǎng)過(guò)程中的行為有深刻的了解，就很難制造出高質(zhì)量的膜管材料，從而不能發(fā)揮出薄料特有的高性能，開(kāi)發(fā)和研究新的功能材料將成為一紙空談。1.2 膜管生長(zhǎng)模擬研究現(xiàn)狀近些年來(lái)，材料科學(xué)有了長(zhǎng)足的發(fā)展。具有各種優(yōu)異性能的新材料層出不窮，在材料的各個(gè)分支中，膜管材料的發(fā)展一直占據(jù)了極為重要的地位。在國(guó)際上，新型的膜管材料成為科學(xué)技術(shù)研究的最熱門(mén)的學(xué)科之一。開(kāi)展膜管材料的基礎(chǔ)研究直接關(guān)系到信息技術(shù)、微電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域的發(fā)展方向和進(jìn)程。新型膜管材料的發(fā)展取決于人們對(duì)先進(jìn)的膜管材

4、料、先進(jìn)的成膜技術(shù)和膜管結(jié)構(gòu)的控制，以及對(duì)膜管的物理、化學(xué)行為的深入研究。目前，對(duì)膜管材料的研究正在向多種類(lèi)、高性能、新工藝等方面發(fā)展，其基礎(chǔ)研究也在向分子層次、原子層次、納米尺度、介觀結(jié)構(gòu)等方向深入，新型膜管材料的應(yīng)用范圍正在不斷擴(kuò)大3。在膜管基礎(chǔ)研究中，利用計(jì)算機(jī)模擬研究膜管晶體膜的生長(zhǎng)過(guò)程的發(fā)展水平國(guó)內(nèi)外相差比較大，國(guó)外的學(xué)者研究的比較多，而且在很多的方面和方法上進(jìn)行了有意義的嘗試。國(guó)內(nèi)的學(xué)者則在近些年來(lái)才相繼開(kāi)展研究，仍處于起步階段?？偲饋?lái)說(shuō)，研究者運(yùn)用計(jì)算機(jī)模擬的方法已經(jīng)取得了一些較為滿意的結(jié)果，如在膜管的退火過(guò)程4-5、Au/Au(001)膜管的生長(zhǎng)過(guò)程6、多晶材料在正常晶粒生長(zhǎng)和

5、異常晶粒生長(zhǎng)7、Pt/Pt(111)膜管的生長(zhǎng)8、無(wú)定性碳膜在紅外的光學(xué)的特性等等對(duì)膜管生長(zhǎng)中的連續(xù)和不連續(xù)形態(tài)進(jìn)行了模擬研究；Gilme9等討論了一系列使用晶格蒙特卡羅方法（MC）模擬膜管沉積的結(jié)果；Takano10等利用分子動(dòng)力學(xué)（MD）和蒙特卡羅方法（MC）研究了膜管生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，獲得了一系列結(jié)果，如彎折（kink）沿臺(tái)階生長(zhǎng)等；吳鋒民等11模擬了臺(tái)階面上納米團(tuán)簇的形成及“臺(tái)階流動(dòng)”現(xiàn)象；張慶瑜等12模擬了Au/Au(100)外延膜的初期生長(zhǎng)過(guò)程13，結(jié)果表明單原子擴(kuò)散過(guò)程在膜管生長(zhǎng)過(guò)程中起著重要的作用；王曉平等14模擬了超膜管多中心分形生長(zhǎng)和團(tuán)狀生長(zhǎng)現(xiàn)象。顧觀菊等15通過(guò)改變擴(kuò)散原

6、子沿團(tuán)簇周界擴(kuò)散步數(shù)模擬了分形生長(zhǎng)、枝晶狀生長(zhǎng)和團(tuán)狀生長(zhǎng)等生長(zhǎng)形態(tài)等等，研究的結(jié)果可謂說(shuō)是成果頗豐。1.3 課題意義及主要工作本文綜合前人所做的相關(guān)工作，基于蒙特卡羅方法在DLA模型的基礎(chǔ)上，利用Morse勢(shì)描述粒子間的相互作用，考慮了粒子的沉積、吸附粒子的擴(kuò)散和蒸發(fā)三個(gè)過(guò)程，考慮了沉積速率、ES勢(shì)壘等影響膜管生長(zhǎng)的參數(shù)，發(fā)展了一套較為完整的三維模型，并利用與OpenGL框架相結(jié)合，形成三維圖象，其結(jié)合相應(yīng)的分形圖象維數(shù)，可以方面的研究各參數(shù)與維數(shù)的關(guān)系，并擬合成圖。目前，膜管生長(zhǎng)的理論模型還不是很成熟，所以計(jì)算機(jī)模擬只能基于一些簡(jiǎn)單的模型進(jìn)行，模擬只對(duì)單晶和考慮適當(dāng)缺陷的單晶襯底進(jìn)行，這樣便

7、于確定沉積粒子在襯底的位置。模擬結(jié)果只得到一些定性的結(jié)論，從微觀角度對(duì)多晶襯底上的沉積、化合物或多元素膜的沉積等復(fù)雜情況的模擬還有待研究。2 膜管的生長(zhǎng)過(guò)程在膜管的生長(zhǎng)過(guò)程中，由于沉積過(guò)程處于熱力學(xué)非平衡狀態(tài)，因此材料的成核和生長(zhǎng)是一個(gè)動(dòng)力學(xué)過(guò)程14,15。正因?yàn)槿绱?，膜管生長(zhǎng)導(dǎo)致了非平衡狀態(tài)下一系列豐富的表面形貌。生長(zhǎng)膜管的方法很多，包括真空沉積、電解沉積、氣相沉積、液相沉積、濺射沉積和分子束外延(MBE) 等。在制備膜管時(shí)，沉積原子落在基底上，它們首先通過(guò)一定的方式相遇結(jié)合在一起，形成原子團(tuán)。然后新的原子不斷加入這些已經(jīng)生成的原子團(tuán)，使它們穩(wěn)定長(zhǎng)大成為較大的粒子簇(這種膜管生長(zhǎng)過(guò)程中形成的

8、粒子簇通常叫做“島”)。隨著沉積過(guò)程的繼續(xù)進(jìn)行，原子島不斷長(zhǎng)大，并在這個(gè)過(guò)程中會(huì)發(fā)生島之間的接合，形成通道網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。再繼續(xù)沉積，原子將填補(bǔ)通道間的空隙，形成連續(xù)膜管。這是一個(gè)一般意義上的生長(zhǎng)概念。在膜管生長(zhǎng)過(guò)程中，沉積原子的形核和生長(zhǎng)初期階段的性質(zhì)直接影響著將要形成的整個(gè)膜管的質(zhì)量。近二十年來(lái)，人們已經(jīng)在這方面做了大量的研究工作。掃描隧道顯微鏡( ScanningTunneling Microscopy ,STM)16的出現(xiàn)更是為這方面研究解決了實(shí)驗(yàn)上的關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題。它以原子量級(jí)的實(shí)空間分辨率,使人們夠直接觀察到原子在材料表面的微觀行為，從而大大推動(dòng)了對(duì)亞單層膜管生長(zhǎng)機(jī)理的研究，這方面的工作已

9、經(jīng)成為當(dāng)今世界凝聚態(tài)物理研究的熱點(diǎn)之一。根據(jù)膜管在不同長(zhǎng)階段的特點(diǎn)，我們將分為亞單層膜和厚膜的生長(zhǎng)進(jìn)行討論。2.1 亞單層膜的生長(zhǎng)過(guò)程圖2-1 簡(jiǎn)立方晶體表面的TSK模型，白色圈代表基底原子，虛線表示梯級(jí)位置前面提到，在膜管生長(zhǎng)是一種非平衡狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)過(guò)程,各種復(fù)雜的微觀原子擴(kuò)散行為主導(dǎo)著亞單層生長(zhǎng)中膜管的質(zhì)量。因此研究和探討膜管生長(zhǎng)中這些微觀的原子擴(kuò)散機(jī)制是很重要的。到目前為止，人們描述生長(zhǎng)的微觀機(jī)制通常都基于所謂的臺(tái)面-臺(tái)階-扭折（Terrace-Step-Kink，TSK）模型17，如圖2.1 所示。它顯示了表面上主要的構(gòu)成：即Terraces,Steps和Kinks。同時(shí)還顯示了通常

10、在表面上存在的缺陷、空穴、原子島等?，F(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)可以利用STM 觀測(cè)到TSK模型17,18。圖2.2 發(fā)生在基底表面的不同原子過(guò)程在膜管生長(zhǎng)中原子擴(kuò)散是一個(gè)極為重要的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，如圖2.2所示19，原子在表面的行為大致可歸類(lèi)如下：(1) 原子沉積到基底上(f)；(2) 單個(gè)原子在基底表面上的擴(kuò)散(a)；(3) 擴(kuò)散原子與另外一個(gè)擴(kuò)散原子相遇形核(b)；(4) 擴(kuò)散原子被基底上已存在的島所俘獲；(5) 島邊緣的原子有一定幾率脫離島(a)；(6) 島邊緣的原子與島保持鍵合并沿著島邊擴(kuò)散(c)；(7) 直接沉積在島上的原子原子克服Schwoebel勢(shì)壘擴(kuò)散后再落到基底上(d)；（8）沉積在基底上的

11、原子獲得能量跳到上原子層(e)；(9) 沉積原子在島上形核(b)；(10) 兩個(gè)(dimer) 或多個(gè)原子組成的原子團(tuán)的集體擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)(b)。正是這些微觀原子擴(kuò)散過(guò)程以及他們之間的相互作用共同決定了外延生長(zhǎng)中膜管的性質(zhì)和質(zhì)量。在膜管生長(zhǎng)中臨界島的尺寸和島的尺寸分布是研究人員一直感興趣的問(wèn)題。臨界島尺寸是是這樣定義的：在形核過(guò)程中存在著一個(gè)數(shù)值，當(dāng)一個(gè)生長(zhǎng)島所包含的原子數(shù)大于這個(gè)數(shù)值時(shí)，則該島是穩(wěn)定的；而當(dāng)此島所包含的原子數(shù)量小于或等于該數(shù)值時(shí)，該島是不穩(wěn)定的。這個(gè)數(shù)值被稱(chēng)為該生長(zhǎng)系統(tǒng)的臨界島尺寸，通常用i 來(lái)表示。臨界島尺寸的大小受生長(zhǎng)材料和實(shí)驗(yàn)參量的影響。對(duì)不同的材料，它們對(duì)應(yīng)的原子臨界島尺寸

12、通常是不同的；而且，對(duì)同一種沉積原子當(dāng)實(shí)驗(yàn)條件不同時(shí)，例如改變襯底溫度或沉積速率，它的臨界島尺寸也會(huì)不一樣。因此，在研究亞單層膜管的形核和生長(zhǎng)過(guò)程中，臨界島尺寸是影響膜管生長(zhǎng)的重要參數(shù)之一。實(shí)驗(yàn)表明，參與表面各種原子過(guò)程的原子擴(kuò)散能力可以用表面擴(kuò)散系數(shù)來(lái)描述。表面擴(kuò)散系數(shù)與擴(kuò)散原子的跳躍幾率有關(guān),可以表示為:V=V0expEB/kBT (2-1)這里0是嘗試頻率，EB是能量勢(shì)壘，kB是玻耳茲曼常數(shù)，T是溫度。與臨界島尺寸相關(guān)的用來(lái)描述原子島生長(zhǎng)的另一個(gè)重要參數(shù)是島密度(單位表面的原子島數(shù)量)。經(jīng)典的形核理論給出了島密度與臨界島尺寸i 的標(biāo)度關(guān)系表達(dá)式: (2-2)這里N是總的島密度，D是原子在

13、基底表面上的擴(kuò)散系數(shù)，Ei 是鍵能， F是沉積流量。運(yùn)用此方程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量就可以推導(dǎo)出未知的微觀參數(shù)。比如測(cè)量島密度隨沉積流量的變化規(guī)律，可以得到臨界島尺寸大小i；測(cè)量島密度隨溫度的變化規(guī)律，那么由已知的臨界島尺寸i，就可以得到擴(kuò)散勢(shì)壘EB和嘗試頻率0的大小。島的尺寸分布是指不同尺寸的原子島在基底表面的分布狀況。近年來(lái)由于低維納米結(jié)構(gòu)(如量子點(diǎn)、量子線) 的廣泛應(yīng)用前景，研究人員更注重如何獲得尺寸分布均勻，同時(shí)空間分布也均勻的納米結(jié)構(gòu)。而對(duì)島的尺寸分布的研究有助于增進(jìn)對(duì)生長(zhǎng)中的微觀機(jī)制的理解，從而控制生長(zhǎng)條件以得到高質(zhì)量的有序低維納米結(jié)構(gòu)。隨著表面分析技術(shù)的不斷發(fā)展,掃描隧道顯微鏡(STM)

14、 、高分辨衍射和散射技術(shù)的出現(xiàn)，人們已經(jīng)可以有效地探測(cè)表面的形貌和生長(zhǎng)的微觀結(jié)構(gòu)。在不可逆生長(zhǎng)聚集區(qū)域，島的尺寸分布具有標(biāo)度行為，并滿足下面的表達(dá)式： (3-3)這里Ns 表示含有s個(gè)原子的島的密度,為覆蓋率,S表示島的平均尺寸大小，f為島密度分布的標(biāo)度函數(shù)。2.2膜管三維生長(zhǎng)的模式對(duì)膜管生長(zhǎng)機(jī)制的研究中認(rèn)為：在膜管生長(zhǎng)的過(guò)程中，在穩(wěn)定島形成后，膜管生長(zhǎng)會(huì)出現(xiàn)三種不同的生長(zhǎng)模式20-21：(1) 島狀生長(zhǎng)（VolumeWeber）模式：膜管的形成過(guò)程屬于島狀生長(zhǎng)模式，有時(shí)稱(chēng)為 VW （VolmerWeber）模式。這種形成模式是在膜管生長(zhǎng)的初期階段，先形成三維晶核(小島)，而后晶核長(zhǎng)大、合并，

15、進(jìn)而形成連續(xù)膜管?，F(xiàn)在，大多數(shù)沉積膜管屬于這類(lèi)生長(zhǎng)模式。對(duì)這種模式有時(shí)也稱(chēng)為三維生長(zhǎng)模式。(2) 層狀生長(zhǎng)（Frankvan der Merwe）模式：第二種生長(zhǎng)模式是層狀生長(zhǎng)模式，有時(shí)稱(chēng)為 FM（Frankvan der Merwe）模式。對(duì)此，有時(shí)也稱(chēng)為二維生長(zhǎng)模式或單層生長(zhǎng)模式。這種形成模式是從一開(kāi)始，沉積在基片表面上的原子均勻的覆蓋表面，形成單原子層，往后以單原子層的形式依次生成第二層、第三層等，膜管厚度逐漸增加。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在以 W 或 Mo 為基片時(shí)，Na、K、Cs、Cu 等金屬膜管的形成過(guò)程屬于這種模式。此外，在 Ag/Si、PbSe/PbS、Au/Pb、Fe/Cu 等系統(tǒng)中，也可

16、見(jiàn)到這種生長(zhǎng)模式，(3) 層島生長(zhǎng)（StranskiKrastanov）模式：第三種生長(zhǎng)模式是混合型模式，有時(shí)稱(chēng)為SK（StanskiKrastanov）模式。這種形成模式是在膜管形成的最初時(shí)期，首先在基片上形成 13 個(gè)單原子層，而后在其上再形成三維晶核，然后晶核再長(zhǎng)大、結(jié)合，形成有相當(dāng)厚度的連續(xù)膜管。一般在清潔的金屬表面上沉積金屬時(shí)容易發(fā)生這種生長(zhǎng)模式，如 Ag/Mo、Cd/W、Cd/Ge 等系統(tǒng)中的膜管。此外，在以 Si為基片的 Bi/Si、Ag/Si 等系統(tǒng)中的膜管也有這種生長(zhǎng)模式。上述三種生長(zhǎng)模式（如圖 2.2）所示。圖 2.2膜管生長(zhǎng)的模式膜管的生長(zhǎng)模式取決于多種因素，其中最主要的

17、是膜管物質(zhì)自身的凝聚力、膜管原子對(duì)基片的附著力、基片溫度和沉積速率。3分形及分維3.1分形的概念分形是1967年美國(guó)數(shù)學(xué)家曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)在研究英國(guó)海岸線的長(zhǎng)度時(shí)提出的。分形幾何研究的圖象比歐氏幾何研究的圖形更復(fù)雜，或者說(shuō)更真實(shí)。它的重要特征是沒(méi)有特征長(zhǎng)度，構(gòu)成其形狀的線或面不是光滑可微的。例如，云團(tuán)不是球形的，山脈不是圓錐的，海岸線不是圓弧的，樹(shù)皮亦不是光滑的，閃電也不是沿直線劃過(guò)的。分形是一種復(fù)雜的幾何形體，但并不是所有的復(fù)雜幾何體都是分形，唯有那些具備自相似結(jié)構(gòu)的幾何體才有可能是分形。分形研究的對(duì)象是具有某種自相似性的無(wú)序系統(tǒng)。我們知道，歐幾里得體系研究的是極度

18、有序和光滑的、具有特征長(zhǎng)度的幾何形體，如我們所熟知的直線、正方形、圓錐等幾何圖形。而任意復(fù)雜和粗糙的形態(tài)，我們稱(chēng)之為“幾何混沌”。分形幾何研究的對(duì)象是介于歐氏幾何與“幾何混沌”研究對(duì)象之間的第三種可能類(lèi)型的圖形，所以分形幾何可以看作是從有序過(guò)渡到無(wú)序的中間類(lèi)型的研究環(huán)節(jié)。分形目前為止并無(wú)明確定義，但具有如下經(jīng)典性質(zhì)：(1)在任何細(xì)小的尺度下，分形具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細(xì)節(jié)。(2)分形是如此的不規(guī)則以至于它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述。(3)分形通常有某種自相似的形式，可能是近似的或是統(tǒng)計(jì)的。(4)一般地，分形的“分形維數(shù)”(以某種方式定義)大于它的拓樸維數(shù)。(5)在大多數(shù)

19、令人感興趣的情形下，分形以非常簡(jiǎn)單的方法定義，可能由迭代產(chǎn)生。3.2分形度量尺度分維分維也具有多種形式的定義，下面簡(jiǎn)單介紹幾種常用分維數(shù)的定義：(1)豪斯道夫(Hausdorff)維數(shù)設(shè)A為Rn中的任何子集，s為一非負(fù)數(shù)，對(duì)任何>0，定義Hs(A)=inf，則稱(chēng)為Hs(A)=Hs (A)為集A的s-維豪斯道夫測(cè)度，并稱(chēng)dimHA=sups:Hs(A)= infs:Hs(A)=0為A的豪斯道夫維數(shù)。所以Hs(A)=(2)盒維數(shù)(Box-counting or Box dimension)又稱(chēng)計(jì)盒維數(shù)或Minkowski維數(shù)，設(shè)且有界非空，令N(E)為半徑為的覆蓋E的球的最小個(gè)數(shù)，則稱(chēng)dim

20、BE=為E的盒維數(shù)。(3)相似維數(shù)F是Rd上的有界子集，如果F可劃分成N個(gè)同等大小的部分，且每部分與F的相似比為r，則稱(chēng)dimsF =為集F的相似維數(shù)。4 Monte Carlo 方法4.1 蒙特卡羅方法的原理蒙特卡羅方法作為最基本的思想，可追溯到兩百年前的古典概率論的蒲豐氏問(wèn)題。要模擬真實(shí)的情況，需要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)工作，工作量巨大，所以在計(jì)算機(jī)還沒(méi)有出現(xiàn)之前，MC方法并沒(méi)有得到很好的地發(fā)展。到20世紀(jì)40年代，馮·諾伊曼發(fā)明計(jì)算機(jī)以后，使得計(jì)算機(jī)完成大量隨機(jī)試驗(yàn)成為可能。1944年，馮·諾伊曼和烏拉姆首先對(duì)中子鏈反應(yīng)作了隨機(jī)試驗(yàn)，并把這個(gè)程序叫做MonteCarlo，這標(biāo)

21、志著蒙特卡羅方法的誕生，1948年，費(fèi)米、馮·諾伊曼和烏拉姆進(jìn)一步把該方法應(yīng)用于解薛定鄂方程的本征值問(wèn)題。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步及其應(yīng)用范圍的日益廣泛，不同領(lǐng)域的人們?cè)谟幸庾R(shí)地、系統(tǒng)地應(yīng)用隨機(jī)抽樣試驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題，蒙特卡羅方法目前已成為計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)新的重要分支。我國(guó)從1955年以來(lái)開(kāi)展了隨機(jī)仿真的研究工作，并且在核科學(xué)、真空技術(shù)、地質(zhì)科學(xué)、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)和可靠性等方面都解決了大量的實(shí)際問(wèn)題蒙特卡羅方法作為一種普遍使用的計(jì)算機(jī)模擬方法，具有其自身的特點(diǎn)，概括起來(lái)主要包含以下幾個(gè)方面：.蒙特卡羅的程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，占內(nèi)存小。.蒙特卡羅方法的收斂速度很慢，但其收斂速度與維數(shù)無(wú)關(guān)。蒙特卡羅

22、方法的收斂是概率意義下的收斂，只能說(shuō)以多大的概率誤差不超過(guò)每一個(gè)值，這一點(diǎn)與一般數(shù)值方法是不同的，因此，一般不用蒙特卡羅方法求解精度很高的問(wèn)題，MC 方法在解決高維問(wèn)題時(shí)具有一定的優(yōu)越性。.蒙特卡羅方法受問(wèn)題條件的限制較少，如果邊界條件復(fù)雜并不給問(wèn)題的求解帶來(lái)很大的復(fù)雜性。因此，蒙特卡羅方法特別適用于處理維數(shù)高、邊界復(fù)雜，而精度要求不高的問(wèn)題。蒙特卡羅方法的基本原理是當(dāng)所要求解的問(wèn)題是某種事件的出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，可以通過(guò)數(shù)字模擬試驗(yàn)的方法得到這種事件出現(xiàn)的幾率，或者這個(gè)隨機(jī)變量試驗(yàn)值的平均值，并用它們作為問(wèn)題的近似解23。從蒙特卡羅的基本原理我們可以看到它是以抽樣和隨機(jī)

23、數(shù)的產(chǎn)生為基礎(chǔ)，是一種隨機(jī)性方法。但是蒙特卡羅模擬的精髓在于是將基元的隨機(jī)過(guò)程與其多次接連發(fā)生后的總的效果聯(lián)系起來(lái)，因而，當(dāng)基元過(guò)程的幾率分布為已知時(shí)，我們可以通過(guò)蒙特卡羅模擬對(duì)復(fù)雜過(guò)程的結(jié)果做出預(yù)告；另一方面，如果基元過(guò)程的幾率分布未知，我們可以對(duì)此分布作一定的模型假定，然后，在此假定下進(jìn)行蒙特卡羅模擬，通過(guò)模擬結(jié)果與試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果的比較來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图俣ǖ恼_與否。4.2蒙特卡羅方法與膜管生長(zhǎng)模擬模型MC方法可以解決各種類(lèi)型的問(wèn)題，但總的來(lái)說(shuō)，視其是否涉及隨機(jī)過(guò)程的形態(tài)和結(jié)果，可將用MC方法處理的問(wèn)題分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是確定性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。用MC方法求解這類(lèi)問(wèn)題的方法是，首先建立一個(gè)與所求解有關(guān)的概

24、率模型，使所求的解就是我們所建立模型的概率分布或數(shù)學(xué)期望；然后對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行隨機(jī)抽樣觀察，即產(chǎn)生隨機(jī)變量；最后用其算術(shù)平均值作為所求解的近似估計(jì)值。計(jì)算多重積分、求逆矩陣、解線性代數(shù)方程組、解積分方程、解某些偏微分方程邊值問(wèn)題和計(jì)算微分算子的特征值24等都屬于這一類(lèi)。第二類(lèi)是隨機(jī)性問(wèn)題。例如中子在介質(zhì)中的擴(kuò)散等問(wèn)題25就屬于隨機(jī)性問(wèn)題。這是因?yàn)橹凶釉诮橘|(zhì)內(nèi)部不僅受到某些確定性的影響，而且更多的是受到隨機(jī)性的影響。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，雖然有時(shí)可表示為多重積分或某些函數(shù)方程，并進(jìn)而可考慮用隨機(jī)抽樣方法求解，然而一般情況下都不采用這種間接模擬方法，而是采用直接模擬方法，即根據(jù)實(shí)際物理情況的概率法則，用電子

25、計(jì)算機(jī)進(jìn)行抽樣實(shí)驗(yàn)。原子核物理問(wèn)題、膜管生長(zhǎng)問(wèn)題、運(yùn)籌學(xué)中的庫(kù)存問(wèn)題、隨機(jī)系統(tǒng)中的排隊(duì)問(wèn)題26、動(dòng)物的生態(tài)競(jìng)爭(zhēng)和傳染病的蔓延等都屬于這一類(lèi)問(wèn)題。本論文所討論的膜管生長(zhǎng)初期的粒子在襯底上的遷徙和成核問(wèn)題正屬于這一范疇。在實(shí)際模擬計(jì)算過(guò)程中，Monte Carlo方法只能選擇一定尺寸的計(jì)算單元，要模擬宏觀大系統(tǒng)，則必須選用合適的邊界條件，這在計(jì)算中特別重要。原則上邊界條件可以劃分為四類(lèi):（1）周期性邊界條件；（2）自由邊界條件；（3）剛性邊界條件；（4）柔性邊界條件。另外一個(gè)影響模擬結(jié)果的重要因素是原子間相互作用勢(shì)函數(shù)的選取。經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)形式簡(jiǎn)單，計(jì)算機(jī)模擬較為容易，但模擬準(zhǔn)確度受到限制。而采用第一

26、原理來(lái)確定原子間相互作用勢(shì)函數(shù)計(jì)算量較大，模擬結(jié)果一般較為精確。實(shí)際模擬計(jì)算所使用的勢(shì)函數(shù)往往是兩者的折中，勢(shì)函數(shù)可以采用經(jīng)驗(yàn)式（如Lennard-Jones勢(shì)，Morse勢(shì)）。利用Monte Carlo方法人們已經(jīng)相當(dāng)成功地研究了各種膜管材料的形成過(guò)程，極大豐富了膜管形成的過(guò)程研究。5膜管生長(zhǎng)模擬過(guò)程模擬5.1建立模型5.1.1模型分析采用100×100的正方格子作為膜管生長(zhǎng)的襯底，襯底各向同性，粒子在襯底擴(kuò)散采取周期性邊界條件，即左出右進(jìn)，右出左進(jìn)，上出下進(jìn)，下出上進(jìn)，即設(shè)想所有計(jì)算的正方形襯底無(wú)限重復(fù)出現(xiàn)，使之鋪滿整個(gè)平面。由于每個(gè)正方形襯底內(nèi)均發(fā)生完全相同的運(yùn)動(dòng)，即若有一個(gè)粒

27、子向右走出某個(gè)正方形時(shí)，則該正方形左鄰的那個(gè)正方形相應(yīng)位置必然也有一個(gè)粒子向右走出，他恰恰就是從左面進(jìn)入該正方形的粒子，這樣就可以用有限范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果描述宏觀尺度的樣品。因此在實(shí)際運(yùn)算中，當(dāng)粒子從左邊擴(kuò)散出去后，相應(yīng)地，從右邊相應(yīng)位置就會(huì)進(jìn)來(lái)一個(gè)粒子，當(dāng)粒子從上邊出去后，會(huì)從下邊相應(yīng)位置近來(lái)一個(gè)粒子。同理，當(dāng)左右，上下邊界的相對(duì)位置都有粒子存在時(shí)，認(rèn)為在這些粒子的相應(yīng)近鄰處也有粒子存在，統(tǒng)計(jì)成團(tuán)情況是將其計(jì)算在內(nèi)，如圖5-1所示6：6，16，26，36，46，56，61，61，11，21，31，41，51，61，12，62，12，22，32，42，52，62，13，63，13，23，33，4

28、3，53，63，14，64，14，24，34，44，54，64，15，65，15，25，35，45，55，65，16，66，16，26，36，46，56，66，11，11，21，31，41，51，6圖5-1周期邊界條件5.1.2完善模型本文建立了一個(gè)盡可能簡(jiǎn)明的物理模型，假設(shè)襯底平面為二維方格點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，每一個(gè)格點(diǎn)都代表襯底上延伸出來(lái)的鍵，因此，襯底點(diǎn)陣原子勢(shì)能的極小值只能位于某個(gè)陣點(diǎn)所在的坐標(biāo)處，而不會(huì)落在陣點(diǎn)之間的某個(gè)地方，粒子坐標(biāo)只能是點(diǎn)陣的整數(shù)倍。在模型中，每次循環(huán)都有1個(gè)粒子隨機(jī)地落到襯底表面任意位置，然后擴(kuò)散，直到蒸發(fā)或停止擴(kuò)散后才有新的粒子再次沉積。在襯底上，認(rèn)為只有單個(gè)粒子是可以

29、移動(dòng)的。雖然試驗(yàn)上和理論上認(rèn)為原子團(tuán)在襯底上也可以遷移，但遷移率相當(dāng)緩慢，與單原子相比，它對(duì)膜管的生長(zhǎng)速率可以忽略。因此當(dāng)兩個(gè)原子結(jié)合成團(tuán)時(shí)，想要遷移不僅需要克服與襯底之間的結(jié)合能，還要克服它們之間的結(jié)合能。在擴(kuò)散過(guò)程中，粒子的擴(kuò)散步長(zhǎng)為點(diǎn)陣常數(shù)，粒子間的相互作用采用Morse勢(shì)描述。當(dāng)取不同值時(shí)，粒子間的相互作用范圍也不同如圖4-2所示：圖4-2 粒子的相互作用范圍計(jì)算勢(shì)能時(shí)截止距離R以內(nèi)的粒子都被予以考慮。模型中，粒子總是在其周?chē)膫€(gè)最近鄰中選擇可以使其能量處于更低的方向擴(kuò)散。依據(jù)粒子周?chē)呐湮粩?shù)（即最近鄰粒子的個(gè)數(shù)）和粒子擴(kuò)散的步數(shù)來(lái)判斷粒子是否應(yīng)該停止擴(kuò)散。對(duì)于單個(gè)原子在襯底上的運(yùn)動(dòng)，

30、其運(yùn)動(dòng)形式應(yīng)該是跳躍的，其運(yùn)動(dòng)方式應(yīng)是向四個(gè)最近鄰位置中最可幾位置中等幾率地選擇其中一個(gè)。 以物理學(xué)家Philip M.Morse的名字命名的Morse 勢(shì)是一種對(duì)于雙原子分子間勢(shì)能的簡(jiǎn)易模型。 由于它隱含地包括了鍵斷裂這種現(xiàn)象，所以它是對(duì)于分子振動(dòng)的微細(xì)結(jié)構(gòu)的良好近似。Morse勢(shì)包含有一個(gè)諧振子模型所缺乏的特性，那就是非成鍵態(tài)。相對(duì)量子諧振子模型，Morse勢(shì)更真實(shí)，因?yàn)樗苊枋龇侵C效應(yīng)，倍頻，以及組合頻率。Morse勢(shì)具有如下的形式。（4-1）其中，rij是編號(hào)為i，j兩粒子間的距離，D和分別為相互作用的強(qiáng)度和范圍，r0為勢(shì)能最低點(diǎn)的位置，即平衡位置。圖5-3 Morse 勢(shì)能曲線圖5-

31、3中分別為取2、3、4、6是的Morse勢(shì)能曲線，在圖中可以看出對(duì)于不同的值，Morse勢(shì)作用范圍也不相同。 如圖所示 當(dāng)二維數(shù)據(jù)保存以后可以再次界面讀取二維數(shù)據(jù)中的excel模擬出三維圖像，在模擬結(jié)果中可以任意拖動(dòng)界面角度，從不同的角度、形狀觀察模擬結(jié)果，這樣更能直接的觀察到膜管成型的過(guò)程5.2程序框圖總結(jié)薄膜生長(zhǎng)規(guī)律開(kāi)始隨機(jī)產(chǎn)生粒子一定時(shí)間內(nèi)沉積粒子，記錄沉積位置，初始能量等數(shù)據(jù)初始位置的粒子是否穩(wěn)定(由近鄰原子數(shù)和粒子能量決定)用morse勢(shì)計(jì)算原子間作用勢(shì)判斷遷移方向和步數(shù)粒子遷移過(guò)程中伴隨能量，近鄰粒子情況變化遷移完成后是否穩(wěn)定記錄粒子最終位置并繪圖記錄該粒子的參量NY圖5-4 膜管

32、生長(zhǎng)模擬程序流程圖6 模擬結(jié)果與討論6.1二維圖象由于上述提到的Witten和Sender提出的DLA模型的缺陷，模擬二維單中心膜管生長(zhǎng)過(guò)程時(shí)，中心原子設(shè)在（100，100）點(diǎn)上，在合理提出膜管生長(zhǎng)的模型基礎(chǔ)上，利用蒙特卡洛方法，模擬結(jié)果如圖所示： 單原子中心模擬 a b c d e圖5-1(a) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用

33、周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 a b C d E 圖5-2(a) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 a b c d e圖5-3(a) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為50000時(shí)，中

34、心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 a b c d E圖5-4(a) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像多原子中心模擬（6個(gè)中心） 圖5-5(

35、a) 原子數(shù)為1000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為1000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為1000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為1000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為1000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 圖5-6(a) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)

36、無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為5000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 圖5-7 (a) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為10000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 圖5-8(a) 原子數(shù)為20000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為20000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)

37、為20000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為20000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為20000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 圖5-9(a) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為50000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 圖5-10(a) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心

38、原子作用周邊4個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(b) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊8個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(c) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊12個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(d) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊20個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像(e) 原子數(shù)為100000時(shí)，中心原子作用周邊24個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像 1000 5000 15000 20000 40000 50000500000 圖5-11(f) 中心原子周邊為4時(shí)，原子數(shù)為1000 、5000、 15000 、20000 、40000 、500000個(gè)原子時(shí)無(wú)規(guī)行走圖像從圖5-1至5-4隨著中心原子作用周邊原子數(shù)的增多，樹(shù)枝狀分形結(jié)構(gòu)也同時(shí)在變細(xì)，而從5-5至5-10可以較為明顯的看出島的尺寸隨原子數(shù)增大而增大，并逐漸趨于團(tuán)狀生長(zhǎng)。同時(shí)，沉積速率越大在襯底上同時(shí)隨機(jī)行走的吸附原子越多，更容易相遇成核。從圖5-11的觀察和比較后可以看出，隨著原子數(shù)目的增加，襯底上膜管覆蓋率也隨著增加，膜管上樹(shù)枝狀分形結(jié)構(gòu)也在增加; 5.2三維圖象本文三維圖象是通過(guò)OpenGL框架在vb.2008下對(duì)上文所作的三維模擬進(jìn)行三維圖象顯示，并且整個(gè)三維圖像可以通過(guò)不同角度觀察，以便對(duì)膜管的多層生長(zhǎng)進(jìn)行研究。5.2.1三維圖象 圖5-9(a) 單中心生長(zhǎng)原子數(shù)為10