考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)3=多元函數(shù)微分學(xué)(下)

1、 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 20122012考研數(shù)學(xué)培訓(xùn)考研數(shù)學(xué)培訓(xùn)一、多元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系一、多元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 基基本本題題型型二、求二元、三元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分二、求二元、三元初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與微分三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號的復(fù)求帶抽象函數(shù)記號的復(fù) 合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)與 全微分全微分五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法變量替換下方程的變形變量替換

2、下方程的變形六、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用六、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用七、方向?qū)?shù)與梯度七、方向?qū)?shù)與梯度八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題重重難難點點鏈?zhǔn)綀D法的解題步驟：鏈?zhǔn)綀D法的解題步驟：(1)依據(jù)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，畫出鏈?zhǔn)綀D；依據(jù)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，畫出鏈?zhǔn)綀D；(2)依據(jù)鏈?zhǔn)皆恚阂罁?jù)鏈?zhǔn)皆恚骸奥?lián)線相乘，分線相加聯(lián)線相乘，分線相加”，寫出，寫出 計算復(fù)合函數(shù)的計算復(fù)合函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)焦?；?dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)焦剑?3)計算結(jié)果。計算結(jié)果。.zzuyyyzvuv ,zzuxxxzvuv ( , ),( , ),( , )zf u v ux y vx y 由由 ( ,

3、 ), ( , )zfx yx y 而成的二元復(fù)合而成的二元復(fù)合函數(shù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為：的偏導(dǎo)數(shù)為：復(fù)合復(fù)合鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分zuvxyxy聯(lián)線上聯(lián)線上，依次從左到右依次從左到右, ,左變量對右變量求導(dǎo)或偏導(dǎo)左變量對右變量求導(dǎo)或偏導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)還是偏導(dǎo)取決于右側(cè)變量的個數(shù)，個數(shù)超過還是偏導(dǎo)取決于右側(cè)變量的個數(shù)，個數(shù)超過1個就是求偏導(dǎo)。個就是求偏導(dǎo)。zuzvxuxv xz 分線相加分線相加畫畫鏈鏈?zhǔn)绞綀D圖聯(lián)線相乘聯(lián)線

4、相乘zu zv ux vx 寫出寫出( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)公式并計算公式并計算“聯(lián)線相乘，分線相加聯(lián)線相乘，分線相加”畫鏈?zhǔn)綀D畫鏈?zhǔn)綀D( , ),( , ),( , )zf u vux yvx y 考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分1( , )uwfwf u vffuuu

5、記記為為對對的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)間間變變中中或或量量或或?qū)τ诔橄蠛瘮?shù)：對于抽象函數(shù)：要注意函數(shù)到底是在對誰求要注意函數(shù)到底是在對誰求(偏偏)導(dǎo)，正導(dǎo)，正確使用確使用( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)符號。導(dǎo)數(shù)符號。 ( , ),( , )wf u x yv x y 例如：復(fù)合函數(shù)例如：復(fù)合函數(shù) ( , ),( , ),wwwf u x yv x yxxyy 對對的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)變變自自量量另外，另外，在求二階偏導(dǎo)時，在求二階偏導(dǎo)時， 仍然是中間變量仍然是中間變量u，v的函數(shù)，從而仍為自變量的函數(shù)，從而仍為自變量x，y的復(fù)合函數(shù)。的復(fù)合函數(shù)。uffu 或或考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選

6、講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20072007、二、二(13)(13)例例1 1三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20092009、三、三(17)(17)例例2 2三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20032003、四題、四題例例3 3三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)

7、求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)一：數(shù)一：20012001、四題、四題例例4 4三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20052005、二、二(11)(11)例例5 5三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求帶抽象函數(shù)記號求帶抽象函數(shù)記號 的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分考研數(shù)學(xué)考研

8、數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 與全微分與全微分對于一個方程的隱函數(shù)求導(dǎo)，解題方法有如下三種：對于一個方程的隱函數(shù)求導(dǎo)，解題方法有如下三種：（1）、直接法；）、直接法；（2）、公式法；）、公式法；（3）、利用一階全微分形式的不變性。）、利用一階全微分形式的不變性。一元函數(shù)一元函數(shù)二元函數(shù)二元函數(shù)確定函數(shù)確定函數(shù)( , , )0f x y z ( , ) ,zzzf x yxy 與與求求從求導(dǎo)后的方程中解出從求導(dǎo)后的方程中解出zzxy 或或方程方程( (等式等式) )兩邊逐項對兩邊逐項對自

9、變量自變量x，y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)確定函數(shù)( ,)0f x y ( ) ,yyf xyx dd求求從求導(dǎo)后的方程中解出從求導(dǎo)后的方程中解出yyx dd方程方程( (等式等式) )兩邊逐項對兩邊逐項對自變量自變量x求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 與全微分與全微分直接法直接法確定函數(shù)確定函數(shù)( ,)0f x y ( ) ,yyf xyx dd求求確定函數(shù)確定函數(shù)( , )0f x y z ( , ) ,zzzf x yxy 與與求求fyxyfxy dd= -=

10、-fzxfxz - -fzyfyz - -公式法公式法考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20102010、一、一(5)(5)例例1 1四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)一：數(shù)一：19991999、三題、三題例例2 2四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求

11、導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20082008、三、三(16)(16)例例3 3四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)一：數(shù)一：20052005、二、二(10)(10)例例4 4四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)的求隱函數(shù)的( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 與全微分與全微分考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 內(nèi)容提要內(nèi)容提要六、多元函數(shù)

12、微分學(xué)的幾何應(yīng)用六、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 內(nèi)容提要內(nèi)容提要六、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用六、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 內(nèi)容提要內(nèi)容提要七、方向?qū)?shù)與梯度七、方向?qū)?shù)與梯度1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)沿方向沿方向 l (方向角方向角 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxp),為的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxp),的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向沿方向 l (方向角為方向角為yfxfcossin 考研

13、數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 內(nèi)容提要內(nèi)容提要七、方向?qū)?shù)與梯度七、方向?qū)?shù)與梯度2. 梯度梯度 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxp處的梯度為處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxp處的梯度為處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)考題選講考題選講數(shù)二：數(shù)二：20102010、三、三(19)(19)例例五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法五、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法變量替換下方程的變形變量替換下方程的變形考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極

14、值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、無條件極值）、無條件極值( )yf x 的極值存在的必要條件：的極值存在的必要條件：一元函數(shù)：一元函數(shù)：二元函數(shù)：二元函數(shù)：( (可導(dǎo)可導(dǎo)) )極值點必為駐點極值點必為駐點( )yf x 的極值存在的充分條件：的極值存在的充分條件： 二階導(dǎo)數(shù)小于零時極大二階導(dǎo)數(shù)小于零時極大二階導(dǎo)數(shù)大于零時極小二階導(dǎo)數(shù)大于零時極小( (必要條件必要條件) )如果如果z f(x,y)在點在點( (x0, y0) )處有處有極值極值，且兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在且兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必為零則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必為零，0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy

15、即即駐點可能是極值點，駐點可能是極值點，可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點。可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點。使一階偏導(dǎo)數(shù)為零使一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點稱為駐點的點稱為駐點極值點未必是駐點，極值點未必是駐點，考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、無條件極值）、無條件極值( (充分條件充分條件) )時時, 具有極值具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 令令則則: 1) 當(dāng)當(dāng)a0 時取極小值時取極小值.2) 當(dāng)當(dāng)3) 當(dāng)當(dāng)時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另

16、行討論.若函數(shù)若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0000(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyafxybfxycfxy02 bac02 bac02 bac且且計算二元函數(shù)極值的步驟：計算二元函數(shù)極值的步驟：得到判別函數(shù)得到判別函數(shù)2acb 。第二步：計算二階偏導(dǎo)數(shù)第二步：計算二階偏導(dǎo)數(shù)( , ),( , ),( , );x xx yy yfx yfx yfx y第三步：對每個駐點第三步：對每個駐點 (x0, y0) ，考查，考查 ac-b2 的符號，判定的符號，判定f(x0, y0)是否為極值；再根據(jù)是否為極值；再根據(jù) 的符號判別是極大的符

17、號判別是極大值還是極小值。值還是極小值。00(,)x xfxy 第一步：解第一步：解方程組方程組( , )0,( , )0 xyfx yfx y 求得一切實數(shù)解，即求得一切實數(shù)解，即 可得一切駐點?？傻靡磺旭v點。 考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、無條件極值）、無條件極值考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、條件極值）、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法設(shè)設(shè)解方程組解方程組可得到條件極值的可疑點可得到條

18、件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxff021xxxxff021yyyyff021zzzzff01f01f考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)1 1、內(nèi)容提要、內(nèi)容提要八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題（）、最值）、最值二元函數(shù)最值實際應(yīng)用問題的解題步驟：二元函數(shù)最值實際應(yīng)用問題的解題步驟：（1 1）根據(jù)題意，列出目標(biāo)函數(shù)的解析式；）根據(jù)題意，列出目標(biāo)函數(shù)的解析式；（3 3）判斷該駐點即為所求的最值點）判斷該駐點即為所求的最值點( (因為由

19、問題的實際因為由問題的實際 意義可知，最值點必然存在，同時駐點是唯一的，意義可知，最值點必然存在，同時駐點是唯一的， 故該駐點即為最值點）；故該駐點即為最值點）；（4 4）算出目標(biāo)函數(shù)的最值。算出目標(biāo)函數(shù)的最值。（2 2）令目標(biāo)函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)為零得方程組，從而解得）令目標(biāo)函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)為零得方程組，從而解得 目標(biāo)函數(shù)的駐點目標(biāo)函數(shù)的駐點( (通常為唯一駐點）通常為唯一駐點）；注：注：如果所求的目標(biāo)函數(shù)的變量范圍包含區(qū)域如果所求的目標(biāo)函數(shù)的變量范圍包含區(qū)域邊界邊界，則，則需要分區(qū)域內(nèi)部和邊界兩方面來討論。內(nèi)部就是通常的需要分區(qū)域內(nèi)部和邊界兩方面來討論。內(nèi)部就是通常的極值，而極值，而邊界邊界則

20、通常需要用則通常需要用條件極值條件極值來處理。來處理。考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)三：數(shù)三：20032003、一、一(2)(2)例例1 1八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題基本題目基本題目數(shù)三：數(shù)三：20092009、三、三(15)(15)極值：極值：數(shù)三：數(shù)三：20102010、三、三(17)(17)條件極值：條件極值：考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20092009、一、一(3)(3)例例2 2八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極值與最值問題考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)2 2、考題選講、考題選講數(shù)二：數(shù)二：20112011、一、一(5)(5)例例3 3八、多元函數(shù)的極值與最值問題八、多元函數(shù)的極