[中考數(shù)學(xué)]聚焦平行四邊形的創(chuàng)新問題

1、 聚焦平行四邊形的創(chuàng)新問題一、折疊類問題AEDFCB例1（深圳）如圖所示，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在CD上的F處，若FDE的周長為8，F(xiàn)CB的周長為22，則FC的長為_解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ADBC，ABCD又因?yàn)橐訠E為折痕，將ABE向上翻折到FBE的位置，所以AEEF，ABBF已知DEDFEF8，即ADDF8，ADDCFC8所以BCABFC8又因?yàn)锽FBCFC22，即ABBCFC22，、兩式聯(lián)立可得FC7評(píng)析：在求解時(shí)，要注意整體思想的應(yīng)用，本題中就是把ABBC當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行求解，同時(shí)要注意折疊的特征二、開放類問

2、題例2（長沙中考題）如圖，四邊形ABCD中，ABCD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應(yīng)添加的條件是 （添加一個(gè)條件即可）ADCB解析：應(yīng)添加的條件不唯一，可以是：ABCD或BCAD或AC或BD評(píng)析：本題考查了學(xué)生的逆向思維，要使四邊形ABCD為平行四邊形，結(jié)合已知條件，則只要它的對(duì)角線互相平分，從而得到所要添加的條件三、探索類問題例3：（貴陽中考題）閱讀下面操作過程，回答后面問題：在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小強(qiáng)過A、C兩點(diǎn)畫直線AC把平行四邊形ABCD分割成兩個(gè)部分（如圖所示，），小剛過AB、DC的中點(diǎn)畫直線EF，把平行四邊形ABCD也分割成兩個(gè)部分（如圖）ADCB21ADCBADCBEF

3、34這兩種分割方法中面積之間的關(guān)系為，；根據(jù)這兩位同學(xué)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上面積關(guān)系的直線有_條，請(qǐng)?jiān)趫D的平行四邊形中畫出一種：由上述實(shí)驗(yàn)操作過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？解析：小強(qiáng)過A、C兩點(diǎn)畫直線AC把平行四邊形ABCD分割成兩個(gè)部分，正好有ABCCDA，所以；小剛過AB、AC的中點(diǎn)畫直線EF，把平行四邊形ABCD也分割成兩個(gè)部分，由于平行四邊形AEFD與平行四邊形EBCF大小相等，所以；可以畫無數(shù)條直線將此平行四邊形的面積一分為二，畫圖略；經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的任意直線，都可以把平行四邊形分成滿足條件的圖形評(píng)析：處理創(chuàng)新探索類問題除了要有一定的基礎(chǔ)知識(shí)外，還必須通過大

4、膽的猜想、歸納、驗(yàn)證，才能獲得正確的結(jié)果四、圖形分割類例4：在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個(gè)部分，且含有一組對(duì)頂角的兩個(gè)圖形全等根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有幾組；請(qǐng)?jiān)趫D中的三個(gè)圖形中畫出滿足小強(qiáng)分割法的直線；ADCBADCBADCB由上述實(shí)驗(yàn)操作過程，你能發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？解析：把平行四邊形分割成滿足題目條件的直線有無數(shù)組；比如連接AC、BD將平行四邊形分割成兩組全等三角形，連接AD、BC的中點(diǎn)，AB、CD的中點(diǎn)將平行四邊形分割成兩組全等的四邊形如圖所示；只要兩條直線同時(shí)經(jīng)過平行四邊形的中心都可以滿足要求AD

5、CBADCBADCB評(píng)析：本題是一道圖形分割類問題，利用平行四邊形的性質(zhì)可以解決問題五、實(shí)際應(yīng)用類問題例5：某村有一口四邊形的池塘，在它的四個(gè)角A、B、C、D各栽一棵大核桃樹，村里準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘的面積擴(kuò)大一倍，又想保持核桃樹不動(dòng)，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀，請(qǐng)問該村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)并畫出圖形，若不能，請(qǐng)說明理由HDGCABFEO解析：可以，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，分別過A、C作EHBD，F(xiàn)GBD，再過B、D分別作AC的平行線，幾條平行線分別相交于E、F、G、H四點(diǎn)，則四邊形EFGH即為所求理由如下：EFAC，GHAC，EFGH同理：EHFG，四邊形EF

6、GH是平行四邊形又四邊形OAHD與四邊形ODGC，OBFC，OAEB均為平行四邊形評(píng)析：利用平行四邊形的性質(zhì)和判定方法解決問題點(diǎn)擊平行四邊形中的新型問題近年來，中考數(shù)學(xué)試題在立意創(chuàng)新設(shè)計(jì)上思路更成熟、更開闊，正在從立意、情景、設(shè)問三方面努力，不僅使設(shè)計(jì)有了更多的創(chuàng)新，也通過試題更好地鼓勵(lì)學(xué)生探索與創(chuàng)新現(xiàn)以平行四邊形問題為例，來體會(huì)這類問題解題思路特點(diǎn)例1（大連）、如圖9，E、F分別是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD所在直線上兩點(diǎn)，DE = BF.請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)有字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只須研究一組線段相等即可).連結(jié)_；猜想：_；證明：

7、(說明：寫出證明過程中的重要依據(jù)) 【解】：(1)CF (2)CF=AE (3)證明：四邊形ABCD是平行四邊形 ADBC，AD=BC （平行四邊形對(duì)邊平行且相等） ADB=CBD（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）ADE=CBF(等角的補(bǔ)角相等) DE=BF ADECBF（SAS） CF =AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）【評(píng)注】（1）本例首先考查解決與平行四邊形有關(guān)題目的常用方法:利用三角形全等;充分利用平行四邊形的性質(zhì);（2）其次考察猜想、判斷、推理能力，熟練運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.（3）本題屬開放型題目，只要通過分析，得出相應(yīng)結(jié)論，進(jìn)一步驗(yàn)證或說明理由即可，答案往往.不惟一.例2（貴陽）如圖9，在平

8、行四邊形ABCD中，對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O，AFBD，CEBD，垂足分別為E、F；（1）連結(jié)AE、CF，得四邊形AFCE，試判斷四邊形AFCE是下列圖形中的哪一種？平行四邊形；菱形；矩形；（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論；【解】（1）畫圖連結(jié)AE、CF 四邊形AFCE為平行四邊形 （2）證明：AFBD，CEBD，AFO =CEO 又AOF =COE ， OA = OC AOFCOE， OF = OE 又OA = OC ， 四邊形AFCE是平行四邊形【評(píng)注】探索性的問題在近幾年中考中已越來越多受到命題者的青睞，要求答題者開動(dòng)腦筋，積極探索.解決此類問題的關(guān)鍵借助于圖形或是合理的分析、猜測先得出結(jié)論，再進(jìn)一

9、步依據(jù)已知推理，說明結(jié)論的正確性.例3（廣東）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，的延長線上，且，（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若去掉已知條件的“”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由AFCEBOD【解】（1）證明：四邊形是平行四邊形， ， 是等邊三角形 同理，是等邊三角形 又， ，即 四邊形是平行四邊形 （2）成立 證明： 四邊形是平行四邊形， ， ，即 ，四邊形是平行四邊形 【評(píng)注】證明一個(gè)四邊形是平行四邊形選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ㄊ顷P(guān)鍵，本題利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定進(jìn)行證明（第3題）例4（宿遷） 如圖，在ABCD中，AE、BF分別平分DAB和AB

10、C，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M（1）試說明：AEBF；（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說明【解】：（1）方法一：如圖在 ABCD中，ADBC，DABABC180°AE、BF分別平分DAB和ABC，DAB2BAE，ABC2ABF2BAE2ABF180°，即BAEABF90°圖AMB90°，AEBF (2)：線段DF與CE是相等關(guān)系，即DFCE 在ABCD中，CDAB，DEAEAB又AE平分DAB，DAEEABDEADAE，DEAD 同理可得，CFBC 又在ABCD中，ADBC，DECFDEEFCFEF，即DFCE 【評(píng)注】由平行四邊形

11、可得出許多線段相等和平行，角相等，這些都可作為已知條件.作為探索結(jié)論依據(jù).解決此類問題，一般先通過關(guān)系，加以猜想，然后給與驗(yàn)證，要注意對(duì)平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用.例5(廣州)圖8是某區(qū)部分街道示意圖，其中CE垂直平分AF，ABDC，BCDF從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是B-D-A-E，路線2是B-C-F-E，請(qǐng)比較兩條路線路程的長短，并給出證明【解析】（方法不止一種?。┻@里提供一種：這兩條路線路程的長度一樣證明：延長交于點(diǎn)，是公共邊，四邊形是平行四邊形垂直平分，路線的長度為：，路線的長度為：綜合，可知路線路程長度與路線路程長度相等【評(píng)注】將現(xiàn)實(shí)生活中的平行四邊形問題轉(zhuǎn)化數(shù)

12、學(xué)問題中，借助于平行四邊形的判定來解決是解此題的關(guān)鍵.例6（茂名）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”，如圖是一副七巧板，若已知，請(qǐng)你根據(jù)對(duì)七巧板制作過程的認(rèn)識(shí)，解決下列問題：（1）求一只螞蟻從點(diǎn)沿所走的路線的總長（結(jié)果精確到）； AFHDCNBEGI（2）求平行四邊形的面積 解：（1）由七巧板性質(zhì)可知又， ， ，即螞蟻沿所走的路線的總長為8.83 （2）連接，則可知平行四邊形的面積為：【評(píng)注】抓住七巧板的結(jié)構(gòu)特性是本題的解題關(guān)鍵透視平行四邊形新題型隨著新課程的不斷深入，中考試題在形式上發(fā)生了較大變化，各式各樣的新題型閃亮登場，有關(guān)平行四邊形的新題型更是令人耳目一新，現(xiàn)選取數(shù)例進(jìn)行分

13、析，供同學(xué)們參考一、條件開放型例1、如圖1，E、F分別是ABCD的AD、BC邊上的點(diǎn)，若再增加一個(gè)條件 ，就可推得BE=DF評(píng)析：本題將傳統(tǒng)的封閉問題進(jìn)行改造，從一個(gè)簡單的圖形中提出問題，讓學(xué)生探索結(jié)論成立的條件，適當(dāng)開放問題的條件，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的考查極有好處答案可以從AE=CF，AEB=CFD，ABE=CDF等中任選一個(gè)二、猜想證明型例2、（大連市）如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD所在直線上的兩點(diǎn)，DE=BF，請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需研究一組線段相等即可）（1）連結(jié) ；（2）猜想： ；（3）證

14、明：（說明：寫出證明過程的重要依據(jù)）評(píng)析：此題為猜想并證明的試題，雖難度不大，但結(jié)構(gòu)較新，改變了傳統(tǒng)的固有模式解答時(shí)應(yīng)先仔細(xì)觀察圖形，然后提出一種可能性的猜想，再嘗試去證明它連結(jié)FC，猜想：AE=CF證明過程的重要依據(jù)是：連結(jié)AE、CF，由平行四邊形對(duì)邊平行且相等得ABCD，ADBC，AB=DC ，AD=BC，由此可推出ABE=CDF，ADE=CBF，再加上DE=BF，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS，容易證得ABECDF或ADECBF，從而可以 得到AE=CF三、拼圖操作型例3（天津市）如圖3，已知四邊形紙片ABCD，現(xiàn)需將該紙片剪拼成一個(gè)與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條

15、，能否做到？ （用“能”或“不能”填空）若填“能”請(qǐng)確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若填“不能”，請(qǐng)簡要說明理由評(píng)析：此題以學(xué)生喜愛的剪紙活動(dòng)為背景，讓學(xué)生在剪與拼的操作過程中去發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，較好地體現(xiàn)了新課標(biāo)下“做數(shù)學(xué)”的理念根據(jù)此題限制只能有兩條輔助線，所以我們?cè)趯ふ壹舨镁€的過程中要注意兩個(gè)原則：一是要利用題中給定的四邊形的特殊點(diǎn)，二是要注意到平行四邊形的特征，因此我們可以考慮取四邊形各邊的中點(diǎn)，利用相等線段使兩個(gè)不同圖形的邊重合在一起，再利用四邊形內(nèi)部兩對(duì)相等的對(duì)頂角構(gòu)成平行四邊形的兩組對(duì)角具體操作是：如圖4，取四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、GH，以EF、GH為裁剪線，將四邊形ABCD分成四部分，拼接時(shí)，圖中的1不動(dòng)，將2、4分別繞點(diǎn)H、F各旋轉(zhuǎn)180°，將3進(jìn)行平移，就拼成滿足條件的平行四邊形0MNP四、判斷說理型例4、（廣東?。┤鐖D5，在ABCD中，DAB=60°，點(diǎn)E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB（1） 求證：四邊形AFCE是平行四邊形（2） 若去掉已知條件中的DAB=60°，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由評(píng)析：本題（2）把以往的幾何論證轉(zhuǎn)為自主探究，把已知條件中的部分條件去掉，讓學(xué)生通過自主探索探究原有結(jié)論