利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性之二階求導(dǎo)型

1、11e 1x x恒成立,求 eea的取值范圍.e1.(1) ln2 ；(2)a 2； (3) a 2【解析】試題分析：(1)由a 0時(shí)，得出f (x)e1(e 1)e"xe2x in x ,則 f (x)(2x 1)e2x ，再x利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性之二階求導(dǎo)型評(píng)卷人得分、解答題(題型注釋)1 .已知函數(shù) f(x)xe2x ln x ax.1 ，一(1)當(dāng)a 0時(shí)，求函數(shù)f(x)在_,1上的最小值；2(2)若 x 0,不等式f(x) 1恒成立，求a的取值范圍;1(3)若 x 0,不等式f() 1 x求導(dǎo)f x ,可得函數(shù)f/(x)在(0,)上是增函數(shù)，從而得到函數(shù)f x的單調(diào)性,

2、即可求解函數(shù)f(x)在1,1上的最小值；(2)由(1)知函數(shù)f/(x)在(0,)上是2增函數(shù)，且 x0 0 ,使得 f (x0) 0 ,得(2x0 1)e2x0 a 0 ,即 x。ax。 (2x02 xq )e2x0 1 ,設(shè) f(xc) 1 ln x0 2x02e2",利用函數(shù) f(x0)的單調(diào)性，即可求解求a的取值范圍；(3)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為a xlnxxe 1x xee1-對(duì)任意x 0成1立，令 g(x) xln x x 1x ee的最小值，即可a的取值范圍.,所以g (x)可得出gx的單調(diào)性,求解出g x試題解析：(1) a 0時(shí)，f(x)-2xxe ln xf/(x)(2x

3、 1)e2xf/(x)(4x 4)e2x -12x0,所以函數(shù)f/(x)在(0,)上是增函數(shù),又函數(shù)f/(x)的值域?yàn)閞故 x00,使得 f/(x。)(2xo2x)11)e一0,x0,1又 f/(1) 2e 2 0 2xo12所以當(dāng)x1-即函數(shù)f (x)在區(qū)間,1上遞增，所以 2f(x)min1 一,.一,1時(shí)，f/(x) 0, 2 1 ef(-) - in 222/2x1(2) f/(x) (2x 1)e2x a, x由(1)知函數(shù)f/(x)在(0,)上是增函數(shù)，且x00,使得 f/(x。) 0進(jìn)而函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,xo)上遞減，在(x0,)上遞增,f(x)minf(x0)x0e2x

4、0in x0ax。，由 f/(x。) 0得:(2xo 1)e2x01一 a x02ax0(2x0x0)e2x0 1,f(xo)in x02 x02 e2x0 ,因?yàn)閤 0,不等式f (x) 1恒成立,2 2x022x0 e1 in x0 2x° e2x0(2x°1)e2x0 202x0(另解：因?yàn)?,不等式f (x)1恒成立,2x xeln xe1nxe2x(inx 2x) 1 2xin x 2 xe (in x 2x) 1 2in x2xin x 2x einx 2x 12xxe in x0時(shí)取等號(hào),1(3)由 f() x1 2 x ex1e 1xe%1 ;x-e xin

5、1x1 | xe x1e 1xe%xln x xxe 1xexln x xxe 1xee對(duì)任意x0成立,x1g(x) xln x x e_1x，所以 g/(x)e"in xe(ex ，1)ee0,1 時(shí)，g/(x) 0,當(dāng) 0 x 1 時(shí)，g/(x)所以當(dāng)x 1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值g(1)1e"e1(e 1)eee1(e 1)ee考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研【方法點(diǎn)晴】 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,同時(shí)究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,解答中注意對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)的應(yīng)用和函數(shù)的構(gòu)造思

6、想,通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解題的思想，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度, 屬于難題.2 .已知函數(shù)f x3(1)當(dāng)a 3時(shí),2求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f x在 1,1上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.3 .設(shè)函數(shù) f (x) ex ln(x 1) ax.(1)當(dāng)a=2時(shí)，判斷函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x 0時(shí)，f (x) cosx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.a s4 .已知函數(shù)f(x) xln x - x x a(a r)在其te義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) 2(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 x1,x2,證明：x1?

7、x2 e2.5 .已知函數(shù) f(x) x3 3|x a| 2 (a r).(1)當(dāng)a 0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)求f (x)在區(qū)間0,2上的最小值.6 .設(shè) f(x) xln x ax2 (2a 1)x , a r.(1)令g(x) f '(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知f(x)在x 1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍x7 .設(shè)函數(shù) f x a ln 1 x , g x ln 1 x bx.1 x(1)若函數(shù)f x在x 0處有極值，求函數(shù) f x的最大值；(2)是否存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的不等式g x 0在0, 上恒成立？若存在,求出b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；一

8、一，, n k1證明：不等式1-2 lnn 1n 1,2lk 1 k 121 . (1) e ln2 ；(2) a 2； (3) a 1 1 .2(e 1)ee【解析】試題分析：(1)由a 0時(shí)，得出f(x) xe2x lnx,則f(x) (2x 1)e2x2，再求導(dǎo) xf x ,可得函數(shù)f/(x)在(0,)上是增函數(shù)，從而得到函數(shù) f x的單調(diào)性，即可求解1 .一函數(shù)f (x)在11上的最小值；(2)由(1)知函數(shù)f/(x)在(0,)上是增函數(shù)，且x0 0,使得 f (x0) 0 ,得(2x0 1)e1e即函數(shù)f(x)在區(qū)間,1上遞增，所以f ( x) minf (-) in 2 22(2)

9、 f/(x) (2x 1)e2x - a,由(1)知函數(shù)f/(x)在(0,)上是增函數(shù)，且x0 0,使得f/(x0)0進(jìn)而函數(shù)f (x)在區(qū)間(0, x0)上遞減，在(x0,)上遞增,x0 a 0 ,即 ax。 (2x。2 x。"2比 1 ,設(shè)x。f(x0)1 inx02x02e2”,利用函數(shù)f(x0)的單調(diào)性，即可求解求a的取值范圍；(3)根x /x 1據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為a xlnx x e-x一 對(duì)任意x 0成立，令g(x) xln x x 1x eeee所以g (x),可得出g x的單調(diào)性，求解出 g x的最小值，即可 a的取值范圍.試題解析：(1) a 0時(shí)，f(x) xe2x

10、lnx, f/(x) (2x 1)e2x -, x八 1f/(x) (4x 4)e 0,所以函數(shù)f /(x)在(0,)上是增函數(shù)，x又函數(shù)f/(x)的值域?yàn)閞,1故 x00,使得 f/(x0) (2x0 1)e2x0- 0,x00,一 ，111 一，又 f/(-) 2e 2 0, x0 一,所以當(dāng) x ,1時(shí)，f/(x) 222f(x)minf(x0) x0e2x0 lnx° ax°,由 f/(x。) 0得：(2x0 1)e2x01-a x02axo (2xox0)e2x01 ,f(x0)2 2 x01 ln x0 2x° e ,因?yàn)閤 0,不等式f (x) 1恒

11、成立,in x2 2xn2x0 e 01ln x02x02e2x00(2xo1)e2x020 x0(另解：因?yàn)?,不等式f (x) 1恒成立,2xxeln xelnxe2x (ln x 2x) 1 2xln x 2 xe (ln x 2x) 1 2in x2xln x 2x e0時(shí)取等號(hào),inx 2x 12xxe ln x1(3)由 f(-) xxln x xxe 1xee所以當(dāng)g(x)xln x1 時(shí)，g/(x)xeeln1 x1e 1xeexln x xxe 1xee對(duì)任意x0成立,xe 1xee,所以g/(x)ln xe(ex1)ee0,當(dāng) 0 x 1 時(shí)，g/(x)x 1時(shí)，函數(shù)g(x

12、)取得最小值g(1)0,1eee1(e旋1 : (e 1)ee考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函同時(shí)解答中注數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,意對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)的應(yīng)用和函數(shù)的構(gòu)造思想，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想以及推理與運(yùn)算能力,通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解題的思想, 試題有一定的難度，屬于難題.2. (1)單調(diào)遞增區(qū)間為,0 和 ln2,單調(diào)遞減為0,ln 2 ;(2),、 2 u e,2e試題分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且通分，分解因式的化簡(jiǎn)，然后解的解集；(2)若

13、函數(shù)在-1,1上為單調(diào)函數(shù)，所以分單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況討論，若單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在 1,1上恒成立，那么a小于等于函數(shù)的最小值，若函數(shù) e單調(diào)遞減,轉(zhuǎn)化為1,1上恒成立,a大于等于函數(shù)的最大值試題解析:的定義域?yàn)?1)lx12ex0,解得:in 2或 x0,解得:x in 2 f的單調(diào)遞增區(qū)間為,0ln2,單調(diào)遞減為0,ln 2 .(2)1,1上單調(diào)遞增，則0在 1,1上恒成立,1,1上恒成立,ex同,1一，e e、.22t 1 2gt當(dāng)且僅當(dāng)1一,e e1時(shí)取“="，又e2ex1,1時(shí)，夜-212e1,1上單調(diào)遞減，則a 0在 1,1上恒成立,1,1上恒成立,由式知,1 a2e

14、e,綜上，a的取值范圍是,2 u 2e e,考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性3. （1）在（1,）上是增函數(shù)；（2）a 2.試題分析：（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令,并且注意函數(shù)的定義域，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g x0討論g x的正負(fù)，同時(shí)得到函數(shù)g x的單調(diào)性,求得的最小值為0,即0恒成立,得到函數(shù)的單調(diào)性； （2）由（1）可得當(dāng)a2時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)2時(shí),(x)f（x） cosx ,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，證明不等式不恒成立試題解析：（1） f（x）的定義域?yàn)椋?,)，f(x)2,記 g(x) ex2,g (x)(x121)2當(dāng)x>0時(shí)，e1,(x1171,此時(shí)g (x)0,當(dāng)-1<x<

15、0 時(shí),1,1(x 1)2所以f （x）在（-1,0 ）上遞減，在（0,）上遞增，(x) f(0) 0，f （x）在（1,）上是增函數(shù)，、 x 1(2) f (x) ex a ,由(1)知f (x)在(0,)上遞增，所以當(dāng)a 2時(shí)， x 1f (x) f (0) 2 a 0,所以f (x)在0,)上遞增，故f (x) f (0) 1 cosx恒成立.x 1當(dāng) a>2 時(shí)，記 (x) f(x) cosx,則 (x) e a sinx,x 11 ,八當(dāng) x>1 時(shí)，h(x) e - 1 0,4顯然當(dāng)0 x 1時(shí)，h (x) 0,從而(x)在0,)上單調(diào)遞增.又(0) 2 a 0,x(x

16、) 0,則存在 xq (0,)，使得(x0) 0.所以(x)在(0,x0)上遞減，所以當(dāng)x (0,%)時(shí)，(x)(0) 0,即f (x) <cosx ,不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 2.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及證明不等式的問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，重點(diǎn) 說(shuō)說(shuō)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的證明，一種情況是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后，能夠解得f x 0的解集，從而得到函數(shù)的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間，令一種情況是求導(dǎo)后，不能直接求得f x 0或f x 0的解集，需要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的解集，求得一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間，同時(shí)求得一階

17、導(dǎo)數(shù)的最大值或是最小值，從而得到一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求得函數(shù)的增或減區(qū)間., 一、八1、一，一4. (1) 0 a ; (2)證明見(jiàn)解析.【解析】a s試題分析：(1)函數(shù)f(x) xln x x x a(a r)在其te義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)2ln x等價(jià)于萬(wàn)程f (x) 0在(0,)有兩個(gè)不同根，即函數(shù)g(x) 與函數(shù)y a的圖象在xin x(0,)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，討論函數(shù)g(x) 單調(diào)性和極值根據(jù)圖象即可求a的取值范x.x1in 1圍；(2 )作差得，in二 a(x1 x2),即a x2- .原不等式xx2 e2等價(jià)于 x2x1 x21nxi in x2 2a(x1 x2) 2 in 8

18、 2(x1 x2) ,上 t,則 t 1,只需證明不等又2x1x2x2式ln t 2(t 1)成立即可.t 1試題解析：(1)依題意，函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0,"所以方程f (x) 0在(0,)有兩個(gè)不同根.即，方程ln x ax0在(0,)有兩個(gè)不同根.轉(zhuǎn)化為，函數(shù)g(x)ln、與函數(shù)y xa的圖象在(0,)上有兩個(gè)不同交點(diǎn).p '1 in x又g (x) 2，即0 x e時(shí), x''e時(shí)，g (x) 0,所以g(x)在(0,e)上單調(diào)增，在(e,)上單調(diào)減，從而g(x)極大=9仁)0 時(shí),g(x)時(shí)，g(x) 0又g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1,且在a的

19、圖象在(0,)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需0al e(2)由(1)可知x1，x2分別是方程ln xax0 的兩個(gè)根，即 lnx ax1，in x2ax2,設(shè)x x2 ,作差得，inx17a(x1x2*2),即.x1in xlx1x2原不等式xx22e等價(jià)于ln x ln x2a(xi x2) 2ln上x(chóng)22(x x2)x1 x2令土 t ,則t 1又2inxix22(xix2) x2int t 11，g(t)(t 1)2-4 0 ，t(t 1)函數(shù)g(t)在(1,)上單調(diào)遞增, g(t) g(1) 0,即不等式int 2(t 1)成立, t 1故所證不等式x1x2 e2成立.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函

20、數(shù)的單調(diào)性及極值；2、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，命題主要是和導(dǎo)數(shù)、絕對(duì)值不等式及柯西不 等式相結(jié)合，導(dǎo)數(shù)部分一旦出該類型題往往難度較大，要準(zhǔn)確解答首先觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)，或者進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)證明.5. (1) f(x)的增區(qū)間為(，1),(0,)，減區(qū)間為(1,0); (2)當(dāng)a 0時(shí)，f(x)的3最小值為 3a 2；當(dāng)0 a 1時(shí)，f(x)的最小值為a 2；當(dāng)a 1時(shí)，f(x)的最小值為3a

21、 .【解析】試題分析：(1)研究單調(diào)性，可求出導(dǎo)函數(shù)f'(x),然后解不等式f'(x) 0得單調(diào)增區(qū)間，解不等式f '(x) 0得減區(qū)間，注意絕對(duì)值，要分類求解；(2)由于x 0,2,因此先分類a 0, a 2, 0 a 2 ,前兩種情形，絕對(duì)值符號(hào)直接去掉，因此只要用導(dǎo)數(shù)f'(x)研究單調(diào)性可得最值，第三種情形同樣要去絕對(duì)值符號(hào)，只是此時(shí)是分段函數(shù)，x33(xa)2,ax2,f(x) 3， f'(x)x33(xa)2,0xa.3x2 3,a3x2 3,0x 2., ,可以看出這時(shí)又要分x a.類：0 a 1,1a 2 ,得單調(diào)性再得最小值.試題解析：(

22、1)當(dāng)a0 時(shí)，f(x) x3 3|x| 2.當(dāng)x 0時(shí)，f(x)當(dāng)x 0時(shí)，f (x)1 x 0 時(shí)，f'(x) 0, f (x)在(1,0)單調(diào)遞減;x 1 時(shí)，f'(x) 0, . f(x)在(1)單調(diào)遞增.綜上，f(x)的增區(qū)間為(，1), (0,),減區(qū)間為(1,0).(2) a 2 時(shí)，f (x) x3 3(a x) 2, 0 x 2,f'(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1), f(x)min f(1) 3a. a 0時(shí)，f (x)3x 3(x a) 2, 0 x 2,2f'(x) 3x 3 0, f(x)在 0,2 單調(diào)遞增,f (x)min

23、 f(0) 3a 2.3一一一 0 a 2 時(shí)，而 0 x 2, f (x)x33(xa)2,ax2,3x3(xa)2,0xa.3x2 3, a x 2, f 1(x)3x2 310 x a.(i) 0 a 1時(shí)，f (x)在a,2上單增，f (a)為最小值.2f (x) 3(x1) 0在0 x a上恒成立,f (x)在0,a上單調(diào)遞減,3_- f (x)min f (a) a 2.(ii ) 1 a 2時(shí)，f (x)在 a,2 上單調(diào)遞增，f (x)min f(a) a3 2.2在 0 x a 時(shí)，f'(x) 3(x1),綜上可知，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)的最小值為f (x)min f(

24、1) 3a.3a 2 ；當(dāng)0 a 1時(shí)，f (x)的最小值為a3 2 ； 當(dāng)a 1時(shí)，f (x)的最小值為3a .考點(diǎn)：分段函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.6. (1)當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)，當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0 2)，單調(diào)遞減區(qū)間為()；(2) a 1'2a2a'2【解析】試題分析：(1)先求出g(x) f'(x)的解析式，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) g x，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求出 g x的單調(diào)區(qū)間；(2)分別討論a的取值范圍，根據(jù)函數(shù)極值的定義，進(jìn)行3證可得結(jié)論 .試題解析：(1) g(x) ln x 2ax

25、 2a,x (0,)，則 g '(x)2a1 2ax1當(dāng) a 0 時(shí)，x (0,)時(shí)，g'(x) 0,當(dāng) a 0 時(shí)，x (0,，)時(shí)，g'(x) 0, 2a1x (,)時(shí)，g'(x) 0,所以當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)； 2a11當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0 '),單調(diào)遞減區(qū)間為(4).(5分)2a2a'(2)由(1)知，f '(1) 0.當(dāng) a 0 時(shí)，x (0,1)時(shí)，f'(x) 0, x (1,)時(shí)，f '(x) 0,所以f (x)在x 1處取得極小值，不合題意.一 111當(dāng)0 a

26、 時(shí)， 1,由(1)知f'(x)在(0,)內(nèi)單倜遞增，2 2a2a1當(dāng)x (0,1)時(shí)，f'(x) 0, x (1,)時(shí)，f'(x) 0,所以f(x)在x 1處取得極小值， 2a不合題意.11當(dāng)a 1時(shí)，即, 1時(shí)，f'(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,)內(nèi)單調(diào)遞減，2 2a所以當(dāng)x (0,)時(shí)，f'(x) 0, f(x)單調(diào)遞減，不合題意.一. 111當(dāng)a 時(shí)，即0 1,當(dāng)x ( ,1)時(shí)，f'(x) 0, f(x)單調(diào)遞增，22a2a當(dāng)x (1,)時(shí)，f'(x) 0, f(x)單調(diào)遞減，所以f (x)在x 1處取得極大值，合題意.1綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a 1.2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用， 著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解答的關(guān)鍵，綜合性強(qiáng)，難度較大，平時(shí)注意解題方法的積累與總結(jié)，屬于難題.7. (1)最大值為f 00; (2)b的取值范圍是b 1;證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)由