ch4解的存在性與連續(xù)性

1、第四章 解的存在性與連續(xù)性4.1 4.1 連續(xù)性的概念連續(xù)性的概念4.1.2 4.1.2 對應的連續(xù)性對應的連續(xù)性下面是對教材進行部分替換的內容及相關插補內容集值映射集值映射集值映射是經濟學為自己創(chuàng)造的一種分析工具，主要用于研究需求與供給問題。與通常的映射相比，集值映射是取值為集合的映射，它反映的是元素與集合之間的某種對應關系。事實上，多值函數就是集值映射的一種形式。帶歧視的價值函數就是一種集值映射。消費預算、需求、供給其實也都是集值映射，甚至連經濟系統本身也可以看成是一種集值映射。現實經濟生活中，集值映射也是多見的。比如，消費選擇。消費者往往因為百貨商店的好多西太多而眼花繚亂，做不出唯一的選

2、擇：這件東西好，那件東西也好，買其中哪一個都行。這樣，這件東西和那件東西都成為他需要且能夠購買的商品，但只能購買其中之一。這種現象就是集值映射的一個典型事例：選擇的不唯一性。又如，拋物線 y = 4x 所表達的變量 y與x之間的關系就是集值映射： 。關于集值映射，討論起來比單值映射要復雜得多。這里，我們只討論與本課程有關的內容：集值映射的連續(xù)性。)2,2)(0(xxyx(一) 集值映射的概念定義定義 設 e 和f 是兩個集合。如果對 e 中每個元素x，都有f 的子集 (x) 與之對應，則稱這種對應關系為從 e 到f 的集值映射(set-valued map)，簡稱集映，記作 : e f 。如果

3、集映 : e f 滿足條件：(xe )( (x) )，則稱 : e f 為對應(correspondence)。x (x) : e fef 補例補例1( (預算對應預算對應) ) 集合 e, f 如下: e = ( p1, p2, r): ( p10)( p2 0)(r0) f = ( x1, x2): (x10)(x2 0) 對任何 ( p1, p2, r)e，與之對應的f 的子集為 ( p1, p2, r) = (x1, x2)f : ( p1 x1 + p2 x2 r)。則這一對應關系就是一個集值映射，并且是對應。我們可把 ( p1, p2)看成價格向量，把 r 看成收入，則集合 ( p

4、1, p2, r)就是支付不超過收入的消費方案的全體預算集合，因而通常把 : e f 稱為預算對應。 ( p1, p2, r) 補例補例2( (集族集族) ) 通常的集族就是集映。比如，集族zttt 實際上是集映 z: t f，其中 f = zt，z(t) = zt(對一切 tt )。ttx1x21.看作多值映射 通常所說的映射或函數都是單值映射或單值函數，即對于自變量的每一種取值，與之對應的因變量的值是唯一的；集值映射則實際上是多值映射，即對于自變量的每一種取值，與之對應的因變量的值是可能有多個，甚至無限多個。 補例補例3. 帶人員歧視的價值函數帶人員歧視的價值函數 用 x 表示商品q的數量

5、，則下述集值映射 v : r+ r+ 是一種帶有人員歧視的價值函數：v(x) = x, exp(x) 1, ln(1+ x) ( x 0)。這是一個多值函數。 補例補例4. 反三角函數反三角函數 經常使用的各種反三角函數都是多值函數，它們就是集值映射。比如，反正玄函數 arcsin(x) 是從閉區(qū)間 1, 1 到實數直線 r 的集值映射，即arcsin : 1,1r, 其中 arcsin(x) = 2k +arcsin(x): k = 0, 1, 2, (2k+1) arcsin(x): k = 0, 1, 2,。vxxv(x)xexp(x)1ln(1+ x)xxyarcsin(x) 補例補例

6、5. 經濟系統集映經濟系統集映 社會經濟系統本身就是一個集值映射 : ar，其中 a代表經濟人的全體，r 是商品空間， (a)代表經濟人 a 的選擇集合(商品空間的子集)。經濟制度及法律法規(guī)都能通過集映 : ar 得以體現。2.看作單值映射 也可把集值映射 : ef 看成是一種單值映射 : ep(f )，其中p(f )是 f 的冪集(power set)，即由集合 f 的一切子集所構成的集合。這種看法的好處在于, 與 x 對應的元素 (x)被作為一個整體來看待，而不再像多值映射那樣把 (x)看成是對應于x的多個元素。 當把集值映射看成是單值映射時, 集值映射 : ef 實際上代表著一個集族 (

7、x)xe，也就是說，集映 : ef 與集族 (x)xe是同一回事。fe (x)x 把集值映射看成單值映射的又一個好處在于, 當e和f為拓撲空間時, 我們可以給冪集合p(f )賦予適當的拓撲結構，從而可以像單值映射那樣來研究集映。 都是本質集映, 例4是非本質集映。對于本質性集映，采用如下的集合論觀點看待，將會給分析帶來方便。3.看作乘積集合的子集g( )x (x)fe集映的圖像集映的圖像 集映 : e f 可看作是積集合 ef 的子集g( ) = (x, y)ef : y (x)。 集合g( )叫做 : ef 的圖像。不同集映的圖像是不同的，集映與它的圖像之間一一對應，因而可把集映與其圖像等同

8、看待。 這樣, 單值映射 f 與集值映射 表達了相同的對應關系?？梢姡覀兏鼞撽P心本質性集值映射 : e f：存在x, ye使得 x y且 (x) ( y) 。前面的例1,3,5 集值映射可以區(qū)分為本質性和非本質性兩類。所謂非本質集映 : e f，是指 (x) (xe)互不相交，即對任何x, ye，只要xy，就有 (x) ( y) = 。事實上，如果 : e f 是非本質集映, 那么 必然是某個單值映射 f :fe 的逆映射：(zf )(x = f ( z)( z (x)。 (x) ( y)xyef非本質集映非本質集映(二) 各種類型的集映 e 的子集 k 在集映 : e f 下的像集是指集

9、合 k ： k = (x) = yf : (xk )( y (x)1. 開集映：設 e與f 都是拓撲空間。如果集映 : e f 的圖像g( )是積空間 ef 的開子集，則稱 : e f 為開集映。2. 閉集映：設 e與f 都是拓撲空間。如果集映 : e f 的圖像g( )是積空間 ef 的閉子集，則稱 : e f 為閉集映。3. 開集值集映：設 e 為任一集合，f 為拓撲空間。如果對任何xe， (x)都是 f 的開子集，則稱 : e f 為開集值集映。4. 閉集值集映：設 e 為任一集合，f 為拓撲空間。如果對任何xe， (x)都是 f 的閉子集，則稱 : e f 為閉集值集映。5. 緊集值集

10、映：設 e 為任一集合，f 為拓撲空間。如果對任何xe， (x)都是 f 的緊子集，則稱 : e f 為緊集值集映。6. 凸集值集映：設 e 為任一集合，f 為向量空間。如果對任何xe， (x)都是 f 的凸子集，則稱 : e f 為凸集值集映。xk教材上相關表述為教材上相關表述為：(三) 集映的連續(xù)性設 e和f 都是拓撲空間， : e f， xe。（1） 上半連續(xù)性上半連續(xù)性 在點 x 處上半連續(xù)是指：對于f 中 任何包含 (x) 的開集 v ，都存在 x 的鄰域 u 使得 u v 。 如果 在 e 中的任何點處都是上半連 續(xù)的，則稱 是上半連續(xù)的集映。（2） 下半連續(xù)性下半連續(xù)性 在點 x

11、 處下半連續(xù)是指：對于f 中 任何與 (x)相交的開集v ，都存在 x 的鄰 域 u 使得 (zu )( (z)v )。 如果 在 e 中的任何點處都是下半連 續(xù)的，則稱 是下半連續(xù)的集映。ef (x)uv上半連續(xù)下半連續(xù)xfeu (x)xv（3） 連續(xù)性連續(xù)性 在點 x 處連續(xù)是指 在點 x 處既上半連續(xù)，又下半連續(xù)。如果 在 e 中的任何點處都是連續(xù)的，則稱 是連續(xù)集映。vuu集映的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性都是函數連續(xù)性概念的推廣。 的上半連續(xù)性是說 (x)不會突然膨脹框得??； 的下半連續(xù)性是說 (x)不會陡然收縮粘得住。 1.集映連續(xù)性的意義v (x) (x)xx粘不住框不住在在 x 處上

12、半連續(xù)，但不下半連續(xù)處上半連續(xù)，但不下半連續(xù)在在 x 處下半連續(xù)，但不上半連續(xù)處下半連續(xù)，但不上半連續(xù) 定理定理 設 : e f，xe，e r ，f r ，m 和 n 都為自然數。(1) 如果 是閉集值集映且 e 是有界的，則 上半連續(xù)當且僅當當且僅當 是閉集映。(2) 若 (x) 是閉集且存在 x 的鄰域u 使得 u 有界，則 在 x 處上半連續(xù)當且僅當當且僅當對任何 yf 以及任何序列 xke 和 yk (xk) ( k = 1,2,)，當 xk x ( k ) 且 yk y ( k ) 時，y (x)。(3) 在 x 處下半連續(xù)當且僅當當且僅當對任何 y (x) 及 e 中任何收斂于 x

13、 的序列xk ( k = 1,2,)，存在f 中收斂于 y 的序列 yk (k = 1,2,)，使得 yk (xk) ( k = 1,2,)。(4) 如果 是閉集值的閉集映且存在 x 的鄰域u 使得 u 有界，則 在 x 處上半連續(xù)。2.集映連續(xù)性的判別nm本定理為研究集值映射提供了極大的便利。其中的結論(4)直接從(1)得到，它比(1)可能更為有用；結論(2)和(3)分別是集值映射的上、下半連續(xù)性的極限形式，因而也是很有用的。補例補例6 6 移動通訊需求移動通訊需求 信息技術的發(fā)展讓移動通訊業(yè)在全球迅速興盛起來，尤其在中國，手機的使用已經比較普遍，移動通訊需求相當旺盛，移動通訊業(yè)的競爭也迅速

14、展開。我們來分析一下移動通訊市場的需求情況。 假定市場上有兩家公司a和b(比如聯通公司和移動公司)在提供移動通訊業(yè)務，這兩家公司提供的服務相同，但話費可能不同。 p1：公司a的話費(元/分種)。 p2：公司b的話費(元/分種)。 x1：消費者使用公司a的網絡通話的時間(分鐘)。 x2：消費者使用公司b的網絡通話的時間(分鐘)。 r：消費者準備用于支付話費的收入。 這樣，平面上的向量 x = (x1, x2) 表示著消費者的通話選擇：使用網絡a通話 x1分鐘，使用網絡b通話 x2分鐘。這樣，消費者的消費集合便為 。2rx(1) (1) 偏好關系的確定偏好關系的確定 既然兩家提供的服務完全相同，那

15、么在不考慮價格因素的情況下，不論是用誰的網絡服務，對消費者來說都是一樣的。因此，消費者移動通訊消費方案的評價可以按照通話總時間多少來確定的： (x, yx)( (x1, x2) ( y1, y2) (x1+x2 y1+y2) )即消費者認為，移動通話的總時間越多越好。這樣，無差異曲線為直線：x1 + x2 = u (0 u p2、p1 p2的情形(2) p1 0和價格 ，選一個開球v使得 。則對包含 p的任何開集u以及u中這樣的點 p = ( p1, p2)：p1 p2，都有d( p, r)v = 。故d( p, r)在( p, r)處不是下半連續(xù)的。(3) (3) 移動通訊需求的上半連續(xù)性和非下半連續(xù)性移動通訊需求的上半連續(xù)性和非下半連續(xù)性 移動通訊消費者明顯地滿足需求上半連續(xù)性定理的條件，因此移動通訊需求集映 d( p, r)是上半連續(xù)的。但它不是下半連續(xù)的，這一事實的證明思路是去證明在 p1 = p2 0 的地方d( p, r)不下半連續(xù)。x1x2orpdv),(o0),(00ppp),(&)(2rpdvrv