高三數(shù)學(xué)二項式定理(知識點和例題)

1、二項式定理C：bn ( n N )1.知識精講:(1)二項式定理：a bn C：an C：an1bC；an rbr其通項是 Tr 1 Cnanrbr (r=0,1,2,n),知 4 求 1,如：T6T5 1 Cn5an 5b51 nCnnbn( n N )亦可寫成：Tr 1 Cnan(b)ran cO-n 八1小 1rCrcn r ra b Cn a Cn a b1 Cn a b特別地：1 xn C0xn C：xC：xn rCnxn ( n N )其中，C：二項式系數(shù)。而系數(shù)是字母前的常數(shù)。例 1. Cn 3c2 9Cn3B-Cn1 等于()nn4n4n 1A. 4Bo 3 4 Co 1 D.

2、33解：設(shè) Sn C： 3cl2 9Cn33n1C：,于是:3Sn 3c： 32C； 33Cn33nCn 1Qn n0 QC1 Q2 2 Q3 '3 C n C n 3c n 3 C n 3 C故選D 例2. (1)求(1 2x)7的展開式的第四項的系數(shù)；1(2)求(x )9的展開式中x3的系數(shù)及二項式系數(shù)* x解：(1) (1 2x)7的展開式的第四項是T31 C73(2x)3 280x3,(1 2x)7的展開式的第四項的系數(shù)是 280 .1 9_ r 9 r 1 rr_r 9 2r(2) (x -)的展開式的通項是 Tr 1 C9x ( -)( 1) C9xxx. 9 2r 3,

3、r 3,，x3的系數(shù)(1)3C；84, x3的二項式系數(shù)C93 84 .(2)二項展開式系數(shù)的性質(zhì)： 對稱性，在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的TP7 d N 夾Zr 4*rr 尺尺口 0C 0c nc 1c n 1 c 2c n2 c kc nk項式系數(shù)相等，即CnCn ,CnCn ,CnCn , CnCn增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果二項式的哥指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：Cn max弓/Tn2項式的哥指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的項式系數(shù)相等并且最大，- rCn max Cn 2 Cn 2 Tn 1 1 Tn 1 1所有

4、二項式系數(shù)的和用賦值法可以證明等于2n即 C：cnC；2n;奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的C； cncn c32n 1例3.已知（172x)ao-2axa2xLa7X7 ,求:(1) aia2L a7 ；aia3a5a7；(3) |ao I解：（1）1 時，（12x)7(12)7展開式右邊為一 a0(2)令 Xa。a10時,aoa1 a2 La7a2 L a7ao 1,a1ao a1a2a1a2 a32口（3）由展開式知:.由(2)中+ao(ao1,a2a71 12,a4a3 a5a7)a7a5a1，a3,a5,a7 均為負,得：2（aoa2a4a61372a? a4 a6) (a1 a3a2a4a

5、1a2a6a73737,ao,a2,a4,a8 均為正,a6)137,a3 a4 a5 a6 a7a7)371372n1 例4. (1)如果在 <x 的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有24 x理項。12 的展開式的常數(shù)項。x解：(1)展開式中前三項的系數(shù)分別為1n(n 1)8由題意得：2Xn=1+n(n 1)得 28n =8 o設(shè)第r+1項為有理項，Tr 1 c8,16 3r1-x ，2r則r是4的倍數(shù)，所以r=0 , 4, 8。有理項為T1435 丁x ,丁5 x,T912256x2【思維點撥】求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確定6r。展開式的

6、Trir rC6 xr _ r1 C6所以，常數(shù)項為T420【思維點撥】 密切注意通項公式的使用。(3)二項式定理的應(yīng)用： 近似計算和估計、證不等式，如證明:2n2n n3,n2n 1 1n的展開式中的四項即可。例5、若n為奇數(shù)，則7n C：7n 1 Cn27n 2C;7被9除得的余數(shù)是A. 0 Bo 2 Co 7D.8解：7n C：7n 1 C：7n 2 C； 17 8nl 9 1 n 1=9n C；9n 11 n1Cnn191 n 1因為n為奇數(shù)，所以原式=9n U9n11 n 1Crn 19 2所以，其余數(shù)為9 - 2 = 7,選C 一一.1 C例6：當(dāng)n N且n>1,求證2 (1 -)n 3n2!(1 -)n 1nn n 12!n2n n 1 n 23!1 n n 1 n 23 2 1n!nn3!n!2n2n13.從而2 (1 與 3n【思維點撥】 這類是二項式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定。2 .重點難點：二項式定理，和二項展開式的性質(zhì)。3 .思維方式：一般與特殊的轉(zhuǎn)化，賦值法的應(yīng)用。r n r r4 .特別注意：二項式的展開式共有 n+1項，Cna b是第r+1項。通項是Tr 1Cnran