求解中考壓軸題的四種常見思想方法

1、求解中考壓軸題的四種常見思想方法湖北省黃石市下陸中學宋毓彬湖北省黃石市二十一中皮學軍1中考數學壓軸題概述    1.1壓軸題的概念中考數學試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是：一、選擇題（客觀題，有些地方將其稱作“第卷”）；二、填空題（形式簡單的主觀題）；三、解答題（二、三也合稱第卷）。在這三類題型中，思維難度較大的題目一般都設置在各類題型的最后一題，被稱作壓軸題。中考壓軸題按其題型的區(qū)別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類：選擇題和填空題型的壓軸題，常被稱作小壓軸題；解答題型壓軸題（也即整個試卷的

2、最后一題），叫大壓軸題，通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。 1.2壓軸題的特點中考數學壓軸題的設計，大都有以下共同特點：知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、解法靈活?？v觀近幾年全國各地數學中考壓軸題，呈現(xiàn)了百花齊放的局面，就題型而言，除傳統(tǒng)的函數綜合題外，還有操作題、開放題、圖表信息題、動態(tài)幾何題、新定義題型、探索題型等，令人賞心悅目。中考壓軸題主要是為考察考生綜合運用知識的能力而設計的題目，其思維難度高，綜合性強，往往都具有較強的選拔功能，是為了有效地區(qū)分數學學科中尖子學生與一般學生的試題。在課程改革不斷向前推進的形勢下，全國各地近年涌現(xiàn)出了大量的精彩的壓軸題。豐富的

3、、公平的背景、精巧優(yōu)美的結構，綜合體現(xiàn)出多種解答數學問題的思想方法，貼近生活、關注熱點、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進，為不同層次的學生展示自己的才華創(chuàng)設了平臺。 1.3壓軸題應對策略針對近年全國各地中考數學壓軸題的特點，在中考復習階段，我們要狠抓基礎知識的落實，因為基礎知識是“不變量”，而所謂的考試“熱點”只是與題目的形式有關。要有效地解答中考壓軸題，關鍵是要以不變應萬變。加大綜合題的訓練力度，加強解題方法的訓練，加強數學思想方法的滲透，注重“基本模式”的積累與變化，調適學生心理，增強學生信心。學生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因，如：基礎知識和基本技能的欠缺、解題經驗

4、的缺失或訓練程度不夠、自信心不足等。學生在壓軸題上的具體困難則可能是：“不知從何處下手，不知向何方前進”。在求解中考數學壓軸題時，重視一些數學思想方法的靈活應用，是解好壓軸題的重要工具，也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。本文就2009年全國各地部分中考壓軸題為例，簡要分析一些重要的數學思想方法在求解中考壓軸題時的重要作用。 2求解中考壓軸題的常見思想方法 2.1分類討論思想代表性題型：動態(tài)幾何問題，存在性討論問題。例1（2009年重慶）已知：如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在軸的正半軸上，OC在軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過原點O作AO

5、C的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DEDC，交OA于點E。（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G。如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；                       

6、;                （3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。解析：（1）由ADEBCD，及已知條件求得E、D、C坐標，進而求出過點E、D、C的拋物線的解析式：           

7、0;         （2）EF=2GO成立點M在該拋物線上，且它的橫坐標為，點M的縱坐標為設DM的解析式為將點D、M的坐標分別代入，得   解得  DM的解析式為    F（0，3）  EF=2過點D作DKOC于點K，則DA=DKDAFDKG，KG=AF=1，GO=1      EF=2GO（3）點P在AB上，G（1，0），C（3，0），則設P（t，2）PG=（t1）+2，PC=（3t）+2，G

8、C=2                 若PG=PC，則（t1）+2=（3t）+2解得t=2P（2，2），此時點Q與點P重合Q（2，2）若PG=GC，則（t1）+2=2，解得t=1，P（1，2）  此時GPx軸GP與該拋物線在第一象限內的交點Q的橫坐標為1，點Q的縱坐標為Q（1，）若PC=GC，則（3t）+2=2，解得t=3，P（3，2）此時PC=GC=2，P與D重合過點Q作QHx軸于點H，則QH=GH，設QH=h，Q（h+1

9、，h） 解得（舍去）Q（，）綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）思想方法解讀：這道壓軸題是將二次函數與平面幾何相結合的函數綜合題。第問結合“形”的特征，求出點D、E、C的坐標，再設二次函數一般式，用待定系數法可求得二次函數解析式。體現(xiàn)了解函數問題時常用到的“數形結合”思想。第由D、M所在直線與y軸相交哦于F，可求得F點坐標，并求出EF的長度，并由旋轉過程中的角度相等關系，設法構造全等求出OG。得證結論。解決第問的關系是將EF、OG轉化為可求的已知量，得到其長度關系。體現(xiàn)出數學解題中的“轉化思想”。本題的第問討論存在性問題。要使PCG是等腰三角形，其中G、C為定

10、點，P為不確定的點，因此應考慮GC為腰、GC為底，并考慮G、C、P分別為頂點等多種情況進行分類討論。假設存在P點，結合P點的位置，通過設置P點坐標參數，用所設參數表示出相應三角形邊長，由等腰三角形的性質，構造相應方程，可求出P點坐標。第問不僅體現(xiàn)了分類討論思想，還考察了用方程建模的能力。 2.2轉化思想代表性題型：面積問題，二函數圖象與坐標軸的交點距離、二次函數與一次函數交點距離、反比例函數與一次函數交點距離問題（與一元二次方程根的系數關系轉化）。例2已知：RtABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA<OB），

11、直角頂點C落在y軸正半軸上（如圖1）。（1）求線段OA、OB的長和經過點A、B、C的拋物線的關系式。（4分）（2）如圖2，點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m>0，n>0），連接DP交BC于點E。當BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標。（3分）又連接CD、CP（如圖3），CDP是否有最大面積？若有，求出CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由。（3分）解析：由RtAOCRtCOB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4A(-1,0)  B(4,0)  C(0,2) 可設解析式為y=a

12、(x+1)(x-4)，將點C(0,2)代入，可求a=    為所求；  提示：ED=EB時，過E作BD垂線，可得直線BC的解析式為，設，利用勾股定理和點在直線BC上，可得兩個方程組   分別可求和。方法1：連OP。如圖4。                          

13、60;                  P（m，n）在拋物線上P（m， ）     SCPO=S四邊形ODPCSOCD=SPOC+ SPDOSOCD=OC·|xp|+OD·|yp|OC·OD  =×2m+×2（）×2×2  =m+m=（m）+當m=時，SCPO面積最大，此時P（，）方法2：過D作X

14、軸的垂線，交PC于M，如圖5。                                               

15、60;             易求PC的解析式為，且，故 當時，思想方法解讀：本題是一道二次函數與平面幾何綜合的壓軸題第問由三角形形似（或射影定理）求出相關線段的長，寫出相應點的坐標。然后靈活設置二次函數式，用待定系數法求出二次函數式。第問，雖然題目要求是直接寫出點E的坐標。但點E的坐標必須通過計算得到。而在計算的過程中，要考慮符合要求的等腰三角形的多樣性，需分類討論頂點、腰的對應情況。第問是本題的難點。題中的面積表示，要結合P（m，n）在拋物線上，充分利用點的坐

16、標的幾何意義，或是利用平面幾何的性質，有效表示BCD的面積，將不能直接表示的三角形面積轉化為能用已知線段和P點坐標表示的面積。方法1是將四邊形分割成兩個三角形POC、POD，方法2，是通過過D點作垂線，直接將BDC轉化為PDM、CDM。 23極端值思想代表性題型：動態(tài)幾何問題，動態(tài)函數問題。例3已知為線段上的動點，點在射線上，且滿足（如圖1所示）（1）當，且點與點重合時（如圖2所示），求線段的長；（2）在圖1中，聯(lián)結當，且點在線段上時，設點之間的距離為，其中表示的面積，表示的面積，求關于的函數解析式，并寫出函數定義域；      （3

17、）當，且點在線段的延長線上時（如圖3所示），求的大小。解析：（1）AD=2，且Q點與B點重合。由=1，PB（Q）=PC，PQC為等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×=。（2）如圖：作PEBC，PFAQ。BQ=x，則AQ=2x。                            

18、                         由BPFBDP，=，又BF=PE=，PF=PE  SAPQ=（2x）PF，SPBC=×3PE  y=（2x）  P點與D點重合時，此時CQ取最大值。過D作DHBC。  CD=，此時=，=，PQ=，BQ=ABAQ= 函數的定義域：0x (3)

19、方法1：PQ/PC=AD/AB,假設PQ不垂直PC，則可以作一條直線PQ垂直于PC，與AB交于Q點，則：B，Q，P，C四點共圓。由圓周角定理，以及相似三角形的性質得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB  所以，點Q與點Q重合，所以角QPC=90°方法2：如圖3，作PMBC，PNAB。由=，即=PNQPMC   MPCNPN，QPC=MPCQPBNPQQPM90°思想方法解讀：這是一道動態(tài)幾何的變式綜合題。第問，線段的比值不變，Q在特殊點（與B點重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，PQC為等腰直角三角形。利用幾何性質可

20、求出PC。第問中利用三角形相似比，結合已知條件中的固定線段比，找出PAQ、PBC高之間的比例關系，是求函數式的關鍵。而第二問中寫出函數的定義域則是難點。需分析出P點運動的極端情況，當P與D重合時，BQ取得最大值。集合圖形的幾何性質及已知條件中的固定線段比，求出此時BQ的長度，既為BQ的最大值。體現(xiàn)極端值思想。中可以用四點共圓通過歸一法求證，也可以通過構造相似形求證。 24數形結合思想（用好幾何性質）代表性題型：函數與幾何綜合題。例4在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）+c（a0）與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，其頂點為M,若直線MC的函數表達

21、式為,與x軸的交點為N，且COSBCO。                                              

22、0;         求次拋物線的函數表達式。    (2)在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由；(3)過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度?向下最多可平移多少個單位長度?解析：由直線y=kx3與y軸交點坐標為C（0，3）拋物線y=a（x+1）+c（a0）開口向上，過C（0，3）A、B在y軸兩側

23、，B在y軸右側。如圖。                                                &

24、#160;             RtAOC中，OC=3，cosBCO=  BC=，OB=1B（1，0） 又B（1，0），C（0，3）在y=a（x+1）+c上拋物線解析式y(tǒng)=x+2x3由拋物線頂點M（1，4），直線y=kx3過M，直線解析式y(tǒng)=x3N（3，0）   NOC為等腰直角三角形假設拋物線上存在點P使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。PC為另一條直角邊。PCCN，而A與N關于y軸對稱在拋物線上。存在P1（3，0）使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形PN為另一條直角邊。PNCN，則PNO=45°設PN交y軸于點D，則D（0，3）PN所在直線y=x+3由    解得     存在P2（，），P3（，）使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。滿足條件的點有P1（3，0），P2（，），P3（，）若拋物線沿對稱軸向上平移。設向上平移b個單位（b0）。此時拋物線的解析式為：y=x+2x3+b拋物線與線段NQ總有交點，即由拋物線解析式、直線MC所在直線解析式組成的方程組有解。由