人教版高中數(shù)學選修11課時跟蹤檢測十二 拋物線的簡單幾何性質(zhì) Word版含解析

1、起課時跟蹤檢測（十二）拋物線的簡單幾何性質(zhì)層級一層級一學業(yè)水平達標學業(yè)水平達標1已知拋物線的對稱軸為已知拋物線的對稱軸為 x 軸，頂點在原點，焦點在直線軸，頂點在原點，焦點在直線 2x4y110 上，則此拋上，則此拋物線的方程是物線的方程是()ay211xby211xcy222xdy222x解析：解析：選選 c在方程在方程 2x4y110 中，中，令令 y0 得得 x112，拋物線的焦點為拋物線的焦點為 f112，0，即即p2112，p11，拋物線的方程是拋物線的方程是 y222x，故選，故選 c2過點過點(2,4)作直線作直線 l，與拋物線，與拋物線 y28x 只有一個公共點，這樣的直線只有

2、一個公共點，這樣的直線 l 有有()a1 條條b2 條條c3 條條d4 條條解析：解析：選選 b可知點可知點(2,4)在拋物線在拋物線 y28x 上，上，過點過點(2,4)與拋物線與拋物線 y28x 只有一個公只有一個公共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行3設設 o 為坐標原點，為坐標原點，f 為拋物線為拋物線 y24x 的焦點，的焦點，a 為拋物線上一點，若為拋物線上一點，若oa af4，則點，則點 a 的坐標為的坐標為()a(2，22)b(1，2)c(1,2)d(2,2 2)解析：解析：選選 b設設

3、 a(x，y)，則，則 y24x，又又oa (x，y)，af(1x，y)，所以所以oa afxx2y24由由可解得可解得 x1，y24過點過點(1,0)作斜率為作斜率為2 的直線，與拋物線的直線，與拋物線 y28x 交于交于 a，b 兩點，則弦兩點，則弦 ab 的長為的長為()a2 13b2 15c2 17d2 19解析：解析：選選 b設設 a(x1，y1)，b(x2，y2)由題意知由題意知 ab 的方程為的方程為 y2(x1)，即即 y2x2由由y28x，y2x2，得得 x24x10，x1x24，x1x21|ab| 1k2 x1x2 24x1x2 14 164 5122 155設設 f 為拋

4、物線為拋物線 c：y23x 的焦點，過的焦點，過 f 且傾斜角為且傾斜角為 30的直線交的直線交 c 于于 a，b 兩點，兩點，o 為坐標原點，則為坐標原點，則oab 的面積為的面積為()a3 34b9 38c6332d94解析：解析：選選 d易知拋物線中易知拋物線中 p32，焦點，焦點 f34，0，直線，直線 ab 的斜率的斜率 k33，故直線，故直線 ab的方程為的方程為 y33x34 ，代入拋物線方程，代入拋物線方程 y23x，整理得，整理得 x2212x9160設設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 x1x2212由拋物線的定義可得弦長由拋物線的定義可得弦長|ab|x1x2p

5、2123212，結(jié)合圖，結(jié)合圖象可得象可得 o 到直線到直線 ab 的距離的距離 dp2sin 3038，所以，所以oab 的面積的面積 s12|ab|d946直線直線 yx1 被拋物線被拋物線 y24x 截得的線段的中點坐標是截得的線段的中點坐標是_解析：解析：將將 yx1 代入代入 y24x，整理，得，整理，得 x26x10由根與系數(shù)的關系，得由根與系數(shù)的關系，得 x1x26，x1x223，y1y22x1x2226222所求點的坐標為所求點的坐標為(3,2)答案：答案：(3,2)7過拋物線過拋物線 y24x 的焦點作直線交拋物線于點的焦點作直線交拋物線于點 a(x1，y1)，b(x2，y2

6、)，若，若|ab|7，則則ab 的中點的中點 m 到拋物線準線的距離為到拋物線準線的距離為_解析解析： 拋物線的焦點為拋物線的焦點為 f(1,0)， 準線方程為準線方程為 x1 由拋物線的定義知由拋物線的定義知|ab|af|bf|x1p2x2p2x1x2p，即，即 x1x227，得，得 x1x25，于是弦，于是弦 ab 的中點的中點 m 的橫坐的橫坐標為標為52因此，點因此，點 m 到拋物線準線的距離為到拋物線準線的距離為52172答案：答案：728過拋物線過拋物線 x22py(p0)的焦點的焦點 f 作傾斜角為作傾斜角為 30的直線，與拋物線分別交于的直線，與拋物線分別交于 a，b兩點兩點(

7、點點 a 在在 y 軸左側(cè)軸左側(cè))，則，則|af|fb|_解析解析： 由題意可得焦點由題意可得焦點 f0，p2 ， 故直線故直線 ab 的方程為的方程為 y33xp2， 與與 x22py 聯(lián)立得聯(lián)立得 a，b 兩點的橫坐標為兩點的橫坐標為 xa33p，xb 3p，故故 a33p，16p，b 3p，32p，所以所以|af|23p，|bf|2p，所以，所以|af|bf|13答案：答案：139已知拋物線已知拋物線 y26x，過點，過點 p(4,1)引一弦，使它恰在點引一弦，使它恰在點 p 被平分，求這條弦所在的直被平分，求這條弦所在的直線方程線方程解：解：設弦的兩個端點為設弦的兩個端點為 p1(x1

8、，y1)，p2(x2，y2)p1，p2在拋物線上，在拋物線上，y216x1，y226x2兩式相減得兩式相減得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入，代入得得 ky2y1x2x13直線的方程為直線的方程為 y13(x4)，即，即 3xy11010已知直線已知直線 l 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 y24x 的焦點的焦點 f，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于 a，b 兩點兩點(1)若若|af|4，求點，求點 a 的坐標；的坐標；(2)求線段求線段 ab 的長的最小值的長的最小值解解：由由 y24x，得得 p2，其準線方程為其準線方程為 x1，焦點焦點 f(1,0)設設 a(x1，y1)，

9、b(x2，y2)(1)由拋物線的定義可知由拋物線的定義可知， |af|x1p2， 從而從而 x1413 代入代入 y24x， 解得解得 y12 3點點 a 的坐標為的坐標為(3,2 3)或或(3，2 3)(2)當直線當直線 l 的斜率存在時，的斜率存在時，設直線設直線 l 的方程為的方程為 yk(x1)與拋物線方程聯(lián)立，與拋物線方程聯(lián)立，得得yk x1 ，y24x，消去消去 y，整理得，整理得k2x2(2k24)xk20直線與拋物線相交于直線與拋物線相交于 a，b 兩點，兩點，則則 k0，并設其兩根為，并設其兩根為 x1，x2，x1x224k2由拋物線的定義可知，由拋物線的定義可知，|ab|x

10、1x2p44k24當直線當直線 l 的斜率不存在時的斜率不存在時，直線直線 l 的方程為的方程為 x1，與拋物線相交于與拋物線相交于 a(1,2)，b(1，2)，此時此時|ab|4，|ab|4，即線段，即線段 ab 的長的最小值為的長的最小值為 4層級二層級二應試能力達標應試能力達標1邊長為邊長為 1 的等邊三角形的等邊三角形 aob，o 為坐標原點，為坐標原點，abx 軸，以軸，以 o 為頂點且過為頂點且過 a，b的拋物線方程是的拋物線方程是()ay236xby236xcy236xdy233x解析解析：選選 c設拋物線方程為設拋物線方程為 y2ax(a0)又又 a32，12 (取點取點 a

11、在在 x 軸上方軸上方)，則有則有1432a，解得，解得 a36，所以拋物線方程為，所以拋物線方程為 y236x故選故選 c2過拋物線過拋物線 y24x 的焦點的焦點，作一條直線與拋物線交于作一條直線與拋物線交于 a，b 兩點兩點，若它們的橫坐標之若它們的橫坐標之和等于和等于 5，則這樣的直線，則這樣的直線()a有且僅有一條有且僅有一條b有兩條有兩條c有無窮多條有無窮多條d不存在不存在解析解析： 選選 b設設 a(x1， y1)， b(x2， y2)， 由拋物線的定義由拋物線的定義， 知知|ab|x1x2p527 又又直線直線 ab 過焦點且垂直于過焦點且垂直于 x 軸的直線被拋物線截得的弦長

12、最短，且軸的直線被拋物線截得的弦長最短，且|ab|min2p4，所以這，所以這樣的直線有兩條故選樣的直線有兩條故選 b3直線直線 ykx2 交拋物線交拋物線 y28x 于于 a，b 兩點，若兩點，若 ab 中點的橫坐標為中點的橫坐標為 2，則，則 k()a2 或或2b1 或或1c2d3解析：解析：選選 c由由y28x，ykx2，得得 k2x24(k2)x40又由又由16(k2)216k20，得得 k1則由則由4 k2 k24，得，得 k2故選故選 c4已知拋物線已知拋物線 c：y28x 與點與點 m(2,2)，過，過 c 的焦點且斜率為的焦點且斜率為 k 的直線與的直線與 c 交于交于 a，b

13、 兩點，若兩點，若ma mb 0，則，則 k()a12b22c 2d2解析解析： 選選 d由題意可知拋物線由題意可知拋物線 c 的焦點坐標為的焦點坐標為(2,0)， 則直線則直線 ab 的方程為的方程為 yk(x2)，將其代入將其代入 y28x，得，得 k2x24(k22)x4k20設設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則則x1x24 k22 k2，x1x24.由由y1k x12 ，y2k x22 y1y2k x1x2 4k，y1y2k2x1x22 x1x2 4.ma mb 0，(x12，y12)(x22，y22)0(x12)(x22)(y12)(y22)0，即即 x1x22(x1x2)4

14、y1y22(y1y2)40由由解得解得 k2故選故選 d 項項5直線直線 yx3 與拋物線與拋物線 y24x 交于交于 a，b 兩點，過兩點，過 a，b 兩點向拋物線的準線作垂兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為線，垂足分別為 p，q，則梯形，則梯形 apqb 的面積為的面積為_解析解析： 由由y24x，yx3，消去消去 y 得得 x210 x90， 得得 x1 或或 9， 即即x1，y2或或x9，y6.所以所以|ap|10， |bq|2 或或|bq|10， |ap|2， |pq|8， 所以梯形所以梯形 apqb 的面積的面積 s1022848答案：答案：486頂點為坐標原點頂點為坐標原點，焦

15、點在焦點在 x 軸上的拋物線軸上的拋物線，截直線截直線 2xy10 所得的弦長為所得的弦長為 15，則拋物線方程為則拋物線方程為_解析：解析：設所求拋物線方程為設所求拋物線方程為 y2ax(a0)，聯(lián)立聯(lián)立y2ax，2xy10，得得 4x2(4a)x10，則則(4a)2160，得，得 a8 或或 a0)的焦點為的焦點為 f，直線，直線 y4 與與 y 軸的交點為軸的交點為 p，與，與 c 的交的交點為點為 q，且，且|qf|54|pq|(1)求求 c 的方程；的方程；(2)過過 f 的直線的直線 l 與與 c 相交于相交于 a，b 兩點兩點，若若 ab 的垂直平分線的垂直平分線 l與與 c 相

16、交于相交于 m，n 兩兩點，且點，且 a，m，b，n 四點在同一圓上，求四點在同一圓上，求 l 的方程的方程解：解：(1)設設 q(x0,4)，代入，代入 y22px 得得 x08p所以所以|pq|8p，|qf|p2x0p28p由題設得由題設得p28p548p，解得，解得 p2(舍去舍去)或或 p2所以所以 c 的方程為的方程為 y24x(2)依題意知依題意知 l 與坐標軸不垂直，與坐標軸不垂直，故可設故可設 l 的方程為的方程為 xmy1(m0)代入代入 y24x 得得 y24my40設設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則 y1y24m，y1y24故故 ab 的中點為的中點為 d(2m21,2m)，|ab| m21|y1y2| m21 y1y2 24y1y24(m21)又又 l的斜率為的斜率為m，所以所以 l的方程為的方程為 x1my2m23將上式代入將上式代入 y24x，并整理得并整理得 y24my4(2m23)0設設 m(x3，y3)，n(x4，y4)，則則 y3y44m，y3y44