高中數(shù)學(xué)新人教A版必修5學(xué)案 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(第1課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,并能運(yùn)用公式解決簡單的問題.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義,了解倒序相加的原理,理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的過程,記憶公式的兩種形式;用方程思想認(rèn)識(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,利用公式求sn,a1,d,n;等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式共涉及五個(gè)量,已知其中三個(gè)量可求另兩個(gè)量;會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式研究sn的最值.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境1.一個(gè)堆放鉛筆的v形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放100支.這個(gè)v形架上共放著多少支鉛筆?問題就

2、是 這是小學(xué)時(shí)就知道的一個(gè)故事,高斯的算法非常高明,回憶他是怎樣算的.這實(shí)際上是一個(gè)求等差數(shù)列前100項(xiàng)和的問題,高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組,第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組,第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組,第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組,每組數(shù)的和均相等,都等于101,50個(gè)101就等于5050.高斯算法將加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,迅速準(zhǔn)確的得到了結(jié)果.我們要求一般的等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和,高斯算法對(duì)我們有何啟發(fā)?二、信息交流,揭示規(guī)律2.公式推導(dǎo)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,sn=a1+a2+a3+an=?,由學(xué)生討論,研究高斯算法對(duì)一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義.思路

3、一:運(yùn)用基本量思想,將各項(xiàng)用a1和d表示,得sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+,有以下等式a1+=(a1+d)+=(a1+2d)+=,問題是一共有多少個(gè),似乎與n的奇偶有關(guān).這個(gè)思路似乎進(jìn)行不下去了. 思路二:上面的等式其實(shí)就是a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,為回避個(gè)數(shù)問題,做一個(gè)改寫sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1,兩式左右分別相加,得2sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),2sn=n(a1+an)于

4、是有.這就是倒序相加法. 思路三:受思路二的啟發(fā),重新調(diào)整思路一,可得2sn=n,于是sn=na1+d.綜合思路二和思路三得到了兩個(gè)公式:和. 三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題3.求和:(1)101+100+99+98+97+64;(2)2+4+6+8+2n(結(jié)果用n表示).4.等差數(shù)列2,4,6,中前多少項(xiàng)的和是9900?5.2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從2001年起用10年時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,

5、計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?四、變式訓(xùn)練,深化提高6.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,已知s3=6,a4=8,求公差d.7.設(shè)sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若滿足an=an-1+2(n2),且s3=9,求首項(xiàng)a1.五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉參考答案一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境1.“1+2+3+4+100=?”二、信息交流,揭示規(guī)律2.a1+sn=sn=sn=na1+d三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題3.解:(1)101,100,99,98,97,64可以看做是一個(gè)首項(xiàng)為101,公差為-1的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得64=

6、101+(n-1)(-1),解得n=38,于是sn=3135.另外也可用公式sn=na1+d來求解,sn=38×101+×(-1)=3135.(2)2+4+6+8+2n可以看做是等差數(shù)列2n的前n項(xiàng)和,則sn=n2+n,另外可運(yùn)用公式sn=na1+d來求解.4.解:由題知,等差數(shù)列首項(xiàng)a1=2,公差d=2,由sn=na1+d,得2n+×2=9900,即n2+n-9900=0,解得n=-100(舍去),或n=99,所以等差數(shù)列2,4,6,中的前99項(xiàng)的和是9900.5.解:根據(jù)題意,從20012010年,該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以,可以建立一個(gè)等差數(shù)列an,表示從2001年起各年投入的資金,其中a1=500,d=50.那么,到2010年(n=10),投入的資金總額為s10=10×500+×50=7250(萬元)答:從20012010年,該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.四、變式訓(xùn)練,深化提高6.解:等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,s3=6,即a1+a2+a3=6a2=2.