第五章發(fā)電機組與負荷的數(shù)學模型

1、第5章 發(fā)電機組與負荷的數(shù)學模型51 概 述電力系統(tǒng)的規(guī)模持續(xù)增大，結構日益復雜，組件不斷更新，電力系統(tǒng)運行對電力系統(tǒng)的分析、規(guī)劃和控制的方法不斷地提出新的、更高的要求。與此相適應的是計算工具和計算數(shù)學以及其它技術領域也在不斷地進步，為研究電力系統(tǒng)提供了新的手段?，F(xiàn)代電力系統(tǒng)分析目前大多是以電子數(shù)字計算機為計算工具，因而，建立描述電力系統(tǒng)的數(shù)學模型是研究分析電力系統(tǒng)特種專門問題的基礎。把數(shù)學與客觀物理系統(tǒng)聯(lián)系起來的過程就是通常所說的建模過程。數(shù)學模型的正確性和準確性是保證計算結果的正確性和準確性的基本前提。電力系統(tǒng)的過渡過程十分迅速，因而它對自動控制在客觀上有很強的依賴性。現(xiàn)代電力系統(tǒng)，由于計

2、算機和電子技術在控制領域的廣泛應用，包括了種類繁多的自動裝置，具有很高的自動化程度。如此龐大、復雜的系統(tǒng)，表現(xiàn)在描述它的數(shù)學方程方面是方程的極度非線性和高維數(shù)。分析任何復雜系統(tǒng)的一般方法是：由簡單到復雜；由局部到全體。電力系統(tǒng)的分析計算也是如此。龐大而復雜的電力系統(tǒng)首先被分解為一個個獨立的基本組件，加發(fā)電機、變壓器、輸電線、調速器和勵磁調節(jié)器等等，然后運用電工理論和其它相關理論分別建立單個組件的數(shù)學模型。組件的數(shù)學模型是構造全系統(tǒng)的數(shù)學模型的基本磚石。有了各種組件的數(shù)學模型。進步根據(jù)電力系統(tǒng)的專門知識和這些組件在一個具體系統(tǒng)中的具體聯(lián)系，從而可以建立全系統(tǒng)的數(shù)學模型。對于同一個客觀的系統(tǒng)，研究

3、不同的問題數(shù)學模型可能是不同的。從數(shù)學上講，電力系統(tǒng)是一個非線性動力學系統(tǒng)。在研究這個非線性動力學系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)行為時，涉及到的是代數(shù)方程：在研究動態(tài)行為時，是微分方程(般是常微分方程，某些特殊問題可能涉及偏微分力程)。在研究某些特殊問題時，模型參數(shù)可能還是時變的、變量為不連續(xù)的。另外，對計算結果的精度的要求不同，數(shù)學模型也可能不同。顯然，定性分析的模型相對于定量分析的模型可以簡單一些。計算精度與計算速度是在建立數(shù)學模型時應同時考慮的兩個相互矛盾的要求。計算精度的要求越高，計算的工作量也就越大，從而完成計算所需要的時間就越長。反之，犧牲一定的計算精度，換取較快的計算速度是建立數(shù)學模型和構造計算方法

4、時常用的方法。研究工作者的努力方向是建立一個在當代計算工具條件下既滿足工程分析精度要求又滿足工程分析速度要求的數(shù)學模型和求解方法。一般的情況總是精度與速度之間的折中。數(shù)學模型的建立通常有兩大問題：第一是確定描述對象的數(shù)學方程式。數(shù)學方程式的確定方法有兩種：一種是分析法即利用專門學科理論推演出描述系統(tǒng)的數(shù)學模型；另一種是利用實驗或運行數(shù)據(jù)來識別數(shù)學模型，即自動控制理論中的系統(tǒng)辨識法。第二是參數(shù)的獲取。無論是微分方程還是代數(shù)方程，方程中總會有各種物理參數(shù)。一般地，對子簡單的組件，由其組件的設計參數(shù)按一定的物理關系可以導出模型參數(shù)。例如對于架空線路，按導線在空間的排列方式及導線的材料和導線所在的自然

5、環(huán)境，由電磁場理論可以求出輸電線路的4個等值參數(shù)：電阻、電抗、對地電容和對地電導。這種方法隸屬于分析法，但是，對于復雜的組件或系統(tǒng)，設計參數(shù)與實際參數(shù)往往有定的差別。例如發(fā)電機參數(shù)，由于實際遠行工況千變萬化、運行中電機的飽和效應、渦流效應、旋轉效應等一系列機、電、磁和熱能的復雜轉換都會對參數(shù)值有或多或少的影響。因此，獲取復雜組件或系統(tǒng)模型參數(shù)的方法除了理論推導外還有個很重要的途徑：參數(shù)估計法。參數(shù)估計法隸屬于系統(tǒng)辨識法。系統(tǒng)辨識與參數(shù)估計是以實驗或運行數(shù)據(jù)為基礎來建立系統(tǒng)(組件)數(shù)學模型的一個專門研究領域。本書將不涉及這一方法，有興趣的讀者可參看文獻1。應該指出分析法與系統(tǒng)辨識法并不是截然分開

6、的，只是偏重不同。在分析法里也需要有系統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)；在辨識法里也需要由分析法來設計試驗。分析法與辨識法各有優(yōu)缺點。當人們對系統(tǒng)有比較深入的了解時多用分析法，反之則用辨識法。在第1章中介紹了電力網絡的數(shù)學模型，在第4章中介紹了直流輸電與柔性輸電的數(shù)學模型。本章將在以下章節(jié)中介紹發(fā)電機組與負荷的數(shù)學模型。發(fā)電機組的數(shù)學模型包括同步電機、勵磁調節(jié)系統(tǒng)和調速系統(tǒng)的數(shù)學模型。52 同步電機的數(shù)學模型電力系統(tǒng)中的電源是同步發(fā)電機。同步發(fā)電機的動態(tài)特性或者說動態(tài)數(shù)學模型是研究電力系統(tǒng)動態(tài)行為的基礎。在研究建立同步電機的數(shù)學模型的近百年歷史中有兩個重要的里程碑。一個是20世紀20年代的雙反應理論的建立2,3；

7、另一個是美國電氣工程師帕克(Park)在20世紀30年代提出的帕克變換4。帕克在合適的理想化假設條件下，利用電機的雙反應原理推導出了采用dqo坐標系的同步電機基本方程。在近百年的發(fā)展過程中，同步機的數(shù)學模型基本上以帕克的工作為基礎。在帕克之后提出的數(shù)學模型只是在模擬轉子時采用的等值繞組的數(shù)目、用暫態(tài)和次暫態(tài)參數(shù)表示同步電機方程式時所采用的假設以及磁路飽和效應的處理方法等方面有所不同。這些數(shù)學模型在相關的書籍、文獻中有詳細的論述5-15。本節(jié)將詳細地介紹目前在國內外比較廣泛使用的數(shù)學模型。讀者在閱讀其它參考文獻時需注意不同的作者可能采用不同的符號、不同的物理量的參考正方向、不同形式的坐標變換矩陣

8、以及不同的基準值選擇方法。由同步電機的結構我們知道，轉子上的勵磁繞組是一個客觀真實存在的繞組；而阻尼繞組則是電氣上的等值繞組。對水輪發(fā)電機等凸極同步電機，阻尼繞組模擬了分布在轉子上的阻尼條的阻尼作用；對汽輪發(fā)電機等隱極同步電機，阻尼繞組則模擬了整塊轉子鐵芯中的由渦流所產生的阻尼作用。由于是電氣上的等值繞組，因而可以用一個乃至多個繞組來等值。從理論上來講，等值繞組的個數(shù)越多模擬的精度就越高。采用較多的等值阻尼繞組，僅從建立同步機的數(shù)學模型的角度而言并不困難。但是采用過多的等值繞組將帶來兩個問題，一是使數(shù)學模型的微分方程階數(shù)增高，從而使后續(xù)的求解計算量大大增加；二是很難準確地獲取相關的電氣參數(shù)。因

9、此，除了在電機設計中有少量采用多個阻尼繞組來研究某些特殊問題的報告，在目前應用比較廣泛的數(shù)學模型中，等值阻尼繞組的個數(shù)一般不超過3個。由于凸極機的轉于阻尼條與隱極機的整塊轉子鐵芯比起來，前者更接近于真實的繞組，以及在磁路上凸極機在轉了的直軸（d軸）、交軸(q軸)兩個方向的磁阻不同而隱極機相同，故對于凸極機，一般在轉子的直軸和交軸上各采用一個等值阻尼繞組，分別記為D繞組和Q繞組；而對于隱極機，除了D、Q繞組外在交軸上再增加一個等值阻尼繞組，記為g繞組。g繞組和Q繞組分別用于反映阻尼作用較強和較弱的渦流效應。在電機學和參考文獻16、17中已介紹過理想同步電機的假設條件，即認為同步電機的磁路對稱且不

10、飽和及空間磁勢按正弦分布。下面我們先推導轉子具有D、g和Q三個阻尼繞組的理想同步電機的數(shù)學模型，然后介紹計及電機鐵芯磁路飽和效應的方法。順便指出，所介紹的數(shù)學模型對于同步發(fā)電機、同步調相機相同步電動機都是適用的。5.2.1 同步電機的基本方程 1原始方程式圖5-1(a)和(b)分別為同步電機的結構示意圖和各繞組的電路圖。為一般起見，考慮轉子為凸極并具有D、g、Q三個阻尼繞組而將隱極電機或轉子僅有D、Q阻尼繞組時分別處理為它的持殊情況。圖中給出了本書所采用的定子三相繞組abc、轉子勵磁繞組f和阻尼繞組D、g、Q的電流、電壓和磁軸的參考正方向。需特別注意的是，定子三相繞組磁軸的正方向分別與各繞組的

11、正向電流所產生的磁通的方向相反；而轉子各繞組磁軸的正方向與其正向電流所產生的磁通的方向相同；轉了的q軸沿轉子旋轉方向超前d軸90°。另外，選定各繞組磁鏈的正方向與相應的磁軸正方向一致。圖5-1 同步電機結構和等值電路圖(圖中未標出繞組間的互感)由圖5-1（b）并注意各物理量的參考正向，可以列出各繞組的電壓平衡方程，即式中：為微分算子。由于是理想同步電機，故不計磁路飽和效應，因而各繞組的磁鏈可以通過各繞組的L自感及繞組之間的互感M表示為下邊的磁鏈方程：由電工理論知，上式中的系數(shù)矩陣是對稱矩陣。由圖5-1(a)并注意轉子是旋轉的，可以看出有些繞組的磁路的磁阻是隨轉子位置的改變而呈周期性變

12、化的，因而這些繞組的自感及互感也是轉子位置的函數(shù)。在理想同步電機的假設條件下，定子電流所產生的磁勢及定子繞組與轉子繞組間的互磁通在空間均按正弦規(guī)律分布。轉子的位置由轉子d軸與定于a相繞組磁軸之間的夾角為表征，從而各繞組的自感和繞組間的互感可以表示如下16,18：(1) 定子各相繞組的自感和定子繞組之間的互感.順便指出，在理想同步電機的條件下，可以證明19 。另外，對于隱極電機，由于轉子在旋轉過程中與定子繞組自感及定子繞組間的互感相關的磁路的磁阻不發(fā)生變化，因而顯然有，從而上邊的自感和互感都是常數(shù)。(2) 定子繞組與轉子繞組之間的互感。(3)轉子各繞組的自感和轉子繞組之間的互感。由于轉子繞組隨轉

13、子一起旋轉，因而無論凸極機還是隱極機，這些繞組的磁路的磁阻都不因轉子位置的改變而變化，這樣轉子繞組的自感及轉子繞組之間的互感均為常數(shù)。注意到直軸上的f、D繞組與交軸上的g、Q繞組彼此正交，因而它們之間的互感為零，即由上邊的分析已知：繞組的自感及繞組之間的互感不都是常數(shù)。其中一些是隨轉子位置而變化的。因而由式(5-1)和式(5-2)組成的以時間t為自變量的常微分方程是變系數(shù)的常微分方程。變系數(shù)和常系數(shù)的常微分方程，對前者的求解要比后者困難得多。因此人們希望能將上邊的變系數(shù)常微分方程轉化為常系數(shù)的常微分方程。為此，先后提出過數(shù)種坐標變換的方法5。帕克所提出的dqo坐標系4是這類坐標變換中被普遍采用

14、的一種。在dqo坐標系中，磁鏈方程成為常系數(shù)方程，從而使得同步電機的數(shù)學模型成為常系數(shù)常微分方程。下邊我們就介紹帕克變換的具體方法。帕克變換特定于電流、電壓和磁鏈的abc三相分量通過相同的坐標變換矩陣分別變換成d、q和o三個分量。其變換關系式可統(tǒng)一寫成為行文方便，記上式為緊湊形式稱矩陣P為帕克變換。不難得出帕克變換的逆變換為或式（5-8）（5-11）中的符號A可分別代表電流、電壓或磁鏈。即有以下各式成立：順便指出，不同的作者所采用的坐標變換矩陣P，其元素可能不同。特別地，有的將它取為正交矩陣。應用坐標變換關系式(5-12)和式(5-13)，以及各繞組的自感和繞組間的互感表達式(5-3)(5-7

15、)，不難將式(5-1)和式(5-2)變換成dqo坐標系下的方程：式中：為同步機的電角速度。 帕克變換實際上相當于將定子的三個相繞組用結構與它們相同的另外三個等值繞組d繞組、q繞組和o繞組來代替。本質的區(qū)別在于abc三個相繞組的磁軸在空間是靜止的，而dqo繞組的磁軸在空間與轉子同速旋轉。d繞組和q繞組的磁軸正方向分別與轉子的d軸和q軸相同，用來反映定子三相繞組的電氣量在d軸和q軸方向的行為；而o繞組用于反映定子三相中的零序分量。式(516)中的、和依次為等值d繞組、q繞組和o繞組的自感，它們依次對應于d軸同步電抗、q軸同步電抗和o軸同步電抗。由式(516)可見，式(515)的系數(shù)矩陣是常數(shù)矩陣，

16、因而描述同步電機的數(shù)學模型式(514)已被變換成常系數(shù)常微分方程。由式(514)可以看出，同步機定子繞組的電壓由三部分組成：一是定子繞組電流流過定子繞組時，在定子繞組電阻上的壓降；二是由于定子繞組的磁鏈隨時間變化而產生的電勢，這一部分電勢通常稱為同步機的變壓器電勢，三是由于同步機的旋轉而產生的電勢，這一部分電勢通常稱為同步機的發(fā)電機電勢。數(shù)值上發(fā)電機電勢遠大于變壓器電勢。需要注意，式(515)的系數(shù)矩陣是不對稱的，即定子d、q和o繞組與轉子間的互感為不可逆。這是由變換引起的。如果將各轉子繞組的電流分別用它們的倍替換11,17，或者將P取為正交矩陣13，則這些互感即成為可逆的。順便指出，由式(5

17、16)還可見，對于凸極機,；對于隱極機，由于，。注意到隱極機與凸極機的這一區(qū)別，從而可以將凸極機的數(shù)學模型直接用于隱極機。當電流和電壓取圖5-1（b）所示的參考方向時，三相定子繞組輸出的總功率為對上式進行坐標變換，由式（5-13），可得dqo坐標系下的定子繞組輸出功率方程3.表幺制下的同步電機方程由于標么制的諸多優(yōu)點，在電力系統(tǒng)分析中普遍使用標么制。同步電機的參數(shù)通常也都是用表幺值給比。因此我們需將有名制下的同步電機方程(514)、(515)轉化為標幺制下的同步電機方程。在4.3.1節(jié)中介紹直流輸電系統(tǒng)的標么制基本方程時已述及：由于標幺制要求不同物理量的基準值之間必須滿足有名制下原有的關系，因

18、而總有一些物理量的基準值是人為取定的，而另一些基準值是由它們之間的物理關系導出的。顯然人為取定的基準值是不惟一的。基準值的取法不同將產生不同的標幺制系統(tǒng)。般的原則是，在所取定的基準值下，使得到的標幺制方程盡可能地簡單。本書介紹一種應用比較廣泛的基準值系統(tǒng)“單位勵磁電壓單位定子電壓”基值系統(tǒng)。仍用帶有下標B的記號表示相應物理世的基準值；用下標“*”來表示相應物理量的標幺值。首先人為取定同步機電轉速的基準值為同步角頻率()。注意，由于本身是無量綱的，故其無基準值可言。而時間的基準值應滿足，則可導出時間的基準值。因而有在同步機定子側，人為取定于電壓、電流的幅值分別作為定子電壓、電流的基準值。導出定子

19、三相功率、阻抗和磁鏈的基準值為順便指出，上邊和的取值與電力系統(tǒng)網絡參數(shù)的標幺制系統(tǒng)是一致的。在同步機轉子側的f、D、g、和Q四個繞組中，按照在同一標幺制系統(tǒng)中，功率基準惟一的原則，有由于上式的約束，轉子每個繞組中的基準電壓和基準電流可以人為取定一個，而另一個由上式導出。此處暫不討論人為取定哪一個及如何取。電壓、電流的基準值確定之后，阻抗、磁鏈的基準值由下式確定：下邊我們將同步電機的基本方程(514)和(515)化為標幺制。在式(514)中的7個繞組電壓平衡方程兩邊同除以各自的電壓基準值并注意到上邊式(519)(524)給出的各基準值之間的關系，不難得出式中：為標幺微分算子：同法，在式(515)

20、中的7個繞組的磁鏈方程兩邊同時除以各自的磁鏈基準值，也注意到上邊式(519)(624)給出的各基準值之間的關系，不難得出式中：另外，在式（5-18）兩邊同除，由式（5-20）可得標幺制下的同步機的輸出功率注意，標幺制下的同步電機方程(525)與有名制下的同步電機方程(514)具有相同的形式。但標幺制下的磁鏈方程(527)的系數(shù)矩陣是對稱的，即轉子與定子之間的互感在用標幺值表示時是可逆的。另外，注意到標幺制下，通過選擇合適的電感基準值，總可以使電抗的標幺值與電感的標幺值相等。因此，磁鏈方程的系數(shù)矩陣也可以用電感的標幺值來表示。5.2.2 用電機參數(shù)表示的同步電機方程上邊我們介紹了用標幺值表示的同

21、步電機方程。以下為行文方便，如不特別指出，都是在標幺制下討論，且省去標么值下標“*”。 在同步電機基本方程(525)和(527)中，由式(526)和式(528)確定其18個參數(shù)。這18個參數(shù)我們稱為同步電機的原始參數(shù)。這些參數(shù)的數(shù)值大小與同步電機的制造工藝、材料有很密切的關系。嚴格地講，即使兩臺同型號的同步機，它們的參數(shù)也未必相等。通過分析計算來獲取這些原始參數(shù)的準確值是十分困難的。因此，工程上通常將同步機的18個原始參數(shù)轉換成11個由穩(wěn)態(tài)、暫態(tài)和次暫態(tài)參數(shù)組成的一組參數(shù)，并稱其為電機參數(shù)。電機參數(shù)可以通過電機實驗直接獲得。這11個電機參數(shù)分別是定子繞組的電阻()，交、直軸同步電抗(、)，交、

22、直軸暫態(tài)電抗(、)，和交、直軸次暫態(tài)電抗(、)以及4個時間常數(shù)(、)?？梢姡姍C參數(shù)的個數(shù)少于原始參數(shù)的個數(shù)，因此從原始參數(shù)轉化成電機參數(shù)時需要一些假設條件。 首先，由于定子繞組中的零軸分量電流在空間產生的磁場為零，故對轉子的電氣量不產生任何影響。從同步機的基本方程(525)和(527)可以很容易地看出這一點，因而在式(525)和式(527)中可不必關心零軸分量的方程。這樣，參數(shù)也一并不予關心。這樣，式(525)寫成式（5-27）寫成下邊根據(jù)通常的電機參數(shù)的定義，導出電機參數(shù)與原始參數(shù)的關系，進而導出用電機參數(shù)表達的同步電機基本方程。這里所采用的假設條件為：認為在式(532)、式(533)中的

23、原始參數(shù)之間存在式(534)所表示的關系20：對于d軸，電機參數(shù)與原始參數(shù)關系如下。(1) d軸同步電抗的定義為：當f、D繞組開路時，令定子繞組中流過只含有d軸分量的電流，此時測得的定子繞組電抗即是。由此定義知，公式(532)中，則有可見，原始參數(shù)正式電機參數(shù)，即二者相同。(2)d軸暫態(tài)電抗的定義為：當f組短路、D繞組開路時，令定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時測得的定子繞組電抗即是。由此定義知，由于D繞組開路，故有；由于f繞組短路，當定子中突然流過電流的瞬時，根據(jù)磁鏈守恒的原理，有。這樣在式(532)中，我們有由上式消去，得可見(3)d軸次暫態(tài)電抗的定義為：當f、D繞組都短路時，令

24、定子繞組中突然流過只含有d軸分量的電流，此時測得的定子繞組電抗即是。由此定義，在式(532)中，,即有在上式中消去和得可見由前邊的假設條件式（534）中的第一式解出并代入式（536），得（4）d軸開路暫態(tài)時間常數(shù)的定義為：當d、D繞組都開路時，f繞組電流的衰減時間常數(shù)，由定義可見， 在式（530）和式（532），得注意在表幺制下，由上式得顯見事實上，由于d、D繞組都開路，f繞組成為一個孤立的繞組，因而其電流的衰減時間常數(shù)就是f繞組自身的時間常數(shù)。(5)d軸開路次暫態(tài)時間常數(shù)的定義為：當d繞組開路、f繞組短路時，D繞組電流的衰減時間常數(shù)。由定義可見，在式(530)和式(532)中，得即是顯見這是

25、一個二階電路的情況，因而存在兩個時間常數(shù)?？紤]到的值很小，因而近似認為并從上式中消去電流，得顯見至此，我們得到了d軸的5個電機參數(shù)與原始參數(shù)之間的關系式。同法，根據(jù)q軸的各個電機參數(shù)的定義，由q軸的電壓平衡方程(531)、磁鏈方程(533)與假定條件式(534)可以得到q軸的5個電機參數(shù)與原始參數(shù)之間的關系式。為閱讀方便，下邊將11個電機參數(shù)與18個原始參數(shù)的關系式一并列出如下(各式左邊為電機參數(shù)，右邊為原始參數(shù))：以上11個電機參數(shù)可以由電機實驗方便地測出。值得指出的是，式（540）給出電機參數(shù)與原始參數(shù)之間的關系式依賴于所采用的假設條件(534)。采用不同的假設條件，電機參數(shù)與原始參數(shù)間特

26、有不同的關系式，如文獻13；而不同的關系式則導致用電機參數(shù)表示的同步機方程有不同的形式。另外需指出的是，電機參數(shù)的數(shù)值僅與電機參數(shù)的定義有關而與所采用的假設條件無關。下邊我們推導用電機參數(shù)表示的同步電機方程。為此引入與各轉子繞組電流成正比的空載電勢以及與轉子各繞組磁鏈成正比的暫態(tài)、次暫態(tài)電勢。它們分別定義為空載電勢：暫態(tài)電勢：在用原始參數(shù)表示的同步機基本方程(530)(533)中，把所有轉子繞組電流、轉子繞組磁鏈用式(540)(542)定義的電勢表出，并注意到原始參數(shù)與電機參數(shù)的關系式(540)和所采用的假定條件式(534)，不難導出以下用電機參數(shù)表示的同步電機方程。定子繞組磁鏈方程：轉子繞組

27、磁鏈方程：定子繞組電壓平衡方程：轉子繞組電壓平衡方程：式中的物理意義為同步機穩(wěn)態(tài)空載時的定子電壓。實際上，為與相對應的假想穩(wěn)態(tài)勵磁電流，在暫態(tài)過程中它與實際的勵磁電流并不相等。由式(541)的定義顯見，這一穩(wěn)態(tài)勵磁電流與的乘積將得出空載電勢，故稱為假想空載電勢。由轉子繞組磁鏈方程(544)解出代數(shù)變量、和，得把式（548）代入式（543）、式（546），消去其中的代數(shù)變量，得定子繞組磁鏈方程轉子繞組電壓平衡方程注意在式(547)中仍然含有原始參數(shù)與?；乇苓@兩個原始參數(shù)的方法是：通過選擇合適的基準值，使得在標幺制下有，從而有。滿足這種要求的基準值系統(tǒng)通常稱為“單位勵磁電壓單位定子電壓”基準值系統(tǒng)

28、。具體的方法介紹如下。前已述及，在式(523)中，已由定子側基準值取定；每個轉子繞組需人為取定各自的基準電壓或基準電流，然后由式(523)導出另一個基準值?！皢挝粍畲烹妷簡挝欢ㄗ与妷骸被鶞手迪到y(tǒng)首先人為取定勵磁繞組的基準電壓，然后由式(523)導出勵磁繞組的基準電流。的具體值為，當同步電機穩(wěn)態(tài)、空載且以同步速度旋轉時，使得同步電機定子電壓等于定子電壓基準值時的勵磁電壓即為的取值。顯然，按上述條件，可以通過電機實驗獲取。由以上對的定義，在式(514)和式(515)中所涉及的電流中僅，可得解出，有注意，則將上式與式（528）中的的表達式相比較，顯見，有成立。從而在表幺制下：至此，我們得到了用11個

29、電機參數(shù)表示的同步電機的數(shù)學模型，它由定子繞組電壓平衡方程(545)、定子繞組磁鏈方程(549)和轉子繞組電壓平衡方程(550)組成。值得指出的是，該模型對轉子各繞組除勵磁繞組的基準值有明確規(guī)定外，各阻尼繞組的基準電壓、基準電流的取值只要滿足式523)即可。此外，勵磁繞組的電壓還受勵磁系統(tǒng)的控制，故式(550)中的存在將引出同來電機勵磁系統(tǒng)的方程。描述同步電機的勵磁系統(tǒng)的數(shù)學模型將在53節(jié)討論。5.2.3 同步電機的簡化數(shù)學模型上邊我們推導了轉子采用廣、f、g、D 和Q四個繞組來等值的同步機數(shù)學模型；由式(550)可見，描述轉子電磁暫態(tài)過程的微分方程有四階?，F(xiàn)代電力系統(tǒng)中，并列運行的同步發(fā)電機

30、臺數(shù)可高達千臺以上，因而過高的微分方程階數(shù)往往帶來所謂“維數(shù)災”問題，使分析計算實際上無法進行。因此，在實際應用中，常根據(jù)對分析計算不同的精度要求，對同步機的數(shù)學模型給予簡化，而僅僅對一些需要特殊關心的同步機才采用較高階的數(shù)學模型。同步機的簡化模型按照對轉子繞組的取舍分為三繞組模型、兩繞組模型、不計阻尼繞組模型和為常數(shù)的模型以及所謂經典模型。這些簡化模型都可以從四繞組轉子模型中導出。為節(jié)省篇幅，此處不再給出詳盡的推導。為方便讀者使用，稍加說明而直接給出這些模型。1. 三繞組轉子模型（f、D、Q）在凸極機中，轉子q軸通常只考慮一個等值阻尼繞組Q，而認為g繞組不存在。這相當于在四繞組轉子模型中令。

31、這樣，在式(541)中即有，在式(542)中即有且，從而轉子電壓平衡方程降為三階：定子電壓平衡方程及定子磁鏈方程的形式不發(fā)生變化。2. 兩繞組轉子模型（f、g，亦稱雙軸模型）只在q軸上考慮一個阻尼繞組g，人為D，Q繞組不存在。相當于在四繞組轉子模型中令。則在式（5-41）中即有，在式（5-42）中即有，從而定子繞組磁鏈方程為轉子繞組電壓平衡方程將為二階：定子電壓平衡方程的形式不發(fā)生變化。3. 不計阻尼繞組的模型（f，亦稱變化的模型）不計阻尼繞組，相當于在四繞組轉子模型中令，則在式（5-41）中即有，在式(5-42)中即有，從而定子繞組成鏈方程為轉子電壓平衡方程將為一階：定子電壓平衡方程的形式不

32、發(fā)生變化。 4. 為常數(shù)的模型不計阻尼繞組且忽略勵磁繞組的暫態(tài)過程，認為勵磁調節(jié)器的控制作用使得式(5-56)右邊恒為零。即。這樣，同步電機的數(shù)學模型僅為定子電壓平衡方程(545)和定子磁鏈方程(555)而不出現(xiàn)描述轉子繞組的微分方程。為常數(shù)的模型集中在同步電機轉子運動方程中由同步電機的電磁轉矩表達式來描述同步電機。5.經典模型進一步在同步電機的電磁功率表達式中認為，使同步機電磁功率表達式更為簡化。以上從對轉子繞組簡化的角度對同步機模型進行了簡化。在定子繞組電壓平衡方程中，在進行電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時，通常有以下兩個方面的簡化。（1）忽略定子回路的電磁暫態(tài)過程。即在定子電壓平衡方程式(545)中

33、忽略因和隨時間變化而產生的感應電動勢。這樣，定子電壓平衡方程式成為對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性計算而言，這一簡化是十分必要的。由定子繞組磁鏈方程(549)可見，定子繞組磁鏈對時間求導將涉及到定子電流對時間求導。由于發(fā)電機定子繞組與電力網絡相連，電力網絡由電阻、電感和電容按照一定的拓撲規(guī)則連接而成，因而定子電流對時間求導特使描述電力網絡的方程成為微分方程，從而使描述整個電力系統(tǒng)的數(shù)學模型的階數(shù)大大增加。另外，當同步電機定子繞組和電力網絡的電磁暫態(tài)過程不被忽略時，同步電機的定子電流中將包含高頻分量。由于這些高頻分量的存在，欲使計算有相應的精度，在數(shù)值積分時就要求有較小的積分步長。對于現(xiàn)代大型電力系統(tǒng)，微分方程

34、階數(shù)的增加和積分步長的減小都將使計算量增加到使分析計算無法進行的程度。事實上，由子電力網絡中的電磁暫態(tài)過程相對于同步電機的機電暫態(tài)過程而言十分迅速，因而在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中忽略其暫態(tài)過程對分析結果的影響甚小。在忽略定子回路的電磁暫態(tài)過程的條件下，由式(557)可見，同步電機的定子電壓平衡方程式即成為代數(shù)方程，因而描述電力網絡的方程也是代數(shù)方程，即通常所謂的穩(wěn)態(tài)關系式。（2）在定子電壓平衡方程式中，認為同步電機的轉速。恒為同步轉速。標幺制下即恒取。注意，這并不是認為同步電機的轉速在暫態(tài)過程中不發(fā)生變化，而僅僅是由于各種控制的作用，的變化范圍不大，因而由于的變化而引起的定子電壓在數(shù)值上的變化很小

35、。這一簡化并不能在計算量上獲得較大的節(jié)省，但是研究表明，在定子電壓平衡方程中恒取可以部分地彌補忽略定子繞組電磁暫態(tài)過程所帶來的誤差18。這樣，同步電機的定子電壓平衡方程式成為5.2.4 同步電機的穩(wěn)態(tài)方程和相量圖從數(shù)學上講，所謂電力系統(tǒng)的暫態(tài)分析就是求解描述電力系統(tǒng)暫態(tài)行為的微分方程組。而電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行點即是這個微分方程的定解條件。以下導出獲取穩(wěn)態(tài)運行點所需的公式，即通常所說的同步電機穩(wěn)態(tài)方程式。注意同步電機在穩(wěn)態(tài)運行方式下，轉子以同步轉速旋轉，各電氣量對稱且各阻尼繞組電流為零。由于各阻尼繞組電流為零，因而其相應的空載電勢也為零，而其它繞組的電流、和對應于的空載電勢及所有繞組的磁鏈都保持不

36、變。為便于區(qū)別，用大寫字母表示其相應電氣量的穩(wěn)態(tài)值。1用同步電抗表示的穩(wěn)態(tài)方程由式(543)，有注意在穩(wěn)態(tài)時，有并將式（5-59）代入定子電壓平衡方程（5-58）：在電力系統(tǒng)潮流計算完成以后，我們已知的是復平面下x-y坐標系的同步電機的機端電壓和機端電流。欲得到同步電機自身d-q坐標系下的、和，需確定這兩個坐標系之間的變換式，即確定二者之間的夾角。為此，將式(560)中的第一式乘j后加到第二式上，經整理可得據(jù)上式定義虛構電勢：注意與同方向，由向量圖5-2（a）可見，與x軸的夾角即是d-q坐標與x-y坐標的夾角，因而由式（5-61）可以確定，從而不難得到兩個坐標系之間的變換式：式中：A表示電流、

37、電壓、磁鏈和各種電勢。順便指出，可以證明上邊的坐標變換式不僅對穩(wěn)態(tài)值成立，而且對瞬時值也成立。、和確定以后即可由式(560)求出微分狀態(tài)變量的初值。 2.用暫態(tài)電抗表示的穩(wěn)態(tài)方程由式（5-44）的第一、三兩式，有注意穩(wěn)態(tài)時，將式（5-60）的第一、二兩式分別代入上式的第一、二式以消去上式中含有同步電抗和的項，從而可得3.用次暫態(tài)電抗表示的穩(wěn)態(tài)方程 由式（5-44）的第二、四兩式，有與式（5-64）的推到完全相同，得 式(560)、式(564)和式(565)構成了轉子采用四繞組模型時的同步電機穩(wěn)態(tài)方程。由此三式可以確定所涉及的五個微分狀態(tài)變量、和的初值。對應于此三式的向量圖見圖52。當同步電機采

38、用簡化模型時，相應的微分狀態(tài)變量初值可以直接從轉子四繞組模型的穩(wěn)態(tài)方程中獲取。例如，當不計阻尼繞組時：5.2.5 考慮飽和影響時的同步電機方程 前面所推導的同步電機方程是在假定電機磁路不飽和的條件下導出的。實際上，為了節(jié)省材料，同步電機在設計和制造上使得同步機在額定工況下運行時，定于和轉子的鐵芯已處于淺度飽和狀態(tài)。在特殊工況下，如果磁通密度增大，飽和現(xiàn)象將愈趨明顯和嚴重。在系統(tǒng)的規(guī)劃及運行決策分析時，忽略飽和效應帶來的誤差不大。但在某些特殊情況下，例如在詳細模擬勵磁調解器及其限幅環(huán)節(jié)的暫態(tài)穩(wěn)定分析中，機組的飽和效應可能顯著地影響分析計算的精度。對磁路飽和效應的研究可以追溯到五六十年以前。詳細地

39、模擬磁路的飽和效應將使同步電機的數(shù)學模型十分復雜，主要原因是磁路的飽和程度與作用于電機氣隙的總磁勢有關。這就需要將d軸與q軸的磁勢合成為氣隙總磁勢后再根據(jù)飽和曲線求出相應的磁通和磁鏈。而且即使氣隙總磁勢在空間嚴格按正弦分布，但由于各點的磁勢不等，其飽和程度也各不相同，從而使氣隙的磁通波形發(fā)生畸變。因而在工程上，在兼顧模型的簡單性、參數(shù)的有效性和計算的精確性諸方面因素的同時，通常都進行一些適當?shù)慕?124。下面介紹在穩(wěn)定性分析中常用的一種方法22。 所采用的假設條件為： 1)磁路飽和的影響簡化為d、q軸分別考慮。d軸和q軸磁路的磁阻，其差別僅在于兩軸氣隙長度的不同。 (2)在同一軸下，飽和程度

40、由保梯(Potier)電抗后相應的保梯電壓分量來決定。保梯電壓越高，飽和程度越嚴重。d、q軸的保梯電壓分量分別為另外，近似認為同一軸下的定子繞組和轉子繞組的電壓和磁鏈具有相同的飽和程度。 (3)近似認為氣隙磁通分布波形的畸變不影響各繞組的自感相互感以及相應電抗的不飽和位。 飽和程度的深淺用飽和系數(shù)來反映。對于d軸，飽和系數(shù)可以根據(jù)電機的空載飽和特性來決定，這是因為相當于d軸合成氣隙磁通在q繞組中所產生的電壓。對于的某一取值，由圖53所示的同步電機空載飽和特性可以得出相應的不飽和值，從而定義為顯然，的值越大，飽和度越深。為零時相當于末發(fā)生飽和。對于q軸，由于其飽和特性難于通過電機實驗獲得，故由上

41、述假設條件(1)，其飽和系數(shù)也按電機空載飽和特性來確定，將其值取為為了求得飽和系數(shù)，一種簡單常用的方法是將圖5-3中的空載飽和特性曲線用一個近似的解析函數(shù)擬合，即參數(shù)a、b和n的取值可參考文獻25。顯然，當b取值為零時即是不飽和特性曲線，為于是，在圖5-3中的三角形相似關系，有即式中：。 同理，由式（5-68），有下邊討論計及飽和效應時的同步電機轉子繞組電壓平衡方程、定子繞組磁鏈方程以及定子繞組電壓平衡方程。由不計飽和效應的轉子繞組電壓平衡方程(550)的推導過程可知，該式的右端各項是轉子繞組的電流流過其繞組時在繞組的等值電阻上引起的壓降以及繞組的外施電壓(即勵磁繞組的激勵電壓)，因而不存在飽

42、和與否的問題。故當計及飽和效應時，在此式的右端仍用不飽和值。而此式的左端對應于轉子各繞組的磁鏈隨時間變化而引起的感應電壓，顯然當計及飽和效應時這些項應采用與實際磁鏈相對應的飽和值。按照前邊的假定(2)并注意到式(567)，可知在d軸方向上，各電勢和磁鏈的不飽和值與相應的飽和值之比都等于;類似地，對q軸則為。因此，當計及飽和的影響時，同步電機的轉子繞組電壓平衡方程成為式中：各電勢的下標s表示相應電勢的飽和值。 計及飽和效應后，定子繞組磁鏈方程由式（5-49）成為由未計及飽和效應的同步電機定子繞組電壓方程(558)及保梯電壓的定義式(566)可以得出不飽和時保梯電壓與定子繞組磁鏈的關系為由飽和值與

43、不飽和值間的關系，有將式(572)代入上式即得飽和時保梯電壓與電勢的關系為再將上式代入保梯電壓定義式即得計及飽和效應時的定子繞組電壓平衡方程為 式(566)、式(571)、式(572)和式(575)共同構成了計及飽和效應時的同步電機的數(shù)學模型。至此讀者不難推導出計及飽和效應時的同步電機穩(wěn)態(tài)方程。 另外，必須指出，在實際應用中，常假定定子漏磁鏈不飽和而將保梯電抗的值取為繞組漏抗。5.2.6同步電機的轉子運動方程式1剛性轉子情況下的轉子運動方程式當把原動機和發(fā)電機轉子視為一個剛休時，整個發(fā)電機組的轉子運動方程為16，17式中式中：為發(fā)電機轉子q軸與以同步速度旋轉的系統(tǒng)參考軸x間的電角度，為無量綱純

44、數(shù)，習慣上將其以弧度(rad)計量；為發(fā)電機組的慣性時間常數(shù)，量綱為秒(s)；為轉子在同步轉速下的轉動動能，量綱為焦耳(J)；為基準容量，量綱為伏安(VA)；和。分別為原動機的機械輸出轉矩和發(fā)電機的電磁轉矩的標幺值，其基準值為為轉子的機械同步轉速，量綱為弧度秒(rads)。和，的正方向分別取為與轉子的旋轉方向相同和相反。順便指出，在國外的文獻中，轉子的機械慣性常用來表示。顯見，在式(576)中，將換成2H即可。此外，有以下兩個問題需要注意。 (1)由子轉矩與轉速的乘積為該轉矩的功率，且。故在標么制下有式中：為原動機的機械輸出功率；為同步發(fā)電機的電磁功率。由于電力系統(tǒng)的各種穩(wěn)定控制措施的作用，的

45、變化不大，因而為了節(jié)省計算量，有時在上式中直接將的值取為1，從而認為轉矩的標幺值與功率的標么值相等。 (2)轉子在旋轉中受到空氣以及軸與軸承間的摩擦阻力，這些力對轉子產生阻尼轉矩，通常近似認為這個轉矩的大小與轉子的轉速成正比并用風阻系數(shù)D與轉速的積來反映?？紤]到以上兩個因素，當時間變量也采用標幺值時，剛體轉子的運動方程就是 （5-78）順便指出，轉子運動方程中涉及到的機組的機械轉矩或機械功率受機組的調速系統(tǒng)的控制，因而機械轉矩或機械功率的出現(xiàn)將引出機組調速系統(tǒng)的方程。描述機組調速系統(tǒng)的數(shù)學模型將在5.4節(jié)討論。在式（5-78）中，實際上將發(fā)電機和原動機的轉子合并在一起，看成是一個集中的剛性質量

46、塊。對于一般的暫態(tài)穩(wěn)定性系統(tǒng)，這種處理方法不會引起明顯的誤差。但是，在分析電力系統(tǒng)次同步諧振問題時們對于大型汽輪發(fā)電機組，由于汽輪機由多級組成，整個機組轉子軸的總長度可達數(shù)十米，轉子軸客觀存在的彈性便不能被忽略。通常把軸上的勵磁機、發(fā)電機轉子和各個汽缸的轉子各自處理為一個集中質量塊，整個軸系的彈性處理為各質量塊的扭簧的彈性。在考慮了彈性之后，各質量塊在暫態(tài)過程中的轉速就可能不同，因而質量塊之間就會出現(xiàn)相對角位移。每一個質量塊的轉動方程共同構成發(fā)電機組的軸系方程。此處不在詳細介紹軸系方程，有興趣的讀者可參看文獻26,27。2.同步點擊的電磁轉矩和電磁功率在轉子運動方程（5-78）涉及到原動機的機

47、械轉矩（或功率）和同步機的電磁轉矩（或功率）。前者由機組的原動機或機組的調速系統(tǒng)的數(shù)學模型來確定，我們在5.4節(jié)討論。此處討論電磁轉矩及電磁功率的計算模型。同步機的電磁轉矩放映同步機定子與轉子間通過電與磁的相互作用而對轉子產生的力的作用?？梢詮睦碚撋献C明：電磁轉矩等于各繞組儲存的總磁場能量對轉子角度的偏導數(shù)4 ，即 （5-79）式中：為同步機轉子d軸與定子繞組a軸的夾角，參見圖5-1（a）；為同步機的定子三相繞組和轉子各繞組所儲存的磁場能量的總和，可表示為 （5-80）上式中的負號時因定子繞組電流的參考方向與其磁鏈的參考方向相反而引起。由式（5-2）（5-7），注意轉矩的基準值為便可導出 （5

48、-81）由上式可見，電磁轉矩與定子的零軸分量無關，這是因為零軸磁通不與轉子繞組相匝鏈。另外，雖然上式是在轉子采用四繞組模型下導出的，但對轉子采用其它更高階或低階的模型同樣適用，只是推導過程稍有不同， 當轉子采用四繞組模型時，將定子繞組磁鏈方程(5-49)代入上式即可得該模型下的電磁轉矩表達式 （5-82）由上邊的表達式并注意到式（5-77）可以直接得到同步機的電磁功率表達式。但是這樣得到的電磁功率表達式中含有微分狀態(tài)變量、，從而使得在后續(xù)的求解過程中計算量很大。為了解決這個問題，把定子繞組電壓方程式(545)代入式(581)并注意式(5-77)，可以導出電磁功率的常用表達式顯然為同步機的定子繞

49、組銅耗。當忽略定子繞組的電磁暫態(tài)過程時，將上式與同步機的輸出功率表達式(529)比較可知，這時的發(fā)電機電磁功率等于發(fā)電機的輸出功率與發(fā)電機的定子繞組銅耗之和。順便指出，式(583)也適用于轉子不采用四繞組模型的情況以及計及飽和效應的情況。53 發(fā)電機勵磁系統(tǒng)的數(shù)學模型 在式(550)中含有變量。由式(5-51)知，在“單位勵磁電壓單位定子電壓”基準值系統(tǒng)下，等于發(fā)電機的勵磁繞組電壓。發(fā)電機勵磁繞組電壓受發(fā)電機勵磁系統(tǒng)的控制，因此，必須建立發(fā)電機勵磁系統(tǒng)的數(shù)學模型。 發(fā)電機勵磁系統(tǒng)的基本功能是給發(fā)電機的勵磁繞組提供合適的直流電流，以在發(fā)電機定子空間產生磁場。歷史上，早期的勵磁系統(tǒng)是通過手動控制來

50、調節(jié)勵磁繞組的電壓以維持所需的發(fā)電機端電壓和相應的無功出力。20世紀20年代，人們初步認識到連續(xù)、快速地控制勵磁電流對提高電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的積極作用。自此，各種勵磁方式和自動勵磁調節(jié)器先后被提出和采用。20世紀60年代，電力系統(tǒng)穩(wěn)定器的提出和應用進一步擴展了勵磁控制系統(tǒng)對提高電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用。隨著自動控制理論和計算機控制技術的發(fā)展，不斷地有新的勵磁調節(jié)器被提出。調節(jié)功能從單的發(fā)電機機端電壓控制發(fā)展到多功能的勵磁控制；控制器的反饋信號從單一的機端電壓偏差發(fā)展到以電壓偏差為主，附加發(fā)電機電磁功功率、發(fā)電機電角速度、系統(tǒng)頻率、發(fā)電機定于電流、勵磁電流或勵磁電壓的偏差以及它們的組合；控制策略從簡單的

51、比例反饋調節(jié)發(fā)展到比例-積分-微分調節(jié)，從線性勵磁調節(jié)發(fā)展到自校正勵磁調節(jié)、自適應勵磁控制、模糊勵磁控制等非線性勵磁調節(jié)；在實現(xiàn)手段上，從早期的機電式或電磁式發(fā)展到晶體管式或集成電路式等模擬調節(jié)器，直到近代的基于微處理器或微型計算機的數(shù)字式勵磁控制器。應用現(xiàn)代控制理論的設計思想28、由微型計算機實現(xiàn)的數(shù)字式勵磁控制系統(tǒng)29是未來十數(shù)年的主要研究發(fā)展方向。 電力系統(tǒng)動態(tài)行為的精確分析離不開勵磁系統(tǒng)的數(shù)學模型。對新型勵磁控制器的理論設計首先要根據(jù)其數(shù)學模型進行仿真計算以確認其動態(tài)響應的效果是否理想。本書不討論勵磁調節(jié)器的設計原理，只介紹目前已廣泛應用的勵磁調節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學模型。這些勵磁系統(tǒng)的物理結構

52、和工作原理可參看文獻30。對于各種相對比較新型的勵磁控制器，例如線性最優(yōu)勵磁控制器(LOEC)、非線性最優(yōu)勵磁控制器(NOEC)28，由于它們尚處在理論研究或被實踐檢驗的階段，故本書也不作更深入的討論。一般的勵磁系統(tǒng)的組成可以用圖54表示。主勵磁系統(tǒng)為發(fā)電機的勵磁繞組提供勵磁電流；勵磁調節(jié)器用于對勵磁電流進行調節(jié)或控制；發(fā)電機端電壓測量與負載補償環(huán)節(jié)測量發(fā)電機的端電壓并對發(fā)電機負載電流進行補償；輔助調節(jié)器對勵磁調節(jié)器輸入輔助控制信號，最常用的輔助調節(jié)器為電力系統(tǒng)穩(wěn)定器。保護與限幅環(huán)節(jié)用以確保機組的各種運行參數(shù)不越過其限值。5.2節(jié)已介紹了發(fā)電機的數(shù)學模型，下邊我們將逐框地介紹其他部分的用于電力

53、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的數(shù)學模型。這些數(shù)學模型適用于系統(tǒng)頻率偏差不超過5、振蕩頻率約在3Hz以內的工況。一般地講，對于研究次同步諧振或其他的軸系扭振問題，這些模型的精確性是不夠的。531 主勵磁系統(tǒng)的數(shù)學模型根據(jù)勵磁電源的獲取方式，勵磁系統(tǒng)可以分為直流勵磁機系統(tǒng)、交流勵磁機系統(tǒng)和靜止勵磁系統(tǒng)三類。前兩類也合稱旋轉勵磁系統(tǒng)。以下分別介紹三類主勵磁系統(tǒng)的數(shù)學模型。1.直流勵磁機由于運行維護成本過大，已不用于新建的大容量的發(fā)電機組。但是某些電力系統(tǒng)中仍可能有未退役的直流勵磁機，因此仍有必要介紹其數(shù)學模型。作為一般的情況，討論同時具有自勵和它勵的直流勵磁機的數(shù)學模型。其原理接線如圖55所示。圖中，表示勵磁機的

54、電樞；和、和分別為自勵、它勵繞組的電阻相自感；、和分別為自勵、它勵和復勵電流；為它勵繞組的外施電壓；為可變調節(jié)電阻。為分析簡單起見，認為它勵繞組和自勵繞組的匝數(shù)相同，或者認為它勵繞組的匝數(shù)和參數(shù)已被折算到自勵繞組側。據(jù)此，可以列出下列電壓平行方程和不計磁路飽和效應的磁鏈方程：在上邊的磁鏈方程中，近似認為它勵繞組和自勵繞組完全耦合。這樣，每個繞組的漏抗為零，不飽和自感和繞組間的互感都相等，于是由式(585)得式中：為不計磁路飽和效應時它勵繞組和自勵繞組的磁鏈；為直流機的總勵磁電流。 計及磁路飽和效應后，實際的磁鏈與直流機的總勵磁電流之間的關系由圖56(a)所示的直流勵磁機的飽和特性曲線來確定。類

55、似于式(567)，定義直流勵磁機的飽和系數(shù)為如圖56所示，式中是在不考慮飽和效應時，為了產生而需要的總勵磁電流。的數(shù)值大小反映了直流勵磁機飽和程度的深淺，描述了飽和磁鏈與不飽和磁鏈體之間的關系。的具體數(shù)值通常由勵磁機的負載特性曲線獲取。如圖56(b)，由于勵磁機的負載是固定的，即發(fā)電機的勵磁繞組，當忽略發(fā)電機勵磁電流在暫態(tài)過程中的變化對勵磁機的電樞電壓的影響時，可以近似地認為勵磁機的輸出電壓與其內電勢成正比。進一步忽略轉速的變化，則磁鏈便與電壓成正比。據(jù)此，圖56(b)中的不飽和特性可以由下式表示：順便指出，為勵磁機的不飽和負載特性曲線的斜率，具有歐姆的量綱。由上式及式（5-86）可得注意已知

56、磁鏈與電壓成正比，故上式顯然可以推廣為 田56 直流勵磁機的飽和特性曲線把式(584)的第一式兩邊同除以，第二式兩邊同除以，再將它們相加，注意到式(586)、式(587)和式(590)，不難導出由式（5-90）、（5-88）和式（5-89）有將上式代入式(591)以消去其中的變量，經整理可得式中：和分別為自勵繞組和它勵繞組的時間常數(shù)，量綱為秒。式(592)是有名制下的勵磁機輸入量、與輸出量的關系。為與在52節(jié)中導得的標幺制下的發(fā)電機的數(shù)學模型聯(lián)立，需將式(592)化成標幺制。注意，燈的基準值已在52節(jié)中推導同步電機數(shù)學模型時取定，故此處不能另取。而和的基準值需要選取。為此首先將式(592)兩邊同除以，顯見當按下式選取勵磁機的勵磁電流和它勵繞組電壓基準值時，標幺制下的方程具有最簡潔的形式。式（5-92）的標幺制方程為式中：、和分別稱為勵磁機的自勵系數(shù)、時間常數(shù)和復勵增益。順便指出，調節(jié)電阻可以適當?shù)卣{整這三個參數(shù)。式(595)便是圖5-5所示勵磁機的數(shù)學模型。因57為與其對應的傳遞函數(shù)框圖(已按習慣略去了標幺制下標*)。獲取飽和系數(shù)與直流