高考數(shù)學函數(shù)零點專題

1、專題2.函數(shù)的零點高考解讀求方程的根、函數(shù)的零點的個數(shù)問題以及由零點存在性定理判斷零點是否存在，利用函數(shù)模型解決實際問題是高考的熱點；備考時應(yīng)理解函數(shù)的零點，方程的根和函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標的等價性;掌握零點存在性定理.增強根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型的意識，提高綜合分析、解決問題的能力.知識梳理1.函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)的零點對于函數(shù)f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點.(2)函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x) =f (x) g(x)的零點就是方程f(x) = g(x)的根，即函數(shù)y = f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖 象交點的橫坐標.(3)零點存

2、在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有 f(a) f(b)<0,那么，函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點，即存在 cC (a, b)使得f(c) = 0,這個c也就是方程f(x) = 0的根.注意以 下兩點：滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點.,'' fI f，(4)二分法求函數(shù)零點的近似值，二分法求方程的近似解.2.在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結(jié)合是基本的解題 方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個函數(shù)f(x),g(x

3、),即把方程寫成f(x) =g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象 的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系.高頻考點突破考點一函數(shù)的零點判斷 jr'-.-例1、2017課標3,理11已知函數(shù)f(x) x2 2x a(ex1 ex1)有唯一零點，則a=A.1B. 1C. -D. 1232【變式探究】(1)函數(shù)f(x) =ex + x 2的零點所在的區(qū)間是()A. (0,1)B. (1,1)C. (1,2)D . (2,3) 22(2)已知偶函數(shù)y=f(x), xCR滿足：f(x) =x2-3x(x>0),若函數(shù)9«)=則y=f(x)

4、g(x)的零點個 數(shù)為()A. 1B. 3C. 2D. 4【方法技巧】函數(shù)零點的求法(1)直接求零點：令f(x) = 0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a, b上是連續(xù)不斷的曲線，且 f(a) -f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其有幾個交點，就有幾個不同的零點.【變式探究】設(shè)f(x)=lnx + x2,則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A. (0,1)B . (1,2)C . (2,3)D . (3,4)考點

5、二、二次函數(shù)的零點例 2、已知函數(shù) f(x) =x2+ ax+2, aC R(1)若不等式f (x) <0的解集為1,2,求不等式f(x)>1 x2的解集；(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+x2+1在區(qū)間(1,2)上有兩個不同的零點，求實數(shù) a的取值范圍.【方法技巧】解決二次函數(shù)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.【變式探究】已知f (x) =x2+(a21)x+(a 2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍.考點三函數(shù)零點的應(yīng)用例3、2017課標1,理21已知函數(shù)f(

6、x) ae2x (a 2)ex x.(1)討論f (x)的單調(diào)性；I|>/ /1'-二 J LT、(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.【變式探究】已知函數(shù) f(x)=函數(shù)g(x)=b f(2 x),其中bC R若函數(shù)y= f(x) g(x)恰有4個零 點，則b的取值范圍是()A 7、777A. (-,)B.(-)C.(0-)D. (-,2)4444【方法規(guī)律】函數(shù)零點的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若 方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變 得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合

7、思想的應(yīng)用.【變式探究】對于實數(shù)mi n定義運算“"：m門=設(shè)f (x) = (2x1)(x1),且關(guān)于x的方程f (x) =a恰有三個 互不相等的實數(shù)根 xi, x2, x3,則xi + X2+x3的取值范圍是 .考點四、分段函數(shù)的模型x 1, x 0, . . 1例4、2017課標3,理15設(shè)函數(shù)f (x)則滿足f(x) f(x -) 1的x的取值范圍是2x, x 02【變式探究】已知一家公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝 x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為Rx)萬元，且R(x) =(1)寫出年利潤 刈萬元

8、)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？(注：年利潤=年銷售收入一年總成本)【方法技巧】(1)很多實際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個關(guān)系式給出，這時就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型.(2)求函數(shù)最值常利用基本(均值)不等式法、導數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值時， 應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.【變式探究】國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30人或30人以下，飛機票每張收費 900元；若每團人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù) 75人為止.每團 乘飛機，

9、旅行社需付名航空公司包機費 15000元.(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？貨，/ I .高考鏈接1.12017北京，理14】三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點A的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點B的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i=1, 2, 3.記Q為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q, Q, Q中最大的是 .記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù)，則 p, p2,伊中最大的是 ._ Ixl,x m 一2.【2016高考山東理數(shù)】已知函數(shù) f(

10、x) 2其中m 0,若存在實數(shù)b,使得關(guān)于xx 2mx 4m, x m的方程f (x) =b有三個不同的根，則 m的取值范圍是 .3.12016高考上海理數(shù)】已知 a R,函數(shù)f(x) log2(- a).x(1)當a 5時，解不等式f (x) 0；(2)若關(guān)于x的方程f (x) log2(a 4)x 2a 5 0的解集中恰好有一個元素，求 a的取值范圍；1 一 ，一、 ，(3)設(shè)a 0,若對任意t 3,1,函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t 1上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.4.【2015高考浙江，理7】存在函數(shù)f(x)滿足，對任意x R都有()2A. f(sin2x) sin x B

11、. f (sin2x) x xC. f(x2 1) x 1D. f(x2 2x) x 15.【2015高考湖南，理15】已知f(x)3x x a2,右存在頭數(shù)b,使函數(shù)g (x) f (x) b有兩個手x , x a6.【2015高考江蘇，13】已知函數(shù)f(x) |lnx|, g(x)0,0 x 1|x2 4| 2,x1,則方程 1f(x) g(x)1 1實點，則a的取值范圍是.根的個數(shù)為f x7.12015高考天津，理8】已知函數(shù)2 x, x 2,2x 2 , x 2,函數(shù) g xb f 2 x ,其中b R,若函數(shù)y f x g x恰有4個零點，則b的取值范圍是()7 ,(A) 4(B)7

12、,4(C)4,28.【2015高考浙江，理10】已知函數(shù)9.關(guān)系V【2015高考四川，理kx b一一e (e 2.718f(x)2 3,x 1 xlg(x2 1),x 1,則f(f( 3)f (x)的最小值是.13】某食品的保鮮時間為自然對數(shù)的底數(shù),k、V (單位：小時)與儲存溫度 x (單位：C) b為常數(shù))。若該食品在0 c的保鮮時間設(shè)計滿足函數(shù)192小時,在22 C的保鮮時間是48小時，則該食品在33 C的保鮮時間是小時f 1 x10.【2015局考上海，理10】設(shè)f x的最大值為.0,2的反函數(shù)，則y f x12.【2015高考浙江，理18】已知函數(shù) 上的最大值.f(x)axb(a,b

13、R),記 M (a,b)是 | f (x)| 在區(qū)間1,1(1)證明：當 |a| 2時，M(a，b) 2；(2)當a, b滿足M(a，b) 2,求1a| |b|的最大值.13. (2014 湖南卷)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率為 q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.B.C.D. 114. (2014 湖南卷)已知函數(shù)f (x) =x2+ex(x<0)與g(x) = x2+ln( x + a)的圖像上存在關(guān)于 y軸對稱 的點，則a的取值范圍是()A. (8, )B. (8, )C.D.15. (2014 天津卷)已知函數(shù) f(x) = |x2

14、+3x| , xC R.若方程f (x) a| x1| =0恰有4個互異的實數(shù) 根，則實數(shù)a的取值范圍為 .16. (2014 浙江卷)已知函數(shù) f (x) = x3+ax2+bx+c,且 0<f ( 1) = f ( 2) = f ( 3) < 3,則()A. c<3B. 3<c<6C. 6Vg 9D. c>917. (2014 全國卷)若函數(shù)f (x) = cos2x+asin x在區(qū)間是減函數(shù)，則 a的取值范圍是 .CD18. (2014 江西卷)已知函數(shù) f(x) = 5|x|, g(x) =ax2-x(a R).若 fg(1) =1, Ma=()A. 1B.