正、余弦定理及應(yīng)用舉例

1、1【考綱下載考綱下載】1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題2能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.正、余弦定理及應(yīng)用舉例正、余弦定理及應(yīng)用舉例2正弦定理正弦定理(1)定理定理： = 其中其中r為三角形外接圓的半徑為三角形外接圓的半徑(2)變式變式：a，b ，c ；sin a ，sin b ，sin c ；abc .2rsina2rsinb2rsincsinasinbsinc1提示：提示：已知三角形的

2、兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理求其他的角和已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理求其他的角和邊時(shí)，要注意對(duì)解的情況進(jìn)行判斷，這類問(wèn)題往往有一解，兩解，無(wú)解三邊時(shí)，要注意對(duì)解的情況進(jìn)行判斷，這類問(wèn)題往往有一解，兩解，無(wú)解三種情況種情況32余弦定理余弦定理 (1)定理：定理：a2 ； b2 ； c2 ； (2)變式：變式：cos a ； cos b ； cos c .b2c22bccosaa2c22accosba2b22abcosc提示：提示：在在abc中，已知中，已知a，b，a，求，求c時(shí)，利用余弦定理時(shí)，利用余弦定理a2b2c22bccos a得到關(guān)于得到關(guān)于c的二次方程，但也應(yīng)注

3、意三角形解的個(gè)數(shù)的判斷的二次方程，但也應(yīng)注意三角形解的個(gè)數(shù)的判斷43三角形面積公式三角形面積公式(1)s (ha表示表示a邊上的高邊上的高)；(2)s absin c ；(3)s r(abc)(r為內(nèi)切圓半徑為內(nèi)切圓半徑)實(shí)際問(wèn)題中的常用角實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線線在水平視線 叫仰角；目標(biāo)視線在水平視線叫仰角；目標(biāo)視線在水平視線 叫俯角叫俯角( (如圖如圖) )上方上方下方下方45(2)方位角方位角指從指從 方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如

4、方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如b點(diǎn)的方位角為點(diǎn)的方位角為(如圖如圖)正北正北(3)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)提示：提示：在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要明確題意，正確畫(huà)出平在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要明確題意，正確畫(huà)出平面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)將問(wèn)題歸結(jié)到三角形中解決面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)將問(wèn)題歸結(jié)到三角形中解決61abc的內(nèi)角的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a，b，c.若若c ，b ，b120， 則則a等于等于()解析：解析：由正弦定理得由正弦定理得 又又c為銳角，則為銳角，則c30

5、，a30，abc為等腰三角形，為等腰三角形，ac . 答案：答案：d72(2009廣東卷廣東卷)已知已知abc中，中，a，b，c的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a，b，c. 若若ac ，且，且a75，則，則b()解析：解析：ac，a75，b30，b2a2c22accos 30b2.答案：答案：a83已知銳角已知銳角abc的面積為的面積為3 ，bc4，ca3，則角，則角c的大小為的大小為() a75 b60 c45 d30答案：答案：b94在在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別是高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別是 30、60，則塔高為，則塔高為_(kāi)m.在在acd中，由余弦

6、定理得，中，由余弦定理得，解析：解析：如如圖，由已知可得圖，由已知可得bac=30，cad=30， bca=60，acd=30，adc=120，10判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形等腰直角三角形”與與“等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別依據(jù)已知條件中的區(qū)別依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩條途徑：的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如

7、下兩條途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用abc這個(gè)結(jié)論這個(gè)結(jié)論11 在在 中，中， 分別表示三個(gè)內(nèi)角分別表示三個(gè)內(nèi)角 的對(duì)邊，如的對(duì)邊，如果果 ，判

8、斷三角形的形狀，判斷三角形的形狀思維點(diǎn)撥：利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角思維點(diǎn)撥：利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系角關(guān)系【例例1】解：解法一：已知等式可化為解：解法一：已知等式可化為a2sin(ab)sin(ab)b2sin(ab)sin(ab)2a2cos asin b2b2cos bsin a由正弦定理可知上式可化為：由正弦定理可知上式可化為：sin2acos asin bsin2bcos bsin asin asin b(sin acos asin bcos b)0sin 2asin 2b，由，由02a,2b2，得得2a2b或或2a2b

9、，即，即ab或或a b，abc為等腰或直角三角形為等腰或直角三角形12解法二：解法二：同解法一可得同解法一可得2a2cos asin b2b2sin acos b，由正、余弦定理，可得由正、余弦定理，可得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)即即(a2b2)(a2b2c2)0ab或或a2b2c2，abc為等腰或直角三角形為等腰或直角三角形.13三角形一般由三個(gè)條件確定，比如已知三邊三角形一般由三個(gè)條件確定，比如已知三邊a，b，c，或兩邊，或兩邊a，b及夾角及夾角c，可以將可以將a，b，c或或a，b，c作為解三角形的基本要素，根據(jù)已知條件，通過(guò)正作為解三角形的基本要素，根據(jù)已知條件，通過(guò)正弦定

10、理、余弦定理、面積公式等利用解方程組等手段進(jìn)行求解，必要時(shí)可考弦定理、余弦定理、面積公式等利用解方程組等手段進(jìn)行求解，必要時(shí)可考慮作輔助線，將所給條件置于同一三角形中慮作輔助線，將所給條件置于同一三角形中14(1)求求abc的面積；的面積；(2)若若c1，求，求a的值的值形面積公式求解即可；形面積公式求解即可；(2)(2)根據(jù)第根據(jù)第(1)(1)問(wèn)求出的問(wèn)求出的bcbc，結(jié)合，結(jié)合b bc c就可以求出就可以求出b b， c c的值，根據(jù)余弦定理求解的值，根據(jù)余弦定理求解15解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)榈玫胋ccos a3，所以，所以bc5.因此因此sabc bcsin a2.(2)由由(1)知，知

11、，bc5.又又c1，所以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccos a20，所以所以a2 . 16 已知已知abc頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(3,4)，b(0,0)，c(c,0)(1)若若c5，求，求sin a的值；的值；(2)若若a為鈍角，求為鈍角，求c的取值范圍的取值范圍解：解：(1)解法一：解法一：a(3,4)，b(0,0)，|ab|5.又又c(c,0)，sin b .當(dāng)當(dāng)c5時(shí)，時(shí)，|bc|5，由正弦定理得由正弦定理得變式變式2：17解法二：解法二：a(3,4)，b(0,0)，|ab|5.當(dāng)當(dāng)c5時(shí)時(shí)，|bc|5.由余弦定理得由余弦定理得(2)a(3,4)

12、，b(0,0)，c(c,0)，|ac|2(c3)242，|bc|2c2.a為鈍角，為鈍角，cos a0，即，即|ab|2|ac|2|bc|20.52(c3)242c2506c .18三角函數(shù)作為聯(lián)系代數(shù)與幾何問(wèn)題的紐帶和橋梁，往往出現(xiàn)在綜合題中三角函數(shù)作為聯(lián)系代數(shù)與幾何問(wèn)題的紐帶和橋梁，往往出現(xiàn)在綜合題中解三角形就是這樣一種常見(jiàn)而又典型的問(wèn)題，在三角形的三角變換中，正、解三角形就是這樣一種常見(jiàn)而又典型的問(wèn)題，在三角形的三角變換中，正、余弦定理是解題的基礎(chǔ)余弦定理是解題的基礎(chǔ)【例例3】 abc中，中，a，b，c所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a，b，c，tan c ， sin(ba)cos c. (

13、1)求求a，c； (2)若若sabc3 ，求，求a，c. 19思維點(diǎn)撥：思維點(diǎn)撥：(1)變換變換tan c ，尋找尋找a，b，c的三角函數(shù)之間的關(guān)的三角函數(shù)之間的關(guān)系系；(2)在解決了第在解決了第(1)問(wèn)的情況下，則相當(dāng)于知道了三角形的三個(gè)內(nèi)角，根問(wèn)的情況下，則相當(dāng)于知道了三角形的三個(gè)內(nèi)角，根據(jù)三角形面積公式和正弦定理就可以得到一個(gè)關(guān)于據(jù)三角形面積公式和正弦定理就可以得到一個(gè)關(guān)于a，c的方程組，解這個(gè)方的方程組，解這個(gè)方程組即可程組即可20解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)閠an c所以所以sin ccos asin ccos bcos csin acos csin b，即即sin ccos acos c

14、sin acos csin bsin ccos b，得得sin(ca)sin(bc)所以所以cabc，或，或ca(bc)(不成立不成立)， 即即2cab，又因?yàn)橛忠驗(yàn)閟in(ba)cos c ，21由正弦定理，得由正弦定理，得由由、得得22變式變式3： (2009山東卷山東卷)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)2sin xcos2 cos xsin sin x(0)在在x處取最小值處取最小值(1)求求的值；的值；(2)在在abc中，中，a，b，c分別是角分別是角a，b，c的對(duì)邊已知的對(duì)邊已知a1，b ，f(a) ，求角，求角c.解：解：(1)f(x)2sin x cos xsin sin xsin xs

15、in xcos cos xsin sin xsin xcos cos xsin sin(x)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)在在x處取最小值，所以處取最小值，所以sin()1，故故sin 1.又又0，所以所以 .23(2)由由(1)知知因?yàn)橐驗(yàn)榍仪襛為為abc的內(nèi)角，所以的內(nèi)角，所以由正弦定理得由正弦定理得24解斜三角形有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何、物理諸方面都要用到解解斜三角形有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何、物理諸方面都要用到解斜三角形的知識(shí)，解此類問(wèn)題一般步驟是：斜三角形的知識(shí)，解此類問(wèn)題一般步驟是：(1)閱讀理解，畫(huà)出示意圖，分閱讀理解，畫(huà)出示意圖，分清已知和所求，尤其要理解應(yīng)用題中有關(guān)名詞和

16、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、清已知和所求，尤其要理解應(yīng)用題中有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；象限角、方位角等；(2)分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形；分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形；(3)解這些三角形，求出答案解這些三角形，求出答案25 (2009 (2009遼寧卷遼寧卷)如圖，如圖，a，b，c，d都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d為為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面a處測(cè)得處測(cè)得b點(diǎn)和點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角分別為點(diǎn)的仰角分別為75，30，于水面，于水面c處測(cè)得處測(cè)得b點(diǎn)和點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角均為點(diǎn)

17、的仰角均為60，ac0.1 km.試探究圖中試探究圖中b，d間間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求b，d的距離的距離(計(jì)算結(jié)果精確到計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km， 1.414， 2.449)【例例4】26解：解：在在acd中中，dac30，adc60dac30，所以所以cdac0.1.又又bcd180606060，故故cb是是cad底邊底邊ad的中垂線，所以的中垂線，所以bdba.故故b，d的距離約為的距離約為0.33 km.27【方法規(guī)律方法規(guī)律】1正、余弦定理和三角形面積公式是本講課的重點(diǎn)，能利用三角形內(nèi)角正、余弦定理和三角形面積公式是本講課的重點(diǎn)，能利用

18、三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三和、邊、角之間的關(guān)系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題2應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：abc， 中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)3正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2asin2bsin2c2sin bsin ccos a，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明4根據(jù)所給

19、條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦化角為邊，并常用正弦(余弦余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.28【高考真題高考真題】(2009安徽安徽)在在abc中，中，sin(ca)1，sin b .(1)求求sin a的值；的值；(2)設(shè)設(shè)ac ，求，求abc的面積的面積29【規(guī)范解答規(guī)范解答】解：解：(1)由由sin(ca)1，ca，知知又又abc，所以，所以2ab ，故故cos 2asin b，30 本題的關(guān)鍵是關(guān)系式本題的關(guān)鍵是關(guān)系式2ab ，命題者把這個(gè)關(guān)系用，命題者把這個(gè)關(guān)系用sin

20、(ca)1表達(dá)表達(dá)出來(lái)，然后在條件出來(lái)，然后在條件sin b 下求解下求解sin a(實(shí)際上也可給出實(shí)際上也可給出sin a或或cos a的值的值求解求解sin b、cos b等等)，重在考查方程思想在解題中的應(yīng)用，重在考查方程思想在解題中的應(yīng)用【探究與研究探究與研究】31 確定三角形的條件之一就是知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角的大小確定三角形的條件之一就是知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角的大小(實(shí)際上就是知實(shí)際上就是知道了三個(gè)內(nèi)角的大小道了三個(gè)內(nèi)角的大小)及一個(gè)邊長(zhǎng)，在解題中要善于利用確定三角形的條及一個(gè)邊長(zhǎng)，在解題中要善于利用確定三角形的條件分析解決問(wèn)題，如本題中由第件分析解決問(wèn)題，如本題中由第(1)問(wèn)的結(jié)果，實(shí)際上就是知道了該三角問(wèn)的結(jié)果，實(shí)際上就是知道了該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小，第形的三個(gè)內(nèi)角的大小，第(2)問(wèn)中又給出了一個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理可以問(wèn)中又給出了一個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理可以求出另外兩邊的長(zhǎng)，這樣使用