第03單元中點類

1、第03單元 中點類聯(lián)想融通：試試看，與中點有關(guān)的知識與題目能想起多少？中點等分線段，是線段的對稱中心、是線段中垂線的垂足，進而得到等腰三角形三線合一、垂徑定理、中點加平行可出現(xiàn)全等三角形、相似三角形，過中點的中線等分該三角形面積、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、由兩條同圓直徑共中點得矩形；由圓弧中點可得相等的圓心角、圓周角、角平分線.本單元只對“中線等分三角形面積、等腰三角形底邊上中線、直角三角形斜邊上中線、見中點造全等、見中點作中位線”五個方面進行研究.1、 中線等分三角形面積我們知道：對稱軸平分軸對稱圖形的面積、過對稱中心的直線平分中心對稱圖形的面積.下面研究的是“三角形的中線平分三

2、角形面積”的用法.解法歸一：遇等分多邊形面積題目時，最常用的方法是把多邊形先轉(zhuǎn)化為三角形，再借助中線等分三角形面積來解決. 例3 -1 -1 （1）你用三種不同的方法把圖3-l-l圖3-l -1中ABC的面積四等分 圖3-l-l 圖3-l-1 圖3-l-1交流分享：三角形中線等分三角形面積！連續(xù)使用中線，可把一個三角形的面積n等分.（2）請你在圖3-1-13-1-1中用三種不同的方法把梯形ABCD的面積二等分. 圖3-l-2 圖3-l -2 圖3-l -2交流分享：（1）先把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，再利用中線，可等分一個多邊形的面積；（2）借助一腰中點，把梯形轉(zhuǎn)化為一個與它面積相等的三角形，是梯形

3、常用的輔助線之一. 例3-1-2 （1）如圖 3-1-2，過點A畫一條平分ABC面積的直線；（2） 如圖3-1-2，已知l1l2，點E、F在l1上，點G，H在l2上，試說明EGO與FHO面積相等的理由；（3）如圖3-1-2，點M在ABC的邊上，過點M畫一條平分三角形面積的直線，寫出畫法 圖3-1-2 圖3-1-2 圖3-1-2交流分享：解決（3）需要把（1）、（2）結(jié)合起來用.即從圖中給定的一點等分圖形的面積時，先用中線找出一種分割法，再在此基礎(chǔ)上利用“平行線下的同底等高面積相等”進行等積轉(zhuǎn)化，根據(jù)定點的不同，可得不同的面積等分線.體驗與感悟03-11、定義：“把一個平面圖形的面積分成相等的兩

4、部分的直線叫做這個圖形的一條面積等分線”（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的是_；（2）平行四邊形的一條面積等分線是_；（3）請你嘗試用不少于三種方法畫出下列圖形面積等分線 分享交流：當(dāng)進行多邊形的面積問題探究遇到困難時，將它轉(zhuǎn)化為三角形，再去思考，常有奇效.2、如圖3-1-2，已知ABC的面積為a.延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，延長邊AB到點F,使CD=BC，AE=CA，BF=AB,連接DE、DF、FE，得到DEF，此時我們稱ABC向外擴展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的_倍擴展了n次后得到的DEF的面積是原來

5、ABC面積的_倍7 7 圖 3-1-3 圖3-1-43、 如圖3-1-4中，E、G、F、H分別為任意四邊形ABCD的邊AD、AB、BC、CD的中點.（1） 在圖3-1-4中，四邊形EBFD的面積與四邊形ABCD的面積關(guān)系是 ；（2） 在圖3-1-4中，如果陰影部分的面積為20，則S1+S2+S3+S4= _2 圖3-1-44、 定義：我們把被三角形一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”.如圖3-1-5，在ABC中，CD是邊上的中線，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且. 應(yīng)用：如圖3-1-5，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點

6、O. （1）求證：AOB與AOE是“友好三角形”； （2）連接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積. 圖3-1-5 圖3-1-5 探究：在ABC中，A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，將ACD沿CD所在直線翻折，得到，若與ABC重合部分的面積等于ABC面積的，請直接寫出ABC的面積.提醒：遇等分多邊形面積怎么下手？2、 見直角三角形斜邊中點與等腰三角形底邊中點作中線1、 連結(jié)直角三角形斜邊上的中線后，得兩個等腰三角形、三條等線段，并且三頂點共圓；2、 特別地，等腰直角三角形斜邊上中線把它分為兩全等的等腰直角三角形

7、，出現(xiàn)4個45°角、2組等邊、2組長度為1：的邊；3、 逆用可以判定一個三角形是直角三角形.解法歸一：見直角三角形斜邊上的中點和等腰三角形底邊的中點，連中線，找邊、角、線段的相等關(guān)系，或借助三點共圓進行角轉(zhuǎn)化.例 3-2-1 如圖3-2-1，四邊形ABCD中，ABC=ADC=90°，M是AC的中點，MNBD于N點，求證：BN=DN 圖3-2-1交流分享：連結(jié)MB、MD的一個等腰三角形. 例 3-2-2 如圖3-2-2，在RtPOQ中，OP=OQ=4.把三角尺的直角頂點放在斜邊PQ中點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點A、B（1）求證

8、：MA=MB；（2）連接AB.探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，AOB的周長是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由圖3-2-2交流分享：（1）連結(jié)MO，即見斜邊的中點，作斜邊上的中線；（2）見含二次整式的最值，用二次函數(shù)性質(zhì)，或用完全平方公式配方.例 3-2-3 如圖3-2-3，ABC與DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90°，AB、EF的中點均為O，連結(jié)BF、CD，求證：BF=CD. 圖3-2-3交流分享：連結(jié)OC、OD，即已知等腰三角形底邊中點時連中線，問題迎刃而解.體驗與感悟03-21、 如圖3-2-4，在RtABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，

9、AC=3，則BC= . 圖3-2-4 圖 3-2-52、如圖 3-2-5，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，BC=7，則梯形的面積是（ ） A25 B.50 C. D.3、 如圖 3-2-6，DE為ABC的中位線，點F在DE上，且AFB=90°.（1） 若AB=5，BC=8，則EF的長為_；（2） 若ABC=52°，則FAD= °. 圖 3-2-6 圖3-2-7 圖3-2-84、 如圖3-2-7，有兩個互相垂直的滑槽，一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動（滑槽及木棒的寬度忽略不計），當(dāng)點A從上向下至O的滑動過程中，木棒中點P走過的軌跡是 .5

10、、 如圖3-2-8，ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BEAC，AFBC，則EFC= .6、 如圖3-2-9，在ABC中，ABC=90°，BD為AC的中線，過點C作CEBD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF.若AG=13，CF=6，則四邊形BDFG的周長為 . 圖3-2-97、 （1）問題探究 如圖1，M為ABC的BC邊中點，且2MA=BC，求證：BAC=90°.同學(xué)們經(jīng)過思考、討論、交流得到以下證明思路：思路一 直接利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理思路二 延長AM到D使DM=MA，連接DB，DC，利

11、用矩形的知識思路三 以BC為直徑作圓，利用圓的知識思路四 請選擇一種方法寫出完整的證明過程； （2）結(jié)論應(yīng)用 要求直接運用（1）中命題的結(jié)論完成以下兩道題：如圖2，線段AB經(jīng)過圓心O，交O于點A，C，點D在O上，且DAB=30°，OA=a，OB=2a，求證：直線BD是0的切線；如圖3，ABC中，M為BC的中點，BDAC于D，E在AB邊上，且EM=DM，連接DE，CE，如果A=60°，請求出ADE與ABC面積的比值 8、 在ABC中，BAC=90°，AB=AC=6，D為BC的中點.（1） 如圖3-2-11，當(dāng)點F、E分別從C、A兩點同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度

12、沿CA、AB運動，到點A、B時停止；設(shè)DEF的面積為y，F(xiàn)點運動的時間為x（x>0），求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖3-2-11在（1）的條件下，點F、E分別沿CA、AB的延長線繼續(xù)運動，求此時y與x的函數(shù)關(guān)系式 圖3-2-11 圖3-2-119、如圖3-2-12，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45°，CD=2，BDCD過點C作CEAB于E，交對角線BD于F，點G為BC中點，連接EG、AF（1）求EG的長；（2）求證：CF=AB+AF 圖3-2-12交流分享：幾何證明與計算、方程、函數(shù)相結(jié)合，是今后命制幾何探究題的一種趨勢.10、 （1）如圖3-2-13 ，ABC與DEF

13、都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，連結(jié)BF、CD，請你先猜想線段BF、線段CD的數(shù)量關(guān)系，再證明你的結(jié)論；（2） 如圖3-2-13，若ABC與DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為O，且頂角ACB=EDF=，請直接寫出的值（用含的式子表示）. 圖3-2-13 圖3-2-1311、 （1）如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片ABC和DEF疊放在一起，其中ACB=E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C，DF交AC于點G.則重疊部分（DCG）的面積等于 .（2） 將DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DEAB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖2，這時重

14、疊部分（DGH）的面積等于 .12、 設(shè).如圖3-2-15，將放置在每個小正方形的邊長都為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點B，且AB=2.5cm.現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請你在圖中作出，并簡要說明做法（不要求證明）. 圖3-2-15 備用圖提醒：請回味與感悟一下遇直角三角形斜邊上中點與等腰三角形底邊上中點時怎樣作輔助線.3、 見中點，“9”變“8”，作全等 名詞解釋：什么是“9”變“8”？由如圖1到如圖2，是否像數(shù)字“9”變成了“8”？此名是我的2011屆學(xué)生所取，往屆學(xué)生有叫它“小旗”變“啞鈴（沙漏）”的.它的本質(zhì)是根據(jù)中點是線段對稱中心，構(gòu)造“8”

15、型全等三角形. 圖1 圖2解法歸一：見中點，找“9”，然后把“9”變“8”.如圖1：C是線段AB的中點，線段AB的端點B與中點C處有一個BCD，則ACBD為“9”，于是過另一端點A作BD的平行線，與DC的延長線相交，得到一對“8”型中心對稱的全等三角形.例 3-3-1 （1）如圖3-3-1，在ABC中，已知AB=5,AC=3,則中線AD長度的范圍是 .(2)如圖3-3-1，在梯形ABCD中，D=90°，M是AB的中點，若CM=6.5,BC+CD+DA=17,則梯形ABCD的面積等于 .（3）如圖 3-3-1，已知E、F、G、H是正方形ABCD四邊的中點，四邊形MNPQ的面積等于6，則

16、正方形ABCD的面積等于 . 圖3-3-1 圖3-3-1 圖 3-3-1交流分享：（1）延長AD，再過B作AC的平行線實現(xiàn)“9”變“8”；（2）延長DA、CM交于點N實現(xiàn)“9”變“8”，再借助“勾股定理”求出CD與DN；（3）過A作BM的平行線交CE的延長線于K，通過“9”變“8”把BME進行轉(zhuǎn)化.體驗與感悟03-31、如圖 3-3-2，ABCD,E、F分別為AC、BD的中點，若AB=5,CD=3,則EF=（ ） A.4 B.3 C.2 D.12、如圖3-3-3，梯形ABCD的面積是4cm2,M為腰CD的中點，連結(jié)AM、BM,則ABM的面積為 .3、如圖 3-3-4，在平行四邊形ABCD中，A

17、B=3，AD=4,ABC=600,過BC的中點E作EFAB,垂足為點F，則DEF的面積是 . 圖 3-3-2 圖3-3-3 圖 3-3-44、 如圖3-3-5，AD是ABC中BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF.若ABAC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論. 圖3-3-55、 已知點P是RtABC斜邊AB上一動點（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F，Q為斜邊AB的中點.（1） 如圖1，當(dāng)點P、Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是 ,QE與QF的數(shù)量關(guān)系是 ；（2） 如圖2，當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷

18、QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3） 如圖3，當(dāng)點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明6、 （1）如圖1，在ABC中，ACB=90°，A45°，點O為AB的中點，將直角DOE的頂點與O點重合，邊OE經(jīng)過點C，另一邊OD與AC交于點M.求證：；（2） 如圖2，將DOE繞點O旋轉(zhuǎn)，若OD與射線CA相交于點M，OE與射線BC相交于點N，連接MN，那么成立嗎？說明理由. 圖1 圖27、 （1）現(xiàn)有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖1所示.請將其分割后拼接成一個平行四邊形.要求：在圖1中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個

19、符合條件的平行四邊形即可）；（2） 如圖2，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ，請在圖2中探究平行四邊形MNPQ面積的大?。ó媹D并直接寫出結(jié)果）. 圖1 圖2提示：找中點，“9”變“8”8、 在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點O，1=2=45°.（1） 如圖1，若AO=OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將圖1中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AO=OB 求證：AC=BD，ACBD；（3）將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到圖3，求的值. 提示：把

20、AOBD當(dāng)“9”或把BOAC當(dāng)“9”作平行.提醒：請回味與感悟一下什么是“9”變“8”？何時找“9”？如何變“8”？四、見中點（或等分點）作平行用相似解法歸一：（1）從中點（或等分點）做平行是最常見的輔助線作法，作平行后得中位線或相似；（2） 題目中有線段比、或線段積、或線段平方時，常借助平行得相似來解決；（3） 題目中相關(guān)線段所在三角形一看就不全等時，通常借助相似找關(guān)系.例 3-4-1 如圖3-4-1，已知OA=OB,OAOB，點C為OB中點，點D在OA上且,連結(jié)AC,BD交于點P.求的值. 圖3-4-1交流分享：從O、A、B、C、D處皆可作平行線得相似或全等.例 3-4-2 已知，在ABC

21、中，BCAC,點D在ABC所在的平面上，且AD=BC，連結(jié)DC.作過AB、DC的中點E、F的直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點M、N.如圖 3-4-2，當(dāng)點D在BC的延長線上時，點N恰好與點F重合，取AC的中點H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論AMF=BNE（不需要證明）.當(dāng)點D在圖3-4-2或3-4-2中的位置時，AMF與BNE有何數(shù)量關(guān)系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明. 圖3-4-2 圖3-4-2 圖3-4-2交流分享：輔助線的作法其實在圖3-4-2中已給出，照著做即可.提醒：請回味與感悟一下有中點時輔助線的作法與技巧吧.體驗與感悟03-41、如

22、圖3-4-3，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點.若EF=2，BC=5，CD=3，則=( )A. B. C. D. 2、如圖 3-4-4，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC,PEF=180，則PFE的度數(shù)是 .3、如圖 3-4-5，E、F、G、H分別是四邊形四條邊的中點.則：四邊形EFGH一定是 ；若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應(yīng)滿足 . 4、 如圖3-4-6，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是邊AD、AB的中點，EF交AC于點H，則的值為 . 圖3-4-65、如圖 3-4-7

23、，梯形ABCD中，ABCD，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點.已知兩底差事6，兩腰和是12，則EFG的周長是（ ）A.8 B.9 C.10 D.126、如圖 3-4-8，在ABC中，延長BC到D，使CD=BC.取AB的中點F，連結(jié)FD交AC于點E.若AB=a，F(xiàn)B=EC，求AC的長.7、（1）如圖3-4-9，在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N,則BME=CNE（見例3-4-2的圖3-4-2，不需證明）.（2）如圖3-4-9，在ABC中，AC>AB,D點在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點

24、，連結(jié)EF并延長，與BA的延長線交于點G，若EFC=600，連結(jié)GD，判斷AGD的形狀，并證明你的結(jié)論.8、 如圖3-4-10，點B在線段AC上，點D、E在AC同側(cè)，A=C=90°，AD=BC=2，AB=CE=4，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQDP，交直線BE于點Q.當(dāng)點P從A點運動到B點時，求線段DQ的中點F所經(jīng)過的路徑（線段）長. 圖3-4-109、 已知：在AOB與COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90°.（1） 如圖3-4-11，點C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點M為線段BC的中點，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是

25、，位置關(guān)系是 ；（2） 如圖3-4-11，將圖3-4-11中的COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（0°90°）.連結(jié)AD、BC，點M為線段BC的中點，連結(jié)OM.請你判斷（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立.若成立，請證明；若不成立，請說明理由. 圖3-4-11 圖3-4-11提醒：請回味與感悟一下有中點時輔助線的作法與技巧吧.5、 第03單元提高題友情提示：做下列題目時，想想它們分別是上面講到的哪種題型，用到哪個知識點，哪種方法.1、請你用一條直線或折線等分四邊形的面積，要求不少于三種方法，畫在圖 3-5-13-5-1中.2、如圖 3-5-2，ABC中，AB=AC，D是AB上的一點

26、，且AD=AB，DFBC,E為BD的中點.若EFAC,BC=6，則四邊形DBCF的面積為 .3、如圖 3-5-3，在直角梯形ABCD中，ABBC,ADBC,點E是AB的中點，且AD+BC=DC.下列結(jié)論中：ADEBEC；DE2=DA·DC；若設(shè)AD=a，CD=b，BC=c，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；若設(shè)AD=a，AB=b，BC=c，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根.期中正確的結(jié)論有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4、如圖 3-5-4，已知直角梯形ABCD中，ADBC.BCD=900，BC=CD=2AD,E、F分別是BC、C

27、D邊的中點.連結(jié)BF、DE交于點P.連結(jié)CP并延長交AB于點Q，連結(jié)AF，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A.CP平分BCD B. ABF為等腰三角形C.四邊形ABED為平行四邊形 D.CQ將梯形ABCD分為面積相等的兩部分5、直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形.方法如下圖所示： 請你用上圖所示的方法，解答下列問題設(shè)計一種方案，對任意三角形（如圖3-5-5）和任意四邊形（如圖3-5-5），先將它分成若干塊，再拼成一個與原圖形面積相等的矩形.6.已知，線段OAOB，點C為OB中點，D為線段OA上一點.連結(jié)AC，與BD交于點P.（1）如圖 3-5-6，當(dāng)OA=OB，且時，tanBPC的值為 ； 圖 3-5-6 圖 3-5-6（2）如圖 3-5-6，當(dāng)ADAOOB=1n時，直接寫出tanBPC的值.7、 已知等腰直角三角形ABC與等腰直角三角形CEF具有公共的頂點C，ABC=CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME.（1） 如圖3-5-7，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，請猜想MB、ME的關(guān)系，并證明你的猜想；（2） 如圖3-5-7，當(dāng)BCE=45°時，請猜想MB、ME的關(guān)系，并證明你的猜想. 圖3-5-7 圖3-5-7 8、在圖3-5-8所示直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點.過點A的直線交y軸正半軸于點M，