數(shù)量積 向量積 混合積PPT課件

1、 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點(diǎn)點(diǎn)1M移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn)2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.定義定義一、兩向量的數(shù)量積第1頁(yè)/共30頁(yè)ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的兩向量的數(shù)量積等于

2、其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .第2頁(yè)/共30頁(yè)關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 第3頁(yè)/共30頁(yè)數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).

3、()()(baba 第4頁(yè)/共30頁(yè),kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式第5頁(yè)/共30頁(yè) cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為第6頁(yè)/共30頁(yè)例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（

4、1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 第7頁(yè)/共30頁(yè)例例 2 2 證證明明向向量量c與與向向量量acbbca)()( 垂垂直直.證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(第8頁(yè)/共30頁(yè) 設(shè)設(shè)O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點(diǎn)點(diǎn)，有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點(diǎn)點(diǎn)處處力力F與與OP的的夾夾角角為為

5、，力力F對(duì)對(duì)支支點(diǎn)點(diǎn)O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實(shí)例實(shí)例二、兩向量的向量積LFPQO 第9頁(yè)/共30頁(yè)向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.第10

6、頁(yè)/共30頁(yè)向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 第11頁(yè)/共30頁(yè),kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積

7、的坐標(biāo)表達(dá)式第12頁(yè)/共30頁(yè)向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出第13頁(yè)/共30頁(yè)zzyxbaaa 000, 0 yxaa補(bǔ)充補(bǔ)充|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.xb、yb、zb不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許兩兩個(gè)個(gè)為為零零，例如，abbac 第14頁(yè)/共30頁(yè)例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 k

8、j第15頁(yè)/共30頁(yè)例例 4 4 在頂點(diǎn)為在頂點(diǎn)為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC邊上的高邊上的高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形ABC的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD第16頁(yè)/共30頁(yè)例例 5 5 設(shè)向量設(shè)向量pnm,兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且4| m，2| n，3| p，計(jì)算，計(jì)算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0

9、),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，第17頁(yè)/共30頁(yè)定義定義 設(shè)設(shè)已已知知三三個(gè)個(gè)向向量量a、b、c，數(shù)數(shù)量量cba )(稱稱為為這這三三個(gè)個(gè)向向量量的的混混合合積積，記記為為cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積第18頁(yè)/共30頁(yè)（1）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量示以向量a、b

10、、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關(guān)于混合積的說(shuō)明：關(guān)于混合積的說(shuō)明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba第19頁(yè)/共30頁(yè) 已知已知2 cba， 計(jì)算計(jì)算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例6第20頁(yè)/共30頁(yè)例例 7 7 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)),(111zyxA、),(222z

11、yxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面體的體積求四面體的體積.解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 第21頁(yè)/共30頁(yè),131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.第22頁(yè)/共30頁(yè)向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量

12、）（注意共線、共面的條件）四、小結(jié)第23頁(yè)/共30頁(yè)思考題思考題已已知知向向量量0 a，0 b，證證明明2222)(|bababa .第24頁(yè)/共30頁(yè)思考題解答思考題解答)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 第25頁(yè)/共30頁(yè)一一、 填填空空題題：1 1、 已已知知a= =3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,則則ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，則則 2)(ba = =_ _

13、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的幾幾何何意意義義是是以以ba,為為其其鄰鄰邊邊的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 積積 cba 的的 幾幾 何何 意意 義義 是是_ _ _ _ _ _ _；5 5、 兩兩向向量量的的的的內(nèi)內(nèi)積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有 一一個(gè)個(gè)向向量量為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 兩兩向向量量的的外外積積為為零零的的充充分分必必要要條條件件是是至至少少其其中中有有一一

14、個(gè)個(gè)向向量量為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它們們互互相相_ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題第26頁(yè)/共30頁(yè)7 7、設(shè)、設(shè)kjia23 ，kjib 2 , , 則則ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、設(shè)、設(shè)a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 則則 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,為為 單單 位位 向向

15、 量量 ， 且且 滿滿 足足0 cba，計(jì)計(jì)算算accbba . .三三、設(shè)設(shè)質(zhì)質(zhì)量量為為 1 10 00 0 千千克克的的物物體體從從點(diǎn)點(diǎn))8,1,3(1M沿沿直直線線移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn))2,4,1(2M計(jì)計(jì)算算重重力力所所作作的的功功（長(zhǎng)長(zhǎng)度度單單位位為為米米，重重力力方方向向?yàn)闉閆軸軸負(fù)負(fù)方方向向）. .第27頁(yè)/共30頁(yè)四、四、 設(shè)設(shè) 4,1,2,2,5,3 ba，問(wèn)，問(wèn) 與與怎樣的關(guān)系怎樣的關(guān)系能使行能使行zba與與 軸垂直軸垂直 . .五、五、 應(yīng)用向量證明：應(yīng)用向量證明：1 1、 三角形的余弦定理；三角形的余弦定理；2 2、 直徑所對(duì)的圓周角是直角直徑所對(duì)的圓周角是直角 . .六、六、 已知已知cba,兩兩垂直，且兩兩垂直，且 cbascba 求求,3,2,1的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 與它和與它和cba,的夾角的夾角 . .七、七、 計(jì)算以向量計(jì)算以向量212eep 和和212eeq 為邊的三角為邊的三角形的面積，其中形的面積，其中1e和和2e是相互垂直的單位向量是相互垂直的單位向量 . .第28頁(yè)/共30頁(yè)練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3、平行四邊形的面積；、平行四邊形的面積； 4 4、以、以cba,為鄰邊的平行六面體的體