第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念77501

1、第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、問題的提出一、問題的提出二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系例例1 瞬時(shí)速度問題瞬時(shí)速度問題設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)為設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)為 s = s(t) ，求其在時(shí)刻求其在時(shí)刻 t0 的的(瞬時(shí)瞬時(shí))速度速度. )(0ts)(ts0ttsot0 到到 t 的平均速度為的平均速度為00)()(tttststsv 故在故在 t0 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0000)()(limlim0tttststsvttt 一、問題的提出一、問題的提出2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放

2、2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 t0 xxoxy)(xfy cnm如圖如圖, 如果割線如果割線mn繞點(diǎn)繞點(diǎn)m移動(dòng)而趨向極限位置移動(dòng)而趨向極限位置mt,直線直線mt就稱為曲線就稱為曲線c在點(diǎn)在點(diǎn)m處的處的切線切線.).,(),(00yxnyxm設(shè)設(shè)

3、的斜率為的斜率為割線割線 mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,mnc沿曲線沿曲線,0 xx 的斜率為的斜率為切線切線 mt000( )()tanlimxxf xf xkxx 兩個(gè)問題的兩個(gè)問題的共性共性: :瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度切線斜率切線斜率所求量為所求量為函數(shù)增量函數(shù)增量與與自變量增量自變量增量之比的極限之比的極限 . .類似問題還有類似問題還有: :加速度加速度電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是是速度增量速度增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限是是電量增量電量增量與與時(shí)間增量時(shí)間增量之比的極限之比的極限變化率問題變化率問題000)()(lim0tttstsvtt 000( )()

4、limxxf xf xkxx 二、導(dǎo)數(shù)二、導(dǎo)數(shù)(derivative)的定義的定義, )(dd,)(,)(,)()(lim),(,),()(00000000000 xyxyxxfxxfxxfxxfxuxxxuxxfyxxx 或或記為記為點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在在且稱極限值為且稱極限值為點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)在在則稱則稱存在存在若若且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 1.定義定義,)()(limdd0000 xxfxxfxyxxx 即即00d().dxxffxx 或或或或00,.xx一個(gè)函數(shù)在 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)處的變化率 它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度1關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明

5、：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：.),()(,),()(,),()(. 2內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)是是稱稱這時(shí)也這時(shí)也內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)都可導(dǎo)都可導(dǎo)處處內(nèi)的每一點(diǎn)內(nèi)的每一點(diǎn)在開區(qū)間在開區(qū)間若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxfbaxf. ),()(badxf 記為記為( , ) ,( ),( , ),( ),( ).xa bf xa bdyf xfxdx 對(duì)對(duì)總總有有唯唯一一確確定定的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 這這樣樣在在內(nèi)內(nèi)定定義義了了一一個(gè)個(gè)新新的的函函數(shù)數(shù) 稱稱為為的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù) 記記為為或或.)()(lim)(, ),(0 xxfxxfxfbaxx 即對(duì)即對(duì).)()(00 xxxfxf 顯然

6、有顯然有. )()(00不同不同與與 xfxf注意：導(dǎo)數(shù)定義實(shí)質(zhì)上是函數(shù)在注意：導(dǎo)數(shù)定義實(shí)質(zhì)上是函數(shù)在 x0 關(guān)于關(guān)于 x 的的增量增量 y 與自變量的增量與自變量的增量 x 之比的極限之比的極限 ，于是，于是定義可改寫為：定義可改寫為：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)0()(lim)0(0 xfxffx 特別地特別地得得令令,hx ,)()(lim)(000 xfxfxf 0hhh導(dǎo)數(shù)的其它形式導(dǎo)數(shù)的其它形式3. 求導(dǎo)舉例求導(dǎo)舉例)()1 c,0 )()2 nx,1 nxn)()3 xa,lnaax )()4 xe,xe )(sin)5 x,cosx )(cos)6

7、x,sinx )(ln)7 x.1x 1).)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)ccxf 解解2 2).)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如求例如求)1( x)1( xx3).)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解4).)(sin,sin)( xxxf求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解.sin)(cos:xx 類似地有類似地有5) 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . xxfln)( 解解)()1 c,0 )()2 x,1 x)()3 xa,lnaax )()4 xe,xe )(sin)5 x,cosx )(cos

8、)6 x,sinx )(ln)7 x.1x 例例1 1則則存在存在若若,)(0 xf xxfxxfx )()(lim)1(000)(0 xf hhxfhxfh)()(lim)2(000 )(20 xf hhxfhxfh)()(lim)3(000 )()(0 xf )()1(lim)4(00 xfnxfnn )(0 xf 4. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)2) 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) (right hand derivative)1) 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) (left hand derivative)000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 定理定理. )()()(0

9、00 xfxfxf 存在存在如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及 )(bf 都存在，就說都存在，就說)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo). ;)()(lim000 xxfxxfx ;)()(lim000 xxfxxfx 例例2 2.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo例例3 3.0)(010 )(2處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論討論，設(shè)設(shè) xxfxexxxfx解解5. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy t0 xm1) 幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為

10、傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy .112程程處的切線方程和法線方處的切線方程和法線方在在求曲線求曲線例例 xxy解解例例2 2.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解.)(,lim00處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱不存在不存在若若xxfyxyx .)(,)(,lim000 xfxxfyxyx并記為并記為無窮大無窮大處導(dǎo)數(shù)為

11、處導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱若若 ) .)(0軸軸處切線垂直于處切線垂直于在點(diǎn)在點(diǎn)即曲線即曲線xxxfy 處處在在例如：例如：0)(3 xxxf切線方程切線方程: :)(000 xxxfyy 法線方程法線方程: :0001()()yyxxfx )0)(0 xf,)(0 xf曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的處的),(00yx,0)(0 xf若若切線與切線與 x 軸平行軸平行, ,)(0 xf若若切線與切線與 x 軸垂直軸垂直 . .綜上所述：綜上所述：解解3xy 131 xy例例 問曲線問曲線 哪一點(diǎn)有垂直切線哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處哪一點(diǎn)處的切線與直線的切線與直線 平行平行 ? 寫出其切線方程寫出其切線

12、方程. .2) 物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng): :路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度. .lim)(0dtdststvt 例：可以用導(dǎo)數(shù)表示速度，線密度，功率，加速度，例：可以用導(dǎo)數(shù)表示速度，線密度，功率，加速度，角速度等量。角速度等量。三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 若函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)若函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo), ,則函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù). .證證若若函數(shù)不連續(xù)，則一定不可導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)，則一定不可導(dǎo).,)(badxf ,)(bacxf 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理

13、的逆定理不成立,即即連續(xù)函數(shù)不連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)一定可導(dǎo).(連續(xù)是可導(dǎo)的必要不充分條件連續(xù)是可導(dǎo)的必要不充分條件.)連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例例例1.0處連續(xù)但不可導(dǎo)處連續(xù)但不可導(dǎo)在在 x( )f xx函數(shù)xy xyo例例23( ),f xx0.x 在處連續(xù)但不可導(dǎo)例例4 4.0)(,0),1(0,)(2處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在使使求求設(shè)設(shè) xxfbaxxbxexfax此種題型必須此種題型必須先考慮連續(xù)性先考慮連續(xù)性得到一個(gè)關(guān)系式得到一個(gè)關(guān)系式 ,再由可導(dǎo)再由可導(dǎo)得到另一個(gè)關(guān)系式得到另一個(gè)關(guān)系式 , 聯(lián)立求解參數(shù)聯(lián)立求解參數(shù).分段函數(shù)求分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)一定要用左右導(dǎo)數(shù)定義求分段函數(shù)求分界點(diǎn)

14、導(dǎo)數(shù)一定要用左右導(dǎo)數(shù)定義求. .四、小結(jié)四、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考與練習(xí)思考與練習(xí)1、函函數(shù)數(shù))(xf在在某某點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 與與導(dǎo)導(dǎo)

15、函函數(shù)數(shù))(xf 有有什什么么區(qū)區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系？ .0)(,)(lim,0)(. 20處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在證明：證明：存在存在且且處連續(xù)處連續(xù)在在設(shè)設(shè) xxfxxfxxfx?0)(,| )(|, ),(. 32是否可導(dǎo)是否可導(dǎo)在在問問恒有恒有若若 xxfxxfx .)1(,12)1()1(lim,)(. 40fxxffxfx 求求且且存在存在設(shè)設(shè)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1、函函數(shù)數(shù))(xf在在某某點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 與與導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xf 有有什什么么區(qū)區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系？ 區(qū)別區(qū)別: :聯(lián)系聯(lián)系: :,)(是函數(shù)是函數(shù)xf .)(0是數(shù)值是數(shù)值xf )()(00 xfxfx

16、x 注意注意: : )()(00 xfxf一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即)(0 xf 存在，則存在，則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為2ts ( (米米) )，則該物體在，則該物體在 2 t秒時(shí)的速度為秒時(shí)的速度為_ ._ .3 3、 設(shè)設(shè)321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它們的導(dǎo)數(shù)分別為它們的導(dǎo)數(shù)分別為dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .練

17、習(xí)題練習(xí)題4 4、 設(shè)設(shè)2)(xxf , ,則則 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點(diǎn)在 點(diǎn))1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程 為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在， 按照導(dǎo)數(shù)的定義存在， 按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出觀察下列極限，分析并指出 a表示什么？表示什么？ 1 1、axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、ahhfh )(lim0，其中其中)0(0)0(ff 且且存在存在； 3 3、ahhxfhxfh )()(lim000. . 三、證明：若三、證明：若)(xf為偶

18、函數(shù)且為偶函數(shù)且)0(f 存存在，則在，則0)0( f. . 四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k k滿足什么條滿足什么條件，件，)(xf在在0 x處處 (1)(1)連續(xù)；連續(xù)； （2 2）可導(dǎo)；）可導(dǎo)；（3 3）導(dǎo)數(shù)連續(xù)）導(dǎo)數(shù)連續(xù). .五、五、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數(shù)為了使函數(shù))(xf在在1 x處連續(xù)且可導(dǎo)，處連續(xù)且可導(dǎo)，ba ,應(yīng)取什么值應(yīng)取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 證明：雙曲線證明：雙曲線2axy 上任一點(diǎn)處的切線與兩上任一點(diǎn)處的切線與兩 坐標(biāo)軸構(gòu)成的

19、三角形的面積都等于坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于22a. .八八、 設(shè)設(shè)有有一一根根細(xì)細(xì)棒棒，取取棒棒的的一一端端作作為為原原點(diǎn)點(diǎn)，棒棒上上任任意意點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為x，于于是是分分布布在在區(qū)區(qū)間間1,0上上細(xì)細(xì)棒棒的的質(zhì)質(zhì)量量m是是x的的函函數(shù)數(shù))(xmm 應(yīng)應(yīng)怎怎樣樣確確定定細(xì)細(xì)棒棒在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的線線密密度度（對(duì)對(duì)于于均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒來來說說，單單位位長(zhǎng)長(zhǎng)度度細(xì)細(xì)棒棒的的質(zhì)質(zhì)量量叫叫作作這這細(xì)細(xì)棒棒的的線線密密度度）？一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、6533161,2,32 xxx； 3 3、24x, ,22x； 5 5、01 yx. .二、二、1 1、)(0 xf ； 2 2、)0(f ； 3 3、)(20 xf . .四、四、(1)(1)當(dāng)當(dāng)0 k時(shí)時(shí), ,)(xf在在0 x處連續(xù)；處連續(xù)；(2)(2)當(dāng)當(dāng)1 k時(shí)時(shí), ,)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可