高等數(shù)學(xué)教案ch10曲線積分與曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分教學(xué)目的：1. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2. 掌握計算兩類曲線積分的方法。3. 熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。4. 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系， 掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分。5. 知道散度與旋度的概念，并會計算。6 會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。教學(xué)重點 :1、兩類曲線積分的計算方法；2、格林公式及其應(yīng)用；3、兩類曲面積分的計算方法；4、高斯公式、斯托克斯公式；5、兩類曲線積分與兩類曲面積分的

2、應(yīng)用。教學(xué)難點：1、兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系；2、對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計算；3、應(yīng)用格林公式計算對坐標(biāo)的曲線積分；4、應(yīng)用高斯公式計算對坐標(biāo)的曲面積分；5、應(yīng)用斯托克斯公式計算對坐標(biāo)的曲線積分。§ 10.1 對弧長的曲線積分一、 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在 xOy 面內(nèi)的一段曲線弧L 上 已知曲線形構(gòu)件在點 (x y)處的線密度為 (x y) 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量把曲線分成n 小段s1 s2sn( si 也表示弧長)任取 ( i i)si 得第 i 小段質(zhì)量的近似值 ( ii) sin整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為 M

3、 ( i , i ) sii1令 max s1s2sn0 則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為nM lim ( i , i) si0i 1這種和的極限在研究其它問題時也會遇到定義 設(shè) L 為 xOy 面內(nèi)的一條光滑曲線弧點列Ml M2 Mn 1把L分在n個小段.設(shè)第上任意取定的一點 作乘積 f( i i) si (i 1 2弧段的長度的最大值0 這和的極限總存在弧長的曲線積分或第一類曲nf (x,y)ds lim f ( i, i) siL0i 1其中f(x y)叫做被積函數(shù)L叫做積分弧段設(shè)函數(shù)f(x y)定義在可求長度的曲線L上將 L 任意分成 n 個弧段s1 s2n在每一弧段si 上任取一點 ( i i

4、) 作和i1令 max s1s2sn 如果當(dāng) 0函數(shù)f(x y)在L上有界 在L上任意插入一i 個小段的長度為 si 又( i i) 為第 i 個小段nn ) 并作和 f ( i , i ) si 如果當(dāng)各小i1則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧L上對線 積 分 記 作 f (x, y)ds 即并且有界sn 并用si 表示第 i 段的弧長f( i , i) si時 這和的極限總存在 則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作f(x,y)ds即nf(x,y)ds lim f( i, i) sL0i i其中f(x y)叫做被積函數(shù) L叫做積分弧段曲線積分的存在性

5、當(dāng)f(x y)在光滑曲線弧 L上連續(xù)時對弧長的曲線積分l f(x, y)ds是存在的以后我們總假定f(x y)在L上是連續(xù)的根據(jù)對弧長的曲線積分的定義曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分L (x,y)ds的值 其中(x y)為線密度n對弧長的曲線積分的推廣f(x,y,z)ds lim f( i, i, i) s0i i如果L(或)是分段光滑的 則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段 上的曲線積分的和 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧Li及L2則規(guī)定f(x,y)ds L f(x, y)ds L f(x, y)dsLi L2LiL2閉曲線積分 如果L是閉曲線 那么函數(shù)f(x y)在閉曲線L上對弧

6、長的曲線積分記作jf(x, y)ds對弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)ci、C2為常數(shù)則LGf(x,y) c2g(x,y)ds q Lf(x,y)ds C2 Lg(x,y)ds性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧Li和L2則f(x,y)ds f(x, y)ds f(x, y)dsLLiL2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x y) g(x y)則L f(x, y)ds Lg(x,y)ds特別地有I L f(x,y)ds| L|f (x,y)|ds、對弧長的曲線積分的計算法根據(jù)對弧長的曲線積分的定義如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x y)則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為L f(x,y)ds另一方面若曲線L的參數(shù)方程為x (t

7、) y (t)( t ) 則質(zhì)量元素為f(x,y)ds f (t), (t),、2(t)2(t)dt曲線的質(zhì)量為f (t),2(t)2dt即 Lf(x,y)ds f (t),2(t)2(t)dt定理 設(shè)f(x y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)L的參數(shù)方程為x y (t) ( t )其中(t)、(t)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且2(t)2(t) 0則曲線積分L”x,y)ds存在且Lf(x,y)ds f (t), (t), 2(t)2(t)dt( < )證明(略)應(yīng)注意的問題定積分的下限一定要小于上限討論(1)若曲線L的方程為y (x)(a x b)則Lf(x,y)ds ?提示 L的參數(shù)方程為x x

8、y (x)(a x b) bcf(x, y)ds fx, (x)12(x)dxla(2)若曲線L的方程為x (y)(c y d)則L f (x, y)ds ?提示 L的參數(shù)方程為x (y) y y(c y d)L f(x, y)ds ： f (y),小 2(y) 1dy LC若曲的方程為x (t) y (t) z (t)( t )則 f(x,y, z)ds ?提示 f(x, y,z)ds f (t), (t), (t)1 2(t)2(t)2(t)dt例1計算L/yds其中L是拋物線y x2上點O(0 0)與點B(1 1)之間的一段弧解曲線的方程為y x2 (0x1)因此L Vyds0 vxyJ

9、1 (x2)2dx；x01 4x2dx 4(5斯 1)例2計算半徑為 R中心角為2的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量1(設(shè)線密度為1)解取坐標(biāo)系如圖所示則I L y2ds曲線L的參數(shù)方程為x Rcos y Rsin (< )于是 I Ly2dsR2sin2 J( Rsin )2 (Rcos )2dR3 sin2 dR3( sin cos )例3計算曲線積分 (x2 y2 z2)ds其中為螺旋線x acost、y asint、z kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2的一段弧解在曲線 上有 x2 y2 z2 (a cos t)2 (a sin t)2 (kt)2 a2 k 2t 2 并且ds ., ( a

10、sint)2 (acost)2 k2dt a2 k2dt于是(x2 y2 z2)ds： (a2 k2t2)“a2 k2dt2 . a2 k2(3a2 4 2k2)小結(jié)用曲線積分解決問題的步驟(1)建立曲線積分(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)確定參數(shù)的變化范圍(3)將曲線積分化為定積分(4)計算定積分102 對坐標(biāo)的曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功設(shè)一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F(x y) P(x y)i Q(x y)j的作用下從點 A沿光滑曲線弧L 移動到點B試求變力F(x y)所作的功用曲線 L 上的點 A A0 A1 A2An 1 An B 把 L 分成

11、n 個小弧段設(shè) Ak (xk yk) 有向線段AkAk 1 的長度為sk 它與 x 軸的夾角為k 則AkAk 1 cos k,sin k sk (k 0 1 2 n 1)顯然 變力F(x y)沿有向小弧段 AkAk i所作的功可以近似為F (xk , yk) AkAk 1 P(xk, yk)cos k Q(xk , yk)sin k sk于是 變力F(x y)所作的功n1n1WF(xk,yk) AkAk 1P(xk,yk)cos k Q(xk,yk)sin k skk1k1從而WLP(x, y) cosQ(x, y) sin ds這里 (x y) cos sin 是曲線L在點(x y)處的與曲

12、線方向一致的單位切向量把 L 分成 n 個小弧段L 1L2L n變力在Li 上所作的功近似為F( i i ) si P( i i ) xi Q( i i ) yi變力在L 上所作的功近似為nP( i, i) xi Q( i , i) yii1變力在 L 上所作的功的精確值nW lim P( i , i) xi Q( i, i) yi 0其中 是各小弧段長度的最大值提示用Si Xi yi表示從Li的起點到其終點的的向量用Si表示Si的模對坐標(biāo)的曲線積分的定義定義設(shè)函數(shù)f(x y)在有向光滑曲線 L上有界把L分成n個有向小弧段Li L2Ln小弧段 L i 的起點為(Xi1 yi 1) 終點為 (X

13、iyi)XiXiXi1 yiyiyi1 ( i)為Li上任意一點 為各小弧段長度的最大值n如果極限 lim f( i , i) xi 總存在 則稱此極限為函數(shù) 0 i1f(x y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分 記作Lf(x,y)dx 即nf(x,y)dx lim f( i, i) xiL0i 1n如果極限 lim f( i, i) yi 總存在 則稱此極限為函數(shù)0i 1f(x y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分 記作L f(x, y)dy 即nyif(x,y)dy lim f( i, i)L0i 1設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線cos sin 是與曲線方向一致的單位切向量函數(shù)P(x y

14、)、Q(x y)在L上有定義如果下列二式右端的積分存在我們就定義L P(x,y)dx LP(x,y) coS dSL Q(x,y)dy LQ(x,y)Sin dS前者稱為函數(shù) P(x y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分 后者稱為函數(shù) Q(x y)在有向曲線 L 上對坐標(biāo) y 的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分定義的推廣設(shè) 為空間內(nèi)一條光滑有向曲線 cos cos cos 是曲線在點(x y z)處的與曲線方向 一致的單位切向量 函數(shù)P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在 上有定義 我們定義(假如各式 右端的積分存在)P(x, y, z)dxP(x, y, z) co

15、s dsQ(x,y,z)dyQ(x,y,z)cos dsR(x, y, z)dz R(x, y, z) cos dsnL f (x, y,z)dx lim f ( i, i , i) xi 0i 1nf(x,y,z)dy lim f ( i, i, i) yiL0i1nf(x,y,z)dz lim f ( i, i , i) ziL0i1對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式LP(x,y)dx LQ(x,y)dy L P(x, y)dx Q(x, y)dyP(x, y, z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzP(x, y, z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz對坐標(biāo)的曲線積分

16、的性質(zhì)(1) 如果把 L 分成L1 和 L2 則Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx QdyLL1L2(2) 設(shè) L 是有向曲線弧L 是與 L 方向相反的有向曲線弧則LP(x,y)dx Q(x, y)dLP(x, y)dx Q(x,y)dy兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)cos i sin i為與si同向的單位向量我們注意到 Xi yi si所以xi cos i si yi sin i sinL f(x, y)dx lim0f ( i, i) xi0i 1lim f ( i, i )cos i sif(x, y)cos ds0Li1nf(x,y)dy lim f( i, i) yiL0i1nlim

17、f( i, i )sin i sif(x, y) sin ds0i 1L即 L Pdx Qdy LPcos Qsin ds或Adr AtdsLL其中A P Q t cos sin 為有向曲線弧 L上點(x y)處單位切向量 dr tds dx dy類似地有Pdx Qdy Rdz Pcos Qcos Rcos ds或 A dr A tdsAt ds其中A P Q R T cos cos cos 為有向曲線弧 上點(x y z)處單們切向量 dr Tds dx dy dz At為向量 A在向量t上的投影、對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理 設(shè)P(x y)、Q(x y)是定義在光滑有向曲線L x (t) y

18、 (t)上的連續(xù)函數(shù)當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由變到 時 點M(xy)從L的起點A沿L運動到終點B則L P(x, y)dxP (t), (t) (t)dtLQ(x,y)dyQ (t), (t)(t)dt討論 L P(x,y)dx Q(x,y)dy ？提示 L P(x, y)dx Q(x, y)dyP (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt定理 若P(x y)是定義在光滑有向曲線L x (t) y (t)( t )上的連續(xù)函數(shù) L的方向與t的增加方向一致則LP(x,y)dx P (t), (t) (t)dt簡要證明不妨設(shè) 對應(yīng)于t點與曲線L的方向一致的切向量為 (t)(t)所以cos ,

19、，1 2(t)2(t)從而 L P(x, y)dx L P(x, y) cos dsP (t), (t),(t) 2 v 2(t)2。)出J 2(t)2P (t), (t) (t)dt應(yīng)注意的問題下限a對應(yīng)于L的起點 上限對應(yīng)于L的終點 不一定小于討論若空間曲線由參數(shù)方程x t) y = (t) z (t)給出那么曲線積分P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz ?如何計算提示P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y, z)dzP (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t) (t) R (t), (t), (t) (t)dt其

20、中對應(yīng)于 的起點 對應(yīng)于 的終點 例題例1計算Lxydx其中L為拋物線y2 x上從點A(11)到點B(1 1)的一段弧解法一 以x為參數(shù)L分為AO和OB兩部分ao的方程為y JX x從1變到0 ob的方程為y JX x從0變到1因止匕 l xydxxydx xydxAOOB1 x( 、x)dxxxdx1 320x2dx第二種方法Lxydx以y為積分變量1 221y y(y )dyL的方程為2 : y4dyy2 y 從 1變到1因此例2計算L y2dx(1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2(2)從點A(a 0)沿x軸到點B( a 0)的直線段解(1)L的參數(shù)方程為x a cos y

21、 a sin從0變到因止匕 Ly2dx2 . 20 a sin ( asin )da30(1 cos2)d cos4 3a33(2)L的方程為y 0x從a變到a因止匕L y2dxa0dx 0a1)的一段弧(2)拋物線L2xydx x2dy(2x x2 x2 2x)dx4 x3dx 10例3 計算L2xydx x2dy (1)拋物線y x2上從O(0 0)到B(1x y2上從O(0 0)到B(1 1)的一段弧(3)從0(0 0)到A(1 0)再到R (1 1)的有向折線 OAB 解(1)L y x2 x從0變到1所以(2)L x y2 y從0變到1所以1 /50y4dy 1c1L2xydx x2

22、dy 0(2y2 y 2y y4)dy(3)OA y 0 x從0變到1 AB x 1 y從0變到222 .L2xydx x dy 0A2xydx x dy AB 2xydx x dy21(2x 0 x2 0)dx 0(2y 0 1)dy 0 1 1例4計算x3dx 3zy2dy x2ydz其中 是從點A(3 2 1)到點B(0 0 0)的直線段AB解直線AB的參數(shù)方程為x 3t y 2t x tt從1變到0所以一一 .00 o-7所以I 3 3 3t(2t)2 2 2 2tdt 87t3dt87例5設(shè)一個質(zhì)點在 M(x y)處受到力F的作用F的大小與M到原點O的距離成正比F的方向恒指向原點此質(zhì)

23、點由點A(a 0)沿橢圓x2 當(dāng) 1按逆時針方向移動到點B(0 b)a b求力F所作的功W例5 一個質(zhì)點在力F的作用下從點A(a 0)沿橢圓X2打1按逆時針方向移動到點 a2 b2B(0 b) F的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比方向恒指向原點求力F所作的功 W解 橢圓的參數(shù)方程為 x acost y bsint t從0變到 r OM xi yj F k|r|( 1) k(xi yj)其中k>0是比例常數(shù)十W kxdx kydy k xdx ydy ABaajb2sintcost)dt2k 2( a costsint0 'k(a2 b2) 02sintcostdt；(a2 b2)三、

24、兩類曲線積分之間的聯(lián)系由定義得l Pdx Qdy l (P cosQsin )dsJP,Qcos ,sin ds F dr其中F P Q T cos sin 為有向曲線弧 L上點(x y)處單位切向量 dr Tds dx dy類似地有Pdx Qdy Rdz (Pcos Qcos Rcos )dsP,Q,R cos ,cos ,cosds F dr其中F P Q R T cos cos cos 為有向曲線弧 上點(x y z)處單們切向量dr Tds dx dy dz§10 3格林公式及其應(yīng)用一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平

25、面單連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域D的邊界曲線L我們規(guī)定L的正向如下當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走 時D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊區(qū)域D的邊界曲線L的方向定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線 L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有Q P-(上)dxdy 二 Pdx Qdy d x yL其中L是D的取正向的邊界曲線簡要證明僅就D即是X 一型的又是Y型的區(qū)域情形進(jìn)行證明設(shè) D (x y)| 1(x)2(x) a x b因為一y連續(xù) 所以由二重積分的計算法有- dxdy d yba2(x)3dydx1(x) ybaPx, 2(x) Px, 1(x)dx a另一方面由

26、對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計算法有b口 LPdx LPdx LPdx aPx, 1(x)dxab Px, 2(x)dx因此baPx, l(x) aPx, 2(x)dxP .dxdy -Pdx d yL設(shè) D (x y)| i(y)x 2(y) c yd類似地可證Q .dxdyxiQdx由于D即是X型的又是Y型的所以以上兩式同時成立兩式合并即得-dxdyyL Pdx Qdy應(yīng)注意的問題對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L取Py Q x則由格林公式得2 dxdyDydxdxdyD2Lxdyydx例1橢圓x a cos y

27、b sin 所圍成圖形的面積AQ P .Q P分析只要 一 1就有(1)dxdydxdy Ax yd x yd解設(shè)D是由橢圓x=acosy=bsin所圍成的區(qū)域令P 2y Q 2x 則 S -y1 i1于是由格林公式y(tǒng)dx xdyA dxdyD(absin2abcos2 )d-abab例2設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線證明：L2xydx x2dy 0、人2Q p證令P2xyQx則三-2x 2x 0因此由格林公式有12xydx x2dy0dxdy 0 (為什么二重積分前有“D例3計算 e2y dxdy其中D是以0(0 0) A(11) B(0 1)為頂點的三角形閉區(qū)域/ Q分析要使x2y只需P

28、0 Qy 2xe y解令P 0 Qxe ye y2因此由格林公式有'dxdyOAxe yAB BO2dyy2 xe y dyOAxe x2dx "2(1 e 1)例4計算，辿L x2ydx2y其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線L的方向為逆時針方向解令P 2 y 2 x y_x x22則當(dāng)x2 y2 0時有yy2 x2p(x2 y2)2y記L所圍成的閉區(qū)域為當(dāng)(0 0)D時由格林公式得。xdyydx當(dāng)(0 0) D時格林公式得在D內(nèi)取一圓周l x2y2 r 2(r>0)由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D i應(yīng)用口 xdy ydxL x2 y2一 xdy yd

29、x 0i x2 y20其中l(wèi)的方向取逆時針方向于是xdyydxxdy ydx2222 r cosr2sin2 r2解記L所圍成的閉區(qū)域為 D 當(dāng)(0 0) D時由格林公式得,xdy ydxL x2 y2dCP)dxdy 0 y當(dāng)(0 0) D時 在D內(nèi)取一圓周l x2 y2 r2(r 0)由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域Di應(yīng)用格林公式得xdy ydxL l x2 y2()dxdy x y即，xdyL x2ydx y2:xdy ydx l x2 y2其中l(wèi)的方向取順時針方向于是xdy ydx . xdy ydx,122；22L x y l x yr2cos2r2sin2分析這里P當(dāng)x2 y2 0時

30、有22y x22T2(x y )二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)設(shè)G是一個開區(qū)域 P(x V)、Q(x y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點 A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L 1、L 2等式Pdx Qdy Pdx Qdy L1L2恒成立 就說曲線積分 Pdx Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān) 否則說與路徑有關(guān)Pdx Qdy設(shè)曲線積分 LPdx Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān) L 1和L2是G內(nèi)任意兩條從點 A到點B 的曲線則有I Pdx QdyL1因為Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0L1 L2' L' L2&

31、#39;Pdx Qdy Pdx Qdy 0Pdx Qdy 0Li' L2'Li 3 )'所以有以下結(jié)論曲線積分L Pdx Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿 G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分oLPdx Qdy等于零定理2設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù) 則曲線積分LPdx Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿 G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零) 的充分必要條件是等式P Qy x在G內(nèi)恒成立充分性易證若一P Q則1 -P 0由格林公式 對任意閉曲線L y x x y有 j Pdx Qdy-Q -P； dxdy 0必要性,.Q P -,、假設(shè)存在

32、一點 M0 G使 0不妨設(shè) >0 x y則由一 P的連續(xù)性 存在M。的一個鄰域U(M0,)x y使在此鄰域內(nèi)有 于是沿鄰域U(M0,)邊界l的閉曲線積分x y 2-QP2clPdx Qdy( -P)dxdy 22 0U(Mo, )y這與閉曲線積分為零相矛盾因此在G內(nèi)一Q P 0x y應(yīng)注意的問題定理要求 區(qū)域G是單連通區(qū)域且函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果這兩個條件之一不能滿足那么定理的結(jié)論不能保證成立破壞函數(shù)P、Q及一P、一Q連續(xù)性的點稱為奇點 yx例5計算L2xydx x2dy 其中L為拋物線y x2上從0(0 0)到B(1 1)的一段弧P Q解因為上一上2

33、x在整個xOy面內(nèi)都成立y x所以在整個xOy面內(nèi)積分2xydx x2dy與路徑無關(guān)L2xydx x2dy0A2xydx x2dy2xydxABx2dy1 212dy 10L的方向為逆時針方向討論 設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線問口 xdy ydx 0是否一定成立？L x2 y2提示這里p 2 y2和q 2x 2在點(0 0)不連續(xù)x2 y2x2 y2因為當(dāng)x2y20時一Q-yx至一P所以如果(00)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi)則結(jié)論x (x y ) y成立 而當(dāng)(0 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時結(jié)論未必成立三、二元函數(shù)的全微分求積曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)表明曲線積分的值只與起點從點(

34、x0 y0)與終點(x y)有關(guān)(x,y)如果, Pdx Qdy與路徑無關(guān)則把它記為Pdx QdyLd”)(x,y)即 Pdx Qdy Pdx QdyL(x0,y0)若起點(xo y0)為G內(nèi)的一定點 終點(x y)為G內(nèi)的動點 則 .、(x，y)u(x y) Pdx Qdy(xo，yo) 為G內(nèi)的的函數(shù)二元函數(shù) u(x y)的全微分為 du(x y) ux(x y)dx uy(x y)dy表達(dá)式P(x y)dx+Q(x y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)但它未必就是某個函數(shù)的全微分那么在什么條件下表達(dá)式P(x y)dx+Q(x y)dy是某個二元函數(shù)u(x y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存

35、在時怎樣求出這個二元函數(shù)呢？定理3設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則P(x y)dx Q(x y)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x y)的全微分的充分必要條件是等式P Q y x 在G內(nèi)恒成立簡要證明必要性假設(shè)存在某一函數(shù)u(x y)使得du P(x y)dx Q(x y)dy則有 上 一(") _2u_Q ()3y y x x y x x y y x因為u-u- -Q連續(xù) 所以x y y y x x2u2u P Q 即x y y x y x充分性因為在G內(nèi)所以積分 P(x,y)dx Q(x,y)dy y xL在G內(nèi)與路徑無關(guān)在G內(nèi)從點(xo

36、 yo)到點(x y)的曲線積分可表示為(x, y) 考慮函數(shù) u(x y) P(x, y)dx Q(x, y)dy (x0,yo)i(x，y)因為 u(x y) P(x, y)dx Q(x, y)dy (xo, yo) yxQ(xo, y)dyP(x,y)dxyoxoyx所以 一 一Q(xo,y)dy - P(x,y)dx P(x,y)x x yox xo類似地有Q(x, y)從而 du P(x y)dx Q(x y)dy 即 P(x y)dx Q(x y)dy 是某一函 y數(shù)的全微分求原函數(shù)的公式 (x,y) u(x, y) ,、P(x,y)dx Q(x,y)dy(xo,yo) xyu(x

37、,y)P(x,y0)dxQ(x, y)dyxoyoyxu(x,y)Q(xo，y)dyP(x, y)dxVoxo例6驗證xdy ydx在右半平面（x>o）內(nèi)是某個函數(shù)的全微分并求出一個這樣的函x2 y2解這里P 2 y2 Q 2x 2 x y x y因為P、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有Qy2 x2p222x (x y )y所以在右半平面內(nèi)xdy ydx是某個函數(shù)的全微分 x2 y2取積分路線為從 A（1。）到B（x。）再到C（x y）的折線 則所求函數(shù)為(x，y) xdy ydxu(x，y) (1,0)Vy xdy 工 yL arctan-0 x2 y2xxy2dx x2ydy是某

38、個函數(shù)的全微分并求出一個這樣的函問為什么(X0 y0)不取(0 0)?例6驗證 在整個xOy面內(nèi)解這里P xy2 Q x2y因為P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有所以在整個xOy面內(nèi)xy2dx x2ydy是某個函數(shù)的全微分則所求函數(shù)為2 2y x yydy -02y 220 x ydy x取積分路線為從 0(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折線(x,y)22u(x,y)(0,0)xy dx x ydy 0思考與練習(xí)Q P1在單連通區(qū)域G內(nèi) 如果P(x y)和Q(x y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且恒有一Q -P 那x y么在G內(nèi)的曲線積分LP(x,y)dx Q(x, y)dy是否與路

39、徑無關(guān)？(2)在G內(nèi)的閉曲線積分°LP(x,y)dx Q(x, y)dy是否為零？(3)在G內(nèi)P(x y)dx Q(x y)dy是否是某一函數(shù) u(x y)的全微分？Q P2在區(qū)域G內(nèi)除Mo點外 如果P(x y)和Q(x y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且恒有 x yGi是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域那么在G 1內(nèi)的曲線積分LP(x, y)dx Q(x, y)dy是否與路徑無關(guān)？(2)在Gi內(nèi)的閉曲線積分°LP(x,y)dx Q(x,y)dy是否為零？(3)在G 1內(nèi)P(x y)dx Q(x y)dy是否是某一函數(shù) u(x y)的全微分3在單連通區(qū)域 G內(nèi) 如果P(x y)和Q(x y)

40、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)_P _Q 但_Q _P非常簡單 那么y x x y(1)如何計算G內(nèi)的閉曲線積分？(2)如何計算G內(nèi)的非閉曲線積分？(3)計算L(exsiny 2y)dx (excosy 2)dy其中L為逆時針方向的上半圓周(x a)2 y2 a 2 y 0§10 4對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題設(shè)為面密度非均勻的物質(zhì)曲面其面密度為(x y z)求其質(zhì)量把曲面分成n個小塊Si S2Sn( Si也代表曲面的面積)n求質(zhì)量的近似值(i, i, i) Si ( i i i )是Si上任意一點)i 1n取極限求精確值M lim (i, i, i) Si

41、(為各小塊曲面直徑的最大值)0i i定義 設(shè)曲面是光滑的函數(shù)f(xyz)在 上有界 把 任意分成n小塊Si S2Sn( Si也代表曲面的面積)在Si上任取一點(i i i )如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最n大值 。時 極限lim f( i, i, i) Si總存在 則稱此極限為函數(shù)f(x y z)在曲面 上對 0i i面積的曲面積分或第一類曲面積分記作 f(x,y,z)dS 即nf(x,y,z)dS lim f( i, i, i) Si0i i其中f(x y z)叫做被積函數(shù)叫做積分曲面對面積的曲面積分的存在性我們指出當(dāng)f(x y z)在光滑曲面上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的今后總假定f(x y

42、 z)在上連續(xù)根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)(x y z)的光滑曲面 的質(zhì)量M可表示為(x y z)在上對面積的曲面積分M f(x,y,z)dS如果是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和例如設(shè)可分成兩片光滑曲面1及2(記作12)就規(guī)定f(x, y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS1212對面積的曲面積分的性質(zhì)設(shè)c 1、c 2為常數(shù)則c1f(x,y,z) c2g(x,y,z)dS(2)若曲面可分成兩片光滑曲面f(x,y,z)dS f (x,y,z)dS1(3)設(shè)在曲面上f(x y z) g(x y z)f(x,y,z)dS

43、g(x,y,z)dSq f(x,y,z)dS % g(x, y,z)dS1及2則f (x,y,z)dS2則(4) dS A其中A為曲面的面積二、對面積的曲面積分的計算面密度為f(x y z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為nM lim ”一，。§ f(x,y,z)dS0i 1另一方面 如果 由方程z z(x y)給出在xOy面上的投影區(qū)域為 D 那么曲面的面積元素為 dA . 1 z2(x, y) zy(x, y) dxdy質(zhì)量元素為 fx,y,z(x,y)dA fx,y,z(x,y)3 z2(x, y) zy(x,y)dxdy根據(jù)元素法曲面的質(zhì)量為M fx, y,z(x, y)中 zx(x, y

44、) zy(x,y)dxdy D因此 f(x, y,z)dS fx, y,z(x, y)J1 z2(x,y) zy(x, y)dxdyD化曲面積分為二重積分設(shè)曲面 由方程z z(x y)給出在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy函數(shù)z z(x y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)f(x y z)在 上連續(xù) 則f (x,y,z)dS f x, y,z(x, y),1 z2(x, y) zy(x,y)dxdyD xy如果積分曲面的方程為y y(z x) Dzx為 在zOx面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(x y z)在上對面積的曲面積分為f(x, y,z)dS fx,y(z,x), z,1 y2(z,x) y2(z,

45、x)dzdxDzx如果積分曲面的方程為x x(y z) Dyz為在yOz面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(x y z)在上對面積的曲面積分為f(x, y,z)dSfx(y,z),y,zJl xy(y,z) x2(y,z)dydzDyz例1計算曲面積分i-dS其中 z是球面x2 y2z2 a2被平面z h(0 ha)截出的頂部的方程為zx2y2Dxyx2 y2 a2h2因為xzx222i a x yzyy 、a2 x2dS ,1 z2 zydxdya_.a2 x2一dxdyy2所以dxdy-dS2222z d a x yxy2 h22 alna ha：d J"g 2a 1ln(a2 r2)0aa

46、,a2 x2 y200a2 r22提示Jiz2zy11a*xy2a2y2y2例2計算o xyzdS 其中是由平面xOyOzO及xyzl所圍成的四面體的整個 邊界曲面解整個邊界曲面在平面xO、yO、zO及xyzl上的部分依次記為1、2、3及4于是匚' xyzdS1xyzdSxyzdS2xyzdS3xyzdS4OO OxyzdS、3xy(1x y)dxdy4Dxy*311xdx OOxy(1 xy)dy 31 (1 x)3,.x A-dx06J312O提木 4 z 1 x ydS 1 zx2 zy2dxdy ,3dxdy§1O 5對坐標(biāo)的曲面積分一、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)有

47、向曲面 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的例如由方程z z(x y)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)設(shè)n (cos cos cos )為曲面上的法向量 在曲面白上側(cè)cos O在曲面的下側(cè) cos O閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分類似地如果曲面的方程為 y y(z x)則曲面分為左側(cè)與右側(cè)在曲面白右側(cè)cos O在曲面白左側(cè)cos O如果曲面的方程為x x(y z)則曲面分為前側(cè)與后側(cè)在曲面的前側(cè)cos O在曲面白后側(cè)cos O設(shè)是有向曲面在上取一小塊曲面 S把S投影到xOy面上得一投影區(qū)域 這投 影區(qū)域的面積記為()xy假定S上各點處的法向量與 z軸的夾角的余弦cos有相同的符 號(即cos都是正的或都是負(fù)的)我們規(guī)

48、定 S在xOy面上的投影(S)xy為()xy COS 0(S)xy()xy COS00 COS0其中cos 0也就是()xy 0的情形 類似地可以定義S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx流向曲面一側(cè)的流量設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由v(x y z) (P(x y z) Q(x y z) R(x y z) 給出 是速度場中的一片有向曲面 函數(shù)P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)都在 上連續(xù) 求 在單位時間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量即流量如果流體流過平面上面積為A的一個閉區(qū)域 且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速為(常向量)v又設(shè)n為該平面的單位法向量 那么在單位時

49、間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一 個底面積為A、斜高為|v|的斜柱體當(dāng)(v An) 時 這斜柱體的體積為2A|v|cos Avn當(dāng)(vAn) "2時 顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量為零 而Av n 0,故 Avn當(dāng)(vAn)5時Avn 0這時我們?nèi)园?Avn稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量 它表示流體通過閉區(qū)域A實際上流向 n所指一側(cè)且流向n所指一側(cè)的流量為Avn因此 不論(vAn)為何值 流體通過閉區(qū)域 A流向n所指一側(cè)的流量均為Avn把曲面 分成n小塊 S S2Sn( S同時也代表第i小塊曲面的面積)在 是光滑的和v是連續(xù)的前提下 只要Si的直徑很小 我們就可以用

50、 Si上任一點(i, i, i)處 的流速vi v( i, i, i) P( i, i, i)i Q( i, i, i)j R( i, i, i)k代替S上其它各點處的流速以該點(i, i, i)處曲面的單位法向量ni COS i i COS i j COS i k代替Si上其它各點處的單位法向量從而得到通過S流向指定側(cè)的流量的近似值為vi ni Si (i 1,2,n)于是通過流向指定側(cè)的流量vi ni Sii1nP( i, i, i)cos i Q( i, i, i)cos i R( i, i, i)cos i Si i1但 cos iSi(Si)yzcos iSi(Si)zxcos iS

51、i(Si)xy因此上式可以寫成nP( i, i, i)( Si)yz Q( i, i, i)( Si)zx R( i, i, i)( Si)xy i1令 0 取上述和的極限就得到流量 的精確值這樣的極限還會在其它問題中遇到抽去它們的具體意義就得出下列對坐標(biāo)的曲面積分的概念提示 把 Si 看成是一小塊平面其法線向量為 ni 則通過Si 流向指定側(cè)的流量近似地等于一個斜柱體的體積此斜柱體的斜高為|vi|高為|vi|cos(vi Ani) v ni體積為vi ni S因為nicosi i cosi jcos ikviv( i,i, i )P(i, i,i)iQ( i,i, i)jR(i,i,i)kvini SiP( i,i,i)cosi Q(i, i ,i)cosi R(i,i ,i)cos i Si而cos iSi ( Si)yzcos iSi(Si)zxcos iSi(Si)xy所以viniSiP( i, i, i)(Si)yzQ( i,i ,i)( Si)zxR( i ,i,i)(Si)xy對于 上的一個小塊 顯然在 t 時間內(nèi)流過 的是一個