第五節(jié)極限運算法則

1、第五節(jié)極限運算法則第五節(jié)極限運算法則一極限運算法則一極限運算法則二極限的不等性二極限的不等性三求極限方法舉例三求極限方法舉例四小結與思考判斷題四小結與思考判斷題定理定理1. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中則則設設證.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0.)(,)( 其中其中bxgaxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則, ,得得極限的四則運算法則一、極限的運算法則. 0)()()(baxgxf 成立.成立.)1()()()(baxgxf abba )( )(ba.

2、 0(2)成立.(2)成立.baxgxf )()(baba )( bbab. 0 ab, 0, 0 b 又又, 0 ,00時時當當 xx,2b bbbb21 b21 推論1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 2,21)(2bbb ,2)(12bbb 故故有界，有界，(3)成立.(3)成立.定理定理1 1給出了極限的四則運算法則，它可以推廣到給出了極限的四則運算法則，它可以推廣到ab

3、或或以及（以及（3）中的某些情形：）中的某些情形：（1）當時，而）當時，而時，ab)()(limxgxf（2 2）當時，而時，）當時，而時，a0b)()(limxgxf（3 3）當時，而時，）當時，而時，ab)()(limxgxf（4 4）當時，而時，）當時，而時，ab0)()(limxgxf（5 5）當時，而時，）當時，而時，0b0a)()(limxgxf關于數(shù)列極限也有類似的四則運算法則關于數(shù)列極限也有類似的四則運算法則定理2（復合函數(shù)的極限運算法則）設函數(shù)是由函數(shù)與)(xfy )(ufy )(xu 復合而成，)(xfy 在點的某去0 x心鄰域內有定義若0)(lim0uxxx aufuu)

4、(lim,0且存在，當時，00 ),(000 xux有0)(ux 則aufxfuuxx)(lim)(lim00 證按函數(shù)極限的定義，需要證：對任意的按函數(shù)極限的定義，需要證：對任意的0 0 00 xx axf)(，存在存在，當當由于由于，對任意，對任意，存在，存在aufuu)(lim00 0 當時，當時， 00uu auf)(又由于又由于,)(lim00uxxx 對上面得到的對上面得到的，0 存在存在01 00 xx，當時，當時， 0)(ux由條件當時，由條件當時，),(000 xux0)(ux 取取,min10 ，則當，則當時，時， 00uu 0)(ux0)(0ux 及及同時成成立即同時成成

5、立即 0)(0ux成立，從而成立，從而 aufaxf)()(成立成立此定理給出了求復合函數(shù)的極限的公式此定理給出了求復合函數(shù)的極限的公式)(lim)(lim00ufxfuuxx 二、極限的不等性證明：令證明：令 0)()()( xgxfxf根據(jù)保號性定理，有根據(jù)保號性定理，有0)()(lim)(lim xgxfxf從而，從而，0)(lim)(lim baxgxf即即.ba baxgxfbxgaxf 則有則有且且若若)()(,)(lim,)(lim定理3例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2

6、222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 三、求極限方法舉例小結:則有則有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則有則有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xqxqxpxf)(lim)(lim)(lim000 xqxpxfxxxxxx )()(00 xqxp ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應用可用推廣的則商的法則不能應用可用推廣的若若 xq公式求公式求例2

7、.12lim21 xxx求求解（也可由無窮小的倒數(shù)為無窮大來求）（也可由無窮小的倒數(shù)為無窮大來求）22lim1 xx0)1(lim,21 xx商的法則不能用，但由推廣的公式（商的法則不能用，但由推廣的公式（5）可得）可得.12lim21 xxx例3求.93lim21xxx6131lim)3)(3(3lim93lim1121 xxxxxxxxx解當時，分子、分母的極限都為零，此時當時，分子、分母的極限都為零，此時不能用極限的四則運算法則及推廣公式。而可用約不能用極限的四則運算法則及推廣公式。而可用約去無窮小因子的方法將函數(shù)變形后求極限去無窮小因子的方法將函數(shù)變形后求極限1x例4.147532li

8、m2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)例5求極限求極限2324123limxxxxx 解當時，分子分母都趨于無窮大，當時，分子分母都趨于無窮大，用無窮大因子去除分子分母，然后再求極限用無窮大因子去除分子分母，然后再求極限 x3x014123lim4123lim32232 xxxxxxxxxx例6求極限求極限1234lim222 xxxxx用去除分

9、子分母，然后求極限用去除分子分母，然后求極限解2x222212314lim1234limxxxxxxxxx也可利用例也可利用例5的結果求極限的結果求極限“非零無窮小的倒數(shù)為非零無窮小的倒數(shù)為無窮大無窮大”的結論得到例的結論得到例6的結果的結果綜合例綜合例4 4、例、例5 5、例、例6 6的結果，可有：的結果，可有：為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無窮小以分出無

10、窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例7求) 15()2(lim2432xxxxx5858lim) 15()2(lim662432 xxxxxxxx解例8求)21 (21lim222nnnn 解322) 1() 12)(1(61lim)21 (21lim2222 nnnnnnnnnnn例9求xxxarctanlim解當時，為無窮小，而是當時，為無窮小，而是xx1xarctan有界函數(shù)，所以有界函數(shù)，所以0arctanlimxxx例10).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解兩個單側極限為兩個單側極限為是函數(shù)的分段點是函數(shù)的分段點,0 x)

11、1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故1.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限; ;b.b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限; ;c.c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限; ;d.d.利用無窮小運算性質求極限利用無窮小運算性質求極限; ;e.e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限. .四、小結與思考判斷題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限

12、，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習習 題題._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxx