二重積分的概念與性質

1、第九章 二重積分 定積分所研究的對象是定積分所研究的對象是一元函數一元函數，并且積分并且積分圖形的面積；圖形的面積；是在一個是在一個閉區(qū)間閉區(qū)間上進行的。利用定積分可求出平面上進行的。利用定積分可求出平面求幾何體的體積求幾何體的體積s.)()(dxxgxfba xy)(xgy )(xfy abos（旋轉體的體積、（旋轉體的體積、oxyv)(xfy .d)(2xxfba 已知已知平行截面面積的幾何體的體積）平行截面面積的幾何體的體積）ab第九章 二重積分 為了解決這樣一些實際問題，有必要把定為了解決這樣一些實際問題，有必要把定積分的基本思想加以推廣，從而建立積分的基本思想加以推廣，從而建立二重積

2、分二重積分的概念的概念. 已知已知平行截面面積的幾何體的體積平行截面面積的幾何體的體積axxx+dxa(x)bv.d )(xxaba 在實際工作中，我們還會碰到以下的問題：在實際工作中，我們還會碰到以下的問題：由一般曲面所由一般曲面所圍成的圍成的立體的體積立體的體積、以及非均勻、以及非均勻平面的平面的質量、重心質量、重心等等。等等。而這類問題在物理學而這類問題在物理學與與工程技術以及經濟學工程技術以及經濟學中是經常遇到的中是經常遇到的.4第九章 二重積分第一節(jié) 二重積分的概念與性質第二節(jié) 二重積分的計算 本節(jié)我們將一元函數定積分的概念本節(jié)我們將一元函數定積分的概念和思想擴展到二元函數的二重積分

3、上，由于二和思想擴展到二元函數的二重積分上，由于二重積分是一元函數定積分在二元函數中的進一重積分是一元函數定積分在二元函數中的進一者之間的者之間的共性共性與與區(qū)別區(qū)別. . 因此，二重積分概念、性質與定積分因此，二重積分概念、性質與定積分類似類似，二重積分的計算方法也是將其轉化為定，二重積分的計算方法也是將其轉化為定積分積分. .步推廣步推廣. .導言：導言：學習中要注意與定積分的學習中要注意與定積分的對比對比，把握兩，把握兩第九章 二重積分（曲頂）柱體體積（曲頂）柱體體積=？特點特點：曲頂曲頂),(yxfz d曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積(volume)（一）問題的提出（一）問題的提出 以曲

4、面以曲面 為為頂頂，以，以xy平面上區(qū)域平面上區(qū)域d為為),(yxfz 曲頂柱體曲頂柱體以通過以通過d的邊界且與的邊界且與z軸平行的柱面為軸平行的柱面為側面?zhèn)让娴牧Ⅲw。的立體。 底底，第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質（平頂）柱體體積（平頂）柱體體積高高特點特點：平頂平頂=底面積底面積 第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 求由直線求由直線 x=a, , x=b, , y=0 與曲線與曲線 y=f (x) 0 所圍所圍成的曲邊梯形的面積成的曲邊梯形的面積. .方法方法： 整體分割整體分割局部近似局部近似求和積累求和積累無限逼近無限逼近回顧：回顧：xyo(1

5、) 分割分割 化整為零化整為零;1 niiss(2) 近似近似 以常代變以常代變;)( iiixfs (3) 求和求和 積零為整積零為整(4) 極限極限 無限累加無限累加.)(11 niiiniixfss.d)()(lim 10 bainiixxfxfs曲邊梯形面積的求解過程及思想方法曲邊梯形面積的求解過程及思想方法)(xfy ab第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 而母線平行于而母線平行于z軸的柱面軸的柱面，1. 1. 求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積以以xoy平面上的平面上的dyxyxfz ),( , 0),(下面討論如何計算曲頂柱體的體積下面討論如何計算曲頂柱體的體積

6、v . .所圍成的幾何體所圍成的幾何體.其其頂頂是連續(xù)曲面是連續(xù)曲面d的邊界線為準線的邊界線為準線,其其側面?zhèn)让鏋橐詾橐杂薪玳]區(qū)域有界閉區(qū)域d為為底底,曲頂柱體曲頂柱體: :xzyod),(yxfz 在每個小區(qū)域在每個小區(qū)域 上任取一點上任取一點 i 用用任意任意一組一組曲線網曲線網把把區(qū)域區(qū)域 d分割成分割成 n 個小個小閉區(qū)域閉區(qū)域xzyod),(yxfz i 整體分割整體分割局部近似局部近似求和積累求和積累無限逼近無限逼近方法：方法：,21n(1)(1)分割分割其中其中 既表示第既表示第i個小區(qū)域個小區(qū)域i也表示其對應的面積也表示其對應的面積.分別以這些小閉區(qū)域分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲

7、線為準線，的邊界曲線為準線， 作母線平行于作母線平行于z軸的柱面，軸的柱面， 這些柱面把曲頂柱體這些柱面把曲頂柱體,個小曲頂柱體個小曲頂柱體分成分成n其體積為其體積為,iv(2) (2) 近似代替近似代替),(ii為為 的直徑的直徑 的最大值的最大值 idixzyod),(yxfz i ),(ii 以以 為高，為高，),(iif則小曲頂柱體的體積則小曲頂柱體的體積 近似地等于近似地等于iv 小平頂柱體的體積小平頂柱體的體積，為底的為底的以以i.),(iiiifv 即有即有 將所有小平頂柱將所有小平頂柱體的體積求和，體的體積求和， 可得曲頂可得曲頂柱體體積的近似值為柱體體積的近似值為(3)(3)

8、求和求和.),( niiiiniifvv1 11 1 (4)(4)取極限取極限)max(id 記記的體積為的體積為( 表示表示 中任意兩點間距離的最大值），中任意兩點間距離的最大值），iid.),(lim niiiifv1 10 0則曲頂柱體則曲頂柱體),(iif (2) (2) 近似代替近似代替 由于這種特殊和式的極限應用極廣，由于這種特殊和式的極限應用極廣，實際工作實際工作 中各個領域中的不少問題，通常都要化為這種和式中各個領域中的不少問題，通常都要化為這種和式的極限。因此，有必要對這種和的極限進行一般性的極限。因此，有必要對這種和的極限進行一般性的研究。的研究。 為了研究問題方便起見，數

9、學上人們就把這種為了研究問題方便起見，數學上人們就把這種特殊結構的和的極限特殊結構的和的極限稱為稱為二重積分二重積分。第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質1. 1. 求曲頂柱體的體積求曲頂柱體的體積 設函數設函數 f (x, y) 是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 d上的有界函數，上的有界函數， 則稱函數則稱函數f (x,y)在區(qū)域在區(qū)域d上上可積可積，xyd2.2.二重積分的概念二重積分的概念在在 上上ii，n,21,),(iii .),(1 niiiif niiiif10),(lim記記 ),max(id ,d),( dyxfi ),(ii記為記為若極限若極限作和式作和式任取一點

10、任取一點既表示第既表示第i小塊小塊, 也表示第也表示第i 小區(qū)域的面積小區(qū)域的面積.用任意一組曲線網分割用任意一組曲線網分割d成成 n 個小區(qū)域個小區(qū)域定義定義存在，存在，.的的直直徑徑表表示示區(qū)區(qū)域域iid dyxfd),(即即.),(lim10iniiif 并稱此極限值為并稱此極限值為f (x,y)在在d上的上的二重積分二重積分. （1 1）二重積分的積分值與二重積分的積分值與區(qū)域區(qū)域d的分割方式的分割方式與與點點 d),(yxf0lim niiiif1),(d積分和積分和積分區(qū)域積分區(qū)域面積微元面積微元被積函數被積函數積分號積分號（3）若被積函數在）若被積函數在有界閉區(qū)域上連續(xù)有界閉區(qū)域

11、上連續(xù)，與與積分變量無關積分變量無關；該值與該值與區(qū)域區(qū)域d及及（2）二重積分的積分值是一數值，）二重積分的積分值是一數值，即分割與取點具有即分割與取點具有任意性任意性；對二重積分作幾點說明：對二重積分作幾點說明：被積被積表達式表達式積分變量積分變量則一定可積則一定可積.),(ii 被積函數被積函數f (x,y)有關有關，的取法無關的取法無關；2.2.二重積分的概念二重積分的概念3.3.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義 (1) 若在若在d上上f (x,y)0, 則則 表示以區(qū)域表示以區(qū)域d為為 dyxfd),(3)若若f (x,y)在在d的某些子區(qū)域上為正的的某些子區(qū)域上為正的, 則則 表

12、示在這些子區(qū)域上表示在這些子區(qū)域上 dyxfd),(2) 若在若在d上上f (x,y)0, 則則 表示以區(qū)域表示以區(qū)域d為為 dyxfd),( （4 4）當當 時時, ,1),( yxf d d則則以以f (x,y)為曲頂的曲頂柱體的體積為曲頂的曲頂柱體的體積.為底，為底，以以f (x,y)為曲頂的曲頂柱體體積的相反數為曲頂的曲頂柱體體積的相反數.為底，為底，曲頂柱體體積的代數和曲頂柱體體積的代數和.子區(qū)域上為負的，子區(qū)域上為負的，在在d的另一些的另一些=區(qū)域區(qū)域d的面積的面積. 假設函數假設函數 f (x,y)， g(x,y)在區(qū)域在區(qū)域 d上都是可積的上都是可積的. dyxgyxfd),(

13、),( dyxkfd),(1) (2) 21d),(ddyxf(3) (4) 若在若在d上處處有上處處有f (x,y)g(x,y)，.d),(d),( ddyxgyxf4.4.二重積分的性質二重積分的性質則有下述性質：則有下述性質：二重積分有與定積分類似的性質二重積分有與定積分類似的性質.則有則有( (可加性可加性) ).d),(d),( ddyxgyxf( (數乘性數乘性) ).( d),(為為常常數數kyxfkd ( (區(qū)域可加性區(qū)域可加性) ).d),(d),(21 ddyxfyxf( (單調性單調性) )對有界閉區(qū)域對有界閉區(qū)域 d 上連續(xù)函數上連續(xù)函數 f (x,y), 設設f (x

14、,y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 d上連續(xù)，上連續(xù)，.d),(myxfmd 若在若在d上處處有上處處有mf (x,y)m， （6）定理定理 ( (中值定理中值定理) ),( dyxfd),(使使 為為f (x,y),(f（5）定理定理 ( (估值定理估值定理) )則則為區(qū)域為區(qū)域d的面積，的面積，且且使使則在則在d上存在一點上存在一點在在d上的上的),(必在必在d上存在一個點上存在一個點積分中值定理說明：積分中值定理說明：平均值平均值.),(f 4.4.二重積分的性質二重積分的性質在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質質 6 知知222()d,xyadee 解解22()

15、dxyde ab2.aab e4.4.二重積分的性質二重積分的性質,ab 故故,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值4 41 1 m),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解4.4.二重積分的性質二重積分的性質, 2 2 ),(0 00 0 yxmethod1. dddyxdyx,)()(32的大小的大小與與比較比較 處的切線方程為處的切線方程為在在容易求得容易求得)0 , 1(2)1()2(22 yx. 1 yx1 yxoxy13如圖所示如圖所示, 1 yxd上上在在3 32 2)()(y

16、xyxd 上上有有在在.)()(32 dddyxdyx .2)1()2(22所所圍圍成成是是由由圓圓周周其其中中 yxd例例3 3 4.4.二重積分的性質二重積分的性質解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在d內內有有 eyx 21,oxy121d4.4.二重積分的性質二重積分的性質1)ln(0 yx故故當當1 yxr時時, , 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.solution.例例5 5 4.4.二重積分的性質二重積分的性質,),(1lim22020)()(20 yyxxdyxf求求solution.2 20 01 1 l

17、im原原式式),(lim0 f ),(lim00 fyx ).,(00yxf （積分中值定理）（積分中值定理）（函數的連續(xù)性）（函數的連續(xù)性）.),(為連續(xù)函數為連續(xù)函數其中其中yxf例例6 6 4.4.二重積分的性質二重積分的性質),( f 2 2 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質小結 dyxfd),(（一）概念（一）概念（二）性質（二）性質六條性質六條性質（三）幾何意義（三）幾何意義 dyxfd),( v.),(lim10 niiiif作業(yè)：作業(yè)：p351 3（2），4（2）第一節(jié) 二重積分的概念與性質思考題思考題 將二重積分定義與定積分定義進行比較，將二重積分定義與定積分定義進行

18、比較，找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處. 定積分與二重積分都表示某個和式的極限定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數及積分區(qū)域有關不值，且此值只與被積函數及積分區(qū)域有關不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數為同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數為定義在區(qū)間上的一元函數，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數為定義在平面區(qū)域區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數為定義在平面區(qū)域上的二元函數上的二元函數思考題解答思考題解答第一節(jié) 二重積分的概念與性質練練 習習 題題練習題答案練習題答案目的要求：目的要求：一.了解二重積分的概念與基本性質二.會將二重積分化為累次積分三.掌握二重積分在直角坐標系與極坐標系下的計算方法重點：2.二重積分的計算及應用四.會利用二重積分計算平面圖形的面積及幾何體的體積1.二重積分的概念.4:,)10(22之值之值估計估計 dyxddyx solution.