復(fù)變函數(shù)與積分變換答案(馬柏林、李丹橫、晏華輝)修訂版,習(xí)題4

1、習(xí)題四1. 復(fù)級(jí)數(shù)與都發(fā)散,則級(jí)數(shù)和發(fā)散.這個(gè)命題是否成立?為什么?答.不一定反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2. 下列復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散 又因?yàn)樗园l(fā)散(3) 發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對(duì)收斂.(4) 因?yàn)樗约?jí)數(shù)不絕對(duì)收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時(shí), 級(jí)數(shù)化為收斂當(dāng)n=2k+1時(shí), 級(jí)數(shù)化為也收斂所以原級(jí)數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.3.證明:若,且和收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證明:設(shè)因?yàn)楹褪諗克允諗坑忠驗(yàn)?所以且當(dāng)n充分大時(shí), 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

2、4.討論級(jí)數(shù)的斂散性解 因?yàn)椴糠趾?，所以，不存?當(dāng)而時(shí)（即），cosn和sinn都沒(méi)有極限,所以也不收斂.故當(dāng)和時(shí), 收斂.5.冪級(jí)數(shù)能否在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，時(shí)發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級(jí)數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散6.下列說(shuō)法是否正確?為什么?(1)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答: (1) 不正確,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因?yàn)槭諗康膬缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.7.若的收斂半徑為R,求的收斂半徑。

3、解： 因?yàn)樗?8.證明：若冪級(jí)數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), (3) 當(dāng)時(shí), 證明：考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。當(dāng)，即，不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.故收斂半徑.當(dāng)時(shí), ,級(jí)數(shù)收斂且.若,對(duì)當(dāng)充分大時(shí),必有不能趨于零,級(jí)數(shù)發(fā)散.且9.求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑，并寫(xiě)出收斂圓周。(1) (2) (3) (4) 解: ()收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時(shí)絕對(duì)收斂,收斂半徑收斂圓周10.求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù).(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：所以

4、于是有：(2) 令：故R=, 由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：，A, B待定。所以 11.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1證明：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂設(shè)若的收斂半徑為1則現(xiàn)用反證法證明若則，有，即收斂，與條件矛盾。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。綜上述可知，必有，所以12.若在點(diǎn)處發(fā)散，證明級(jí)數(shù)對(duì)于所有滿足點(diǎn)都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，在處收斂則對(duì)，絕對(duì)收斂，則在點(diǎn)處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.13.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng)),并指出其收斂半徑.解:因?yàn)槠纥c(diǎn)為所以又于是，有展開(kāi)式14.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),(到項(xiàng))解：為的奇點(diǎn)，所以

5、收斂半徑又于是，在處的泰勒級(jí)數(shù)為 15.用間接法將下列函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并指出其收斂性.(1) 分別在和處 (2) 在處(3) 在處 (4) 在處 (5) 在處 解 （1）(2) (3) (4) (5)因?yàn)閺难刎?fù)實(shí)軸不解析所以,收斂半徑為R=116.為什么區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實(shí)數(shù)值的函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)時(shí)，展開(kāi)式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)？答：因?yàn)楫?dāng)取實(shí)數(shù)值時(shí)，與的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開(kāi)式系數(shù)都是實(shí)數(shù)。所以在內(nèi)，的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)是實(shí)數(shù).17.求的以為中心的各個(gè)圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù).解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,其羅朗級(jí)數(shù).分別為：19.在內(nèi)將展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù).解:令則而在內(nèi)

6、展開(kāi)式為所以,代入可得20.有人做下列運(yùn)算,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果因?yàn)?所以有結(jié)果你認(rèn)為正確嗎?為什么?答:不正確,因?yàn)橐蠖笏?在不同區(qū)域內(nèi)21.證明: 用z的冪表示的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)為證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級(jí)數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.22. 是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?解: 因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，z=0。從而不是的孤立奇點(diǎn).23.用級(jí)數(shù)展開(kāi)法指出函數(shù)在處零點(diǎn)的級(jí).解：故z=0為f(z)的15級(jí)零點(diǎn)24.判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)的類(lèi)型：；解: 是的孤立奇點(diǎn)因?yàn)樗允堑谋拘云纥c(diǎn).(2)因?yàn)樗允堑目扇テ纥c(diǎn).25. 下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出其點(diǎn)： 解: (1)所以是奇點(diǎn),是二級(jí)極點(diǎn).解: (2) 是奇點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn),0是二級(jí)極點(diǎn).解: (3) 是的二級(jí)零點(diǎn)而是的一級(jí)零點(diǎn), 是的一級(jí)零點(diǎn)所以是的二級(jí)極點(diǎn), 是的一級(jí)極點(diǎn).26. 判定下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？ 解: (1)當(dāng)時(shí), 所以, 是的可去奇點(diǎn).(2)因?yàn)樗? 是的本性奇點(diǎn).(3) 當(dāng)時(shí), 所以, 是的可去奇點(diǎn).27. 函數(shù)在處有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)，但根據(jù)下面羅朗展開(kāi)式：.我們得到“又是的本性奇點(diǎn)”，這兩個(gè)結(jié)果哪一個(gè)是正確的？為什么?解: 不對(duì), z=1是f(