第三節(jié)分部積分法60167

1、vduuvudv dxuvuvdxvu 則則 ,具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)xvxu證明證明 vuvuuv vuuvvu 定理定理也記為也記為本法主要解決兩個(gè)不同類型的函數(shù)的乘積的積分本法主要解決兩個(gè)不同類型的函數(shù)的乘積的積分.沒變沒變后變：求導(dǎo)數(shù)后變：求導(dǎo)數(shù)先變：求原函數(shù)先變：求原函數(shù) xdxxcosxxd sin xdxxxsinsincxxx cossin解解 xdxxcos求求例例2 dxxex求求例例1解解.cexedxexedxxexxxxx.22222222dxexxeedxxedxxexxxxxxevxu ，設(shè)設(shè)，則，則另解：另解：dxv 注注1 應(yīng)用分部積分法時(shí)，應(yīng)用分部

2、積分法時(shí)，恰當(dāng)選取恰當(dāng)選取u和和dv是是關(guān)鍵關(guān)鍵，應(yīng)用時(shí)應(yīng)考慮以下兩點(diǎn)：應(yīng)用時(shí)應(yīng)考慮以下兩點(diǎn)： ;1要要容容易易求求出出v 容易積出。要比udvvdu2vuuvvu更復(fù)雜duvvuuv xdxxln2ln2xxd dxxxxx12ln222 xdxxx21ln22cxxx 4ln222 xdxxln求求例例3解解 xdxxarctan2arctan2xxd dxxxxx2221122arctan dxxxx2211121arctan2 cxxxx arctan21arctan22 cxxx 21arctan1212 xdxxarctan求求例例4解解 dxexx2)1(xedx2 dxxeex

3、xx22 cexeexxxx 22 cxxex 222.tan)2( ;)1(22dxxxdxexx 求求練練1解解 22dxeexxxdxxx 2tan)2(dxxxx )sec(2221)(tanxxdx 221tantanxdxxxx cxxxx 221|cos|lntan若被積函數(shù)是如下形式，則若被積函數(shù)是如下形式，則反三對(duì)三指冪注注2冪冪三指先變先變 xdxarccos21arccosxxdxxx cxxx 2121arccos221121arccosxxdxxcxxx 21arccos xdxarccos求求例例6解解注注3xdxln求例例5解解xdxlnxxdxxlnlndxxx

4、 lncxxxlnxxdxxarccosarccos若被積函數(shù)是如下形式，則若被積函數(shù)是如下形式，則后變反三對(duì)先變；1 xdxexsinxdexcosxxdexexx coscosxdexexxsincos xdxexexexxxsin sincos cxxexdxexx cossin21sin便便得得并并兩兩端端同同除除以以移移到到等等號(hào)號(hào)左左端端去去把把 , 2 , sindxxex xdxexsin求求例例7解解注注4 每次使用公式，先變者一致；每次使用公式，先變者一致； 兩次使用分部積分公式；兩次使用分部積分公式； 若被積函數(shù)是：指若被積函數(shù)是：指* *三角，則三角，則 解方程，不能連

5、等。解方程，不能連等。 xdx3sec xxd tansecxxdxxx 2tansectansec xdxxxx 1secsectansec2 xdxxxx secsectansec3xxxxdxxtanseclnsectansec3 cxxxxxxd tanseclntansec21sec3整整理理得得移移到到等等式式左左端端把把 , sec3dxx xdx3sec求求練練2解解 , tx 令令于于是是則則 ,2 ,2tdtdxtx dxex dttet2 ctet 12 cxex 12 dxex求求例例8解解換元法與分部法兼用之舉例：換元法與分部法兼用之舉例： dxx1ln1求練練3 xdxx2sin2 dxx2arcsin3注注5。函數(shù)選作，而把排在后面的那類那類函數(shù)選作順序），把排在前面的冪、三、指的的順序（即“反、對(duì)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)”、數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時(shí)，可按照“反三角函與選擇vuvu例例9 已知已知2xe是是 xf的一個(gè)原函數(shù)，求的一個(gè)原函數(shù)，求 .dxxfx 222xxxeexf xfxddxxfx dxxfxxfceexxx2222解解 由題意知：由題意知： cedxxfx2求求例例10 設(shè)設(shè) ,arcsincxdxxxf .1 dxxf