培優(yōu)競賽答案解析

1、八年級數(shù)學(xué)提優(yōu)練習(xí)題參考答案與試題解析一 選擇題（共7小題）點，OP=OC，下面的結(jié)論： / APO+ / DCO=30 °厶OPC是等邊三角形； AC=AO+AP ;SABC=S四邊形 AOCP 其中正確的有（）個.A B .C D .考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì). 分析： 利用等邊對等角，即可證得：/APO= / ABO, / DCO= / DBO，貝U/ APO+ / DCO= / ABO+ / DBO= / ABD，據(jù)此即可求解； 證明/ POC=60。且OP=OC，即可證得 OPC是等邊三角形； 首先證明 OPABA CPE，

2、貝U AO=CE , AC=AE+CE=AO+AP . 過點C作CH丄AB于H，根據(jù)S四邊形aocp=Sa acp+Sa aoc，利用三角形的面積公式即可求解. 解答：解：連接OB,/ AB=AC , AD 丄 BC , BD=CD , / BAD=2 / BAC= X120 °60 ° OB=OC , / ABC=90 °-Z BAD=30 °/ OP=OC , OB=OC=OP , / APO= / ABO , / DCO= / DBO , / APO+ / DCO= / ABO+ / DBO= / ABD=30 ° 故正確；/ APC+

3、/ DCP+ / PBC=180 ° ° / APC+ / DCP=150 ° °/ APO+ / DCO=30 ° °/ OPC+ / OCP=120 ° ° / POC=180°-(/ OPC+ / OCP) =60 ° °/ OP=OC , OPC是等邊三角形；故正確；在AC上截取 AE=PA ,/ PAE=180°-Z BAC=60 ° APE是等邊三角形， / PEA= / APE=60 ° PE=PA , / APO+ / OPE=60

4、76;/ OPE+ / CPE=/ CPO=60 ° ° / APO= / CPE ,/ OP=CP ,在厶OPA和厶CPE中，PA二PE“ Zapo=Zc:pb，OF=CF OPAA CPE ( SAS), AO=CE , AC=AE+CE=AO+AP ;故正確；過點C作CH丄AB于H ,/ PAC=Z DAC=60 ° AD 丄 BC , CH=CD,- Saabc= AB?CH,S 四邊形 aocp=Saacp+Saaoc=AP?CH+OA?CD=AP?CH+ OA?CH=CH? (AP+OA ) =CH?AC ,222S22- Sa ABC =S 四邊形

5、AOCP；故正確.故選D.點評：本題考查了等腰 三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線.2.如圖，四邊形 ABCD是直角梯形，AB / CD , AD丄AB，點P是腰AD上的一個動點，要使 PC+PB最小，則點 P應(yīng)該滿足（）A . PB=PCB. PA=PDC. / BPC=90/ APB= / DPC考點：軸對稱-最短路線問題；直角梯形.專題：壓軸題；動點型.分析：首先根據(jù)軸對稱的知識，可知 P點的位置是連接點 B和點C關(guān)于AD的對稱點E與AD的交點，利用軸對 稱和對頂角相等的性質(zhì)可得.解答： 解：如圖，作點 C關(guān)于AD的對稱點E,連接BE交AD于P,連接CP.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得/ D

6、PC= / EPD, 根據(jù)對頂角相等知/ APB= / EPD, 所以/ APB= / DPC .故選D.BG - AC=CEBDG - S CDE =SaABC點評： 此題的關(guān)鍵是應(yīng)知點 P是怎樣確定的要找直線上一個點和直線同側(cè)的兩個點的距離之和最小，則需要利 用軸對稱的性質(zhì)進行確定.3.如圖， ABC是等腰直角三角形， DEF是一個含30°角的直角三角形，將 D放在BC的中點上，轉(zhuǎn)動 DEF ,DE, DF分別交AC , BA的延長線于E, G,則下列結(jié)論:AG=CE DG=DE其中總是成立的是（）D .A .B .C . 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：開放型.

7、分析： 連DA ,由厶ABC是等腰直角三角形，D點為BC的中點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD丄BC, AD=DC ,/ ACD= / CAD=45 °,得到/ GAD= / ECD=135 °,由/ EDF=90 °,根據(jù)同角的余角相等得到/仁/ 2，所以 DAG DCE , AG=EC , DG=DE，由此可分別判斷.解答:解：連DA，如圖， ABC是等腰直角三角形，D點為BC的中點， AD 丄 BC , AD=DC，/ ACD= / CAD=45 °/ GAD= / ECD=135 °又 DEF是一個含30°角的直角三角形, /

8、 EDF=90 ° / 1 = / 2, DAG DCE , ag=ec , dg=de，所以 正確;-AB=AC , BG - AC=BG - AB=AG=EC，所以正確;' bdg-cde=Sabdg - jadg=Saadb=abc 所以正確.故選B .Ax£點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng) 點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等也考查了等腰直三角形的性質(zhì)，特別是斜邊上的中線垂直斜邊并且等于斜邊的 半.4.如圖： ABC 中，/ ACB=90 ° / CAD=30 ° AC=BC=AD ,

9、CE 丄 CD，且 CE=CD，連接 BD , DE, BE,則下 列結(jié)論： / ECA=165 ° BE=BC ;AD丄BE; 0=1 .其中正確的是（）BDA . B .C .|D . 考點：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形.分析： 根據(jù)：/ CAD=30 ° AC=BC=AD，禾U用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出/ECA=165 °從而得證結(jié)論正確； 根據(jù)CE丄CD，/ ECA=165 °利用SAS求證 ACD BCE即可得出結(jié)論； 根據(jù)/ ACB=90 ° / CAD=3

10、0 ° , AC=BC ,利用等腰三角形的性質(zhì)和 ACD BCE ,求出/ CBE=30 ° ,然后即可得出結(jié)論； 過D作DM丄AC于M,過D作DN丄BC于N .由/ CAD=30 °可得CM=丄AC ,求證 CMD CND ,2可得CN=CM= >!aC= 2bc ,從而得出CN=BN .然后即可得出結(jié)論. 2 2解答：-解：/ CAD=30 ° ° AC=BC=AD , /-Z ACD= / ADC=三（180°- 30° =75° °2/ CE丄CD, /.Z DCE=90 ° ,Z

11、 ECA=165 ° 正確； / CE 丄 CD , Z ECA=165 ° （已證）， Z BAE= Z ECA -Z ACB=165 - 90=75 ° ,ACD BCE （ SAS）, BE=BC , 正確； tZ ACB=90 ° , Z CAD=30 ° , AC=BC , Z CAB= Z ACB=45 ° Z BAD= Z BAC -Z CAD=45 - 30=15 °/ ACD BCE, Z CBE=30 ° , Z ABF=45+30=75 ° , Z AFB=180 - 15 - 75

12、=90 ° AD 丄BE . 證明：如圖，過D作DM丄AC于M，過D作DN丄BC于N ./ CAD=30 ° 且 DM=丄AC ,2/ AC=AD，/ CAD=30 ° /-Z ACD=75 °/ NCD=90 °-Z ACD=15 ° Z MDC= Z DMC -Z ACD=15 ° CMD CND , CN=CM= 4C=BC ,2 2 CN=BN ./ DN 丄 BC , BD=CD . 正確.所以4個結(jié)論都正確.故選D.點評：此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角

13、三角形等知識點的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題.5.如圖，BC / AM , Z A=90 ° Z BCD=75 °點E在AB上， CDE為等邊三角形， BM交 CD于F,下列結(jié)論： Z ADE=45 ° AB=BC ,EF丄CD ,若Z AMB=30 °則CF=DF .其中正確的有（）A . B .C .|D . 考點：直角梯形；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析： 由BC / AM得Z CDA=105 °根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得ZCDE=60 °則Z EDA=105 ° -60

14、76;=45 °過C作CG丄AM，則四邊形 ABCG為矩形，于是Z DCG=90。-Z BCD=15 °而Z BCE=75 ° - 60°15 °易證得 Rt CBE 也 Rt CGD，貝U BC=CG，得到 AB=BC ;由于 AG=BC，而 AG 和D，貝U CF： FD=BC : MD 鬥，不 能得到F點是CD的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)則不能得到EF丄CD ;若/ AMB=30 °則Z CBF=30 °在Rt AMB中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BM=2AB，貝U BM=2BC ,易得Z BFC=75 &#

15、176; 所以 BF=BC，得 MF=BF，由 CB / AM 得 CF： FD=BF : MF=1，即可有 CF=DF .解答：解：T BC / AM , Z BCD+ Z CDA=180 ° tZ BCD=75 ° Z CDA=105 ° CDE為等邊三角形，/ CDE=60 °/ EDA=105 ° - 60°45 ° 所以 正確;過C作CG丄AM，如圖，/ A=90 °四邊形ABCG為矩形，/ DCG=90 °-Z BCD=15 °而厶CDE為等邊三角形，/ DCE=60 °

16、CE=CD ,/ BCE=75 ° -60°=15 ° Rt CBE也 Rt CGD , BC=CG, AB=BC，所以正確；/ AG=BC，而 AG 和D , CF: FD=BC : MD 為, F點不是CD的中點， EF不垂直CD，所以錯誤；若/ AMB=30 ° 則/ CBF=30 °在 Rt AMB 中，BM=2AB , BM=2BC ,/ BCD=75 ° / BFC=180 ° - 30° - 75 °75 ° BF=BC , MF=BF ,而 CB / AM , CF: FD=BF

17、 : MF=1 , CF=FD，所以正確.點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)：有一組對邊平行，另一組對邊不平行，且有一個直角也考查了矩形和等邊 三角形的性質(zhì)、含 30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì).6. 如圖，在 ABC中，AB=AC，/ BAC=90 °直角/ EPF的頂點 P是BC的中點，兩邊 PE、PF分別交 AB、AC 于點E、F,連接EF交AP于G .給出四個結(jié)論： AE=CF ;EF=AP ; EPF是等腰直角三角形；/ AEP= / AGF .其中正確的結(jié)論有（）AB P CA . 1 個B . 2 個C . 3 個|D . 4 個考點：全等三角形的判定

18、與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析： 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：AP丄BC, AP=BC,AP平分/ BAC .所以可證/ C= / EAP； / FPC= / EPA； AP=PC .即證得 APE與厶CPF全等.根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確.解答： 解：T AB=AC，/ BAC=90 °直角/ EPF的頂點P是BC的中點， AP 丄 BC , AP=?BC=PC,/ BAP= / CAP=45 ° / C.2/ APF+ / FPC=90° / APF+ / APE=90 °/ FPC=Z EPA. APE CPF (ASA ).AE=CF ;E

19、P=PF，即 EPF是等腰直角三角形； ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點， ap=2bc,2 EF不是 ABC的中位線， EF祺P，故錯誤；/ AGF= / EGP=180 °-Z APE -Z PEF=180。-/ APE - 45°,/ AEP=180 °-Z APE -Z EAP=180 °-Z APE - 45°, Z AEP= Z AGF .故正確的有、，共三個.因此選C.點評：此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強.7. 如圖，AM、BE是厶ABC的角平分線，AM 交BE于N , AL丄BE于F交BC于L,若Z ABC=2

20、 Z C,下列結(jié)論:BE=EC ;BF=AE+EF ;AC=BM+BL ;Z MAL=丄Z ABC，其中正確的結(jié)論是()4A考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)角平分線定義求出Z ABE= Z EBC= Z C,根據(jù)等角對等邊求出 BE=CE，即可判斷 ；2 2 2 2 2 2 2證厶ABE ACB ,推出AB =AE >AC ,求出AF =AB - BF =AE - EF ,把AB =AE代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判斷；延長 AB到N，使BN=BM ,連接MN ,證厶AMC AMN , AFB BLF ,推出AB=BL ,即可判斷； 設(shè)Z LA

21、C=x ° , Z LAM=y ° 則Z BAM= Z MAC= (x+y) ° ,證厶 AFB BLF 推出 Z BAF= Z BLF ,Z BAF= Z BAM+ Z MAL=x °+y °+y ° Z BLA= Z C+ Z LAC= Z C+x °得出方程 x°+y °+y ° Z C+x ° 求出 Z C=2y ° , Z ABC=4y ° ,即可判斷.解答：解：T BE是Z ABC的角平分線, Z EBC= Z ABE=丄 Z ABC ,2tZ ABC=

22、2 Z C , Z ABE= Z EBC= Z C , BE=EC , 正確；tZ ABE= Z ACB , Z BAC= Z EAB ABE ACB ,塑=塑 AB 衛(wèi)，2 AB =AE >AC , 在 Rt AFB 與 Rt AFE 中，由勾股定理得：AF2=AB2- BF2=AE2- EF2,2把AB =AE >AC代入入上式得：2 2 AE >AC - BF =AE - EF ,小222222貝V BF =AC >AE - AE +EF =AE X (AC - AE ) +EF =AE XEC+EF =AE XBE+EF , oo即(BE - EF) =AE X

23、BE+EF ,2 2 2 BE2 - 2BE 疋F+EF2=AE >BE+EF，2 BE - 2BE 疋F=AE >BE , BE - 2EF=AE ,BE - EF=AE+EF ,即BF=AE+EF ,正確；延長AB到N 使BN=BM，連接MN 則 BMN為等腰三角形， / BN M= / BMN : BN M 的一個外角/ ABC= / BN M+ / BM N=2 / BN M ,則/ BN M= / ACB ,在厶AMC與厶AMN '中Zmac=Zman'1 Zc=Zn" ，M二馴 AMC AMN ' (AAS ), AN =AC=AB+B

24、N =AB+BM ,又 AL 丄 BE , / AFB= / LFB=90 °在厶AFB與厶LFB中，rZAFB=ZLFB-BF二BF,lZABF=ZLBF AFB BLF (ASA ), AB=BL ,貝U AN =AC=AB+BN =AB+BM=BM+BL ，即 AC=BM+BL ，正確； 設(shè)/ LAC=x ° / LAM=y °/ AM 平分/ BAC , / BAM= / MAC= ( x+y) °/ AFB BLF , / BAF= / BLF ,/ BAF= / BAM+ / MAL=x °y °y ° / BL

25、A= / C+Z LAC= / C+x ° x+y +y =Z C+x ,Z C=2y°,vZ ABC=2 Z C, Z ABC=4y °即 Z MAL= Z ABC ,4正確.故選c .點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜 合運用.二解答題(共8小題)&如圖，在 ABC中，AB=AC , E在線段AC上，D在AB的延長線，連 DE交BC于F,過點E作EG丄BC于G (1) 若/ A=50 ° / D=30 ° 求/ GEF 的度數(shù)；(2) 若 BD=CE，求證：FG=BF+

26、CG 考點：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：(1)根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出/C,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/CEG，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出/CEF，然后計算即可得解；(2)過點E作EH / AB交BC于H,根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/ABC= / EHC，內(nèi)錯角相等可得/ D= / FEH，然后求出/ EHC= / C,再根據(jù)等角對等邊可得EC=EH，然后求出BD=EH，再利用 角角邊”證明 BDF和 HEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=FH ,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CG=HG，即可得證.解答： (

27、1)解：/ A=50 °/ C=2 (180°/ A)=丄(180°- 50° =65°2 2/ EG 丄 BC ,/ CEG=90 °-Z C=90 °- 65°25 °V/ A=50 ° / D=30 °/ CEF= / A+ / D=50 °30 °80 °,/ GEF= / CEF -/ CEG=80 ° - 25°=55 °(2)證明：過點 E作EH / AB交BC于H , 則/ ABC= / EHC,/ D= /

28、FEH ,/ AB=AC ,/ ABC= / C,/ EHC= / C, EC=EH,/ BD=CE , BD=EH ,在厶BDF和厶HEF中，Nd 二/FEH' ZEFH=ZDFB ,lbd=eh BDF HEF ( AAS ), BF=FH ,又 EC=EH , EG 丄 BC , CG=HG, FG=FH+HG=BF+CG .點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，等 角對等邊的性質(zhì)，(2)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.29.如圖，直角坐標系中，點B(a,0),點C(0,b),點A在第一象限.若a, b滿足(a-t)

29、+|b-t|=0(t> 0).(1) 證明：OB=OC ;(2) 如圖1,連接AB，過A作AD丄AB交y軸于D，在射線 AD上截取AE=AB，連接CE , F是CE的中點，連 接AF , OA，當(dāng)點A在第一象限內(nèi)運動(AD不過點C)時，證明：/ OAF的大小不變；(3) 如圖2, B 與 B關(guān)于y軸對稱，M在線段BC 上, N在CB 的延長線上，且BM=NB 連接MN交x軸于點T, 過T作TQ丄MN交y軸于點考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；坐標與圖形性質(zhì)；等腰直角 三角形.分析:解答:(1) 根據(jù)a=t, b=t，推出a=b即可；(2) 延長 A

30、F 至 T,使 TF=AF，連接 TC, 丁0,證厶TCF AEF，推出 CT=AE，/ TCF= / AEF，再證 TCO ABO，推出TO=AO，/ TOC= / AOB，求出 TAO為等腰直角三角形即可；(3) 連接 MQ , NQ, BQ, B 'Q,過 M 作 MH / CN 交 x 軸于 H，證 NTB 噬 MTH，推出 TN=MT，證 NQB MQB，推出/ NB 'Q=/CBQ，求出 BQB是等腰直角三角形即可.2(1) 解：T a, b 滿足(a-t) +|b - t|=0 (t> 0). a- t=0 , b- t=0,a=t, b=t, a=b, B

31、 (t, 0),點 C ( 0, t) OB=OC ;(2) 證明：延長 AF至T,使TF=AF，連接TC, TO, F為CE中點， CF=EF,在厶TCF和厶AEF中©F 二 EF ZCFT=ZEFAFT=AF TCF AEF ( SAS), CT=AE，/ TCF= / AEF , TC / AD , / TCD= / CDA ,/ AB=AE , TC=AB ,/ AD 丄 AB , OB 丄 OC , / COB= / BAD=90 ° / ABO+ / ADO=180 ° °/ ADO+ / ADC=180 ° ° / AD

32、C= / ABC ,/ TCD= / CDA , / TCD= / ABO ,在厶TCO和厶ABO中TC 二 AB-ZTC0=ZAB0、0C 二 OB TCO ABO ( SAS), TO=AO , / TOC= / AOB ,/ AOB+ / AOC=90 ° ° / TOC+ / AOC=90 ° TAO為等腰直角三角形， / OAF=45 °(3) 解：連接 MQ , NQ, BQ, B 'Q ,過 M 作 MH / CN 交 x 軸于 H , B和B關(guān)于關(guān)于y軸對稱，C在y軸上， CB=CB / CBB = / CBB ,/ MH / C

33、N , / MHB= / CBB ,/ MHB= / CBB :.MH=BM ,/ BM=B 'N, MH=B N,/ MH / CN,/ NB T= / MHT , 在 NTB和 MTH中2肘 tZmht-ZB; TNZJITHE N=MH NTB '也 MTH , TN=MT，又 TQ丄MN , MQ=NQ ,/ CQ垂直平分BB BQ=B Q,在NQB和厶MQB中® N=BMB7 Q=BQtNQ=MQ NQB J MQB ( SSS), / NB Q= / CBQ , 而/ NB 'Q+ / CB Q=180 ° / CBQ+ / CB Q=1

34、80 ° / B 'CB+ / B QB=180 °, 又/ B CB=90 ° / B QB=90 ° BQB是等腰直角三角形， OQ=OB=t , Q (0, t).A (4, 4),點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16.10.如圖1,在平面直角坐標系中，點點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判 定，相等垂直平分線，偶次方，絕對值等知識點的綜合運用.(1) Z COA 的值為 45°(2) 求/ CAB的度數(shù)；(3) 如圖2,點M、N分別是x軸正半軸及

35、射線 OA上一點，且 OH丄MN的延長線于 H，滿足/ HON= / NMO , 請?zhí)骄績蓷l線段MN、OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì).(1) 過A作AN丄OC于N , AM丄OB于M，得出正方形 NOMA，根據(jù)正方形性質(zhì)求出/ COA= / COB ,2代入求出即可；(2) 求出 CN=BM，證 ANC AMB，推出/ NAC= / MAB，求出/ CAB= / NAM，即可求出答案；(3) 求出/ HON= / NMO=22.5 °延長 OH至點P使PH=OH，連接 MP交OA于L,求出/ HON= / NMO= / LMN，求出 OL

36、=ML，證 OLP MLN，推出 MN=OP，即可得出答案.解答： 解：(1 )過A作AN丄OC于N , AM丄OB于M , 則/ ANO= / AMO= / COB=90 °A (4, 4),/ AN=AM=4 ,四邊形NOMA是正方形，/ COA=2/ COB=2 >90°45°2 2故答案為：45°(2)v四邊形 NOMA是正方形， AM=AN=4 , OM=ON=4 , 2°C >AN+ 2oB >AM=16 ,2 2 OC+OB=8=ON+OM ,即 ON OC=OB - OM , CN=BM ,在厶ANC和 AMB

37、中，AN二 All' ZANC-ZAMB ,L NC=MB ANC AMB (SAS),/ NAC= / MAB ,/ CAB= / CAM+ / MAB= / NAM=360 ° - 90° - 90°- 90°90 ° 即/ CAB=90 °(3) MN=20H ,證明：在 Rt OMH 中，/ HON+ / NMO+ / NOM=90 °又/ NOM=45 ° / HON= / NMO ,/ HON= / NMO=22.5 °延長OH至點P使PH=OH，連接 MP交OA于L , OM=MP，

38、/ OMP=2 / OMN=45 °/ HON= / NMO= / LMN ,/ OLM=90 ° / PLO, OL=ML ,在厶OLP和厶MLN中，'Zplo-Zwlm-OL 二 UIlZPOL=ZLMW=22. 5& OLP MLN (ASA ), MN=OP ,/ OP=2HO , MN=2HO .點評:本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定 等知識點的應(yīng)用，題目綜合性比較強，有一定的難度.211. 如圖，已知 A (a, b), AB丄y軸于B，且滿足需刁+ ( b- 2) =0,(2) 分別以

39、AB , AO為邊作等邊三角形 ABC和厶AOD，如圖1試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.FG 值是否發(fā)生變化？如果不變，請說明理由并求其值；如果變化，請說明理由.(3) 如圖2過A作AE丄x軸于E, F, G分別為線段 OE, AE上的兩個動點，滿足/ FBG=45 °試探究°時帕 的考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；坐標與圖形性質(zhì)；等邊 三角形的性質(zhì).專題：探究型.分析：(1) 根據(jù)二次根式以及偶次方都是非負數(shù)，兩個非負數(shù)的和是0 ,則每個數(shù)一定冋時等于 0 ,即可求解；(2) 連接OC,只要證明OC是Z AOD的角平

40、分線即可判斷 AC=CD ,求出Z ACD的度數(shù)即可判斷位置關(guān) 系;(3) 延長GA至點M ,使AM=OF ,連接BM ,由全等三角形的判定定理得出 BAM BOF , FBG MBG ,故可得出 FG=GM=AG+OF ,由此即可得出結(jié)論.解答：解：(1)根據(jù)題意得：a- 2=0且b - 2=0, 解得：a=2, b=2 ,則A的坐標是(2, 2);(2) AC=CD，且 AC 丄 CD . 如圖1，連接OC, CD , A的坐標是(2, 2), AB=OB=2 , ABC是等邊三角形，/ OBC=30 ° OB=BC ,/ BOC= / BCO=75 °在直角 ABO

41、中，/ BOA=45 °/ AOC= / BOC -Z BOA=75 ° - 45°=30 ° OAD是等邊三角形， Z DOC= Z AOC=30 ° °即OC是Z AOD的角平分線， OCX AD，且 OC 平分 AD , AC=DC , Z ACO= Z DCO=60 °+75°=135 ° Z ACD=360。- 135°- 135°=90° , AC 丄 CD,故 AC=CD ,且 AC 丄 CD .(3)不變.延長GA至點M，使AM=OF，連接BM ,在 BAM與

42、厶BOF中，rAB=OB ZBAM=ZBOF ,剛二OF BAM BOF (SAS),/ ABM= / OBF , BF=BM ,/ OBF+ / ABG=90。-/ FBG=45 ° °/ MBG=45 °,在 FBG與厶MBG中，rBH=BF-ZMBG=ZFBG ,L BG 二 BG FBG MBG ( SAS), FG=GM=AG+OF ,FG點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到非負數(shù)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)等知識，難度適中.12. （2013?日照）問題背景:如圖（a）,點A、B在直線I的同側(cè)，要在直線I上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，

43、我們可以作出點B關(guān)于I的對稱點B連接A B與直線l交于點C,則點C即為所求.D(b)CBCc)（1）實踐運用：如圖（b）,已知，O O的直徑CD為4，點A在O O上，/ ACD=30 ° B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點， 則BP+AP的最小值為（2）知識拓展：如圖（c）,在Rt ABC中，AB=10 ,Z BAC=45 ° / BAC的平分線交 BC于點D , E、F分別是線段 AD和AB上 的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.考點：軸對稱-最短路線問題.分析：（1）找點A或點B關(guān)于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位

44、置根據(jù)題意先求出/ C'AE，再根據(jù)勾股定理求出 AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊 AC上截取AB丄AB，連結(jié)BB '，再過點B作B'F丄AB，垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE, 貝熾段B F的長即為所求.解答： 解：（1）作點B關(guān)于CD的對稱點E,連接AE交CD于點P此時PA+PB最小，且等于 AE .作直徑AC',連接C E.根據(jù)垂徑定理得弧 BD=弧DE ./ ACD=30 °/ AOD=60 ° / DOE=30 °/ AOE=90 °/ C'AE=45 °又AC'為圓的直

45、徑，/ AEC =90°,/ C'=Z CAE=45 ° C E=AE=即AP+BP的最小值是 2匚.故答案為：2匚；（2）如圖，在斜邊 AC上截取AB =AB，連結(jié)BB/ AD 平分/ BAC ,點B與點B '關(guān)于直線AD對稱.過點B作B 'F丄AB，垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE , 則線段B 'F的長即為所求.（點到直線的距離最短）在 Rt AFB '中，/ BAC=45 ° AB '=AB=10 , B 'F=AB ' Sin45 °AB ?sin45°=10 BE+EF的

46、最小值為.T.p B點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點 解題關(guān)鍵.13. （2013?六盤水）（1 ）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點A、B在直線m同側(cè)，在直線 m上找一點P,使AP+BP的值最小，做法如下:P位置是作點B關(guān)于直線m的對稱點B',連接AB',與直線m的交點就是所求的點 P,線段AB的長度即為AP+BP的 最小值.E“1PB0B3（2）實踐運用如圖（3）,過B點作弦BE丄CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié) OB、OE、OA、PB,如圖（3）:已知O O的直徑CD為2，丘的度數(shù)為60°點B是亦的中點，在直徑 C

47、D上作出點P,使BP+AP的值最小，則 BP+AP的值最小，則 BP+AP的最小值為 _ 匚（3）拓展延伸如圖（4）:點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊 AB、BC上作出點M,點N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法.考點：圓的綜合題；軸對稱-最短路線問題. 專題：壓軸題.形的性質(zhì)得到 CE丄AB，/ BCE= / BCA=30 ° BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=;2（2）實踐運用：過 B點作弦BE丄CD，連結(jié)AE交CD于P點，連結(jié)OB、OE、OA、PB,根據(jù)垂徑定理 得到CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小

48、值；由于盤C的度數(shù)為60°點B是AC的中點得到/ BOC=30 ° / AOC=60 °所以/ AOE=60 °+30 °90 °于是可判斷 OAE為等腰直角三角形，貝U AE=*：OA="：-（3）拓展延伸：分別作出點P關(guān)于AB和BC的對稱點E和F,然后連結(jié)EF, EF交AB于M、交BC于N .分 遲 p c圖（1）圉（2）如圖（2）:在等邊三角形 ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在 AD上找一點 P,使BP+PE的值 最小，做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點 C重合，連接CE交AD于一點，則這點就

49、是所求的點P,故BP+PE的最小值為_（2 ）實踐運用分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2，點E是AB的中點，根據(jù)等邊三角點E是AB的中點O,BE=1 ,解答：解：（1 ）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（2） , CE的長為BP+PE的最小值,在等邊三角形 ABC中，AB=2 , CE丄 AB，/ BCE=/ BCA=302 ceWsbeW3 ;故答案為麗;/ BE 丄 CD , CD平分BE，即點E與點B關(guān)于CD對稱,盂的度數(shù)為60°點B是云T的中點,/ BOC=30 ° / AOC=60 °/ EOC=30 °/ AOE=60 &

50、#176;30 °90 °/ OA=OE=1 , AE=匚 0A=匚， AE的長就是BP+AP的最小值.故答案為匚；(3)拓展延伸點評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同 時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱-最短路徑問題.14. (2013?撫順)在 Rt ABC中，/ ACB=90 ° / A=30 °點D是AB的中點，DE丄BC ,垂足為點 E，連接CD .(1) 如圖1, DE與BC的數(shù)量關(guān)系是DE= BC ;2(2) 如圖2,若P是線段CB上一動點(點P不與點B、C重合)，連接DP，將線

51、段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60° 得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3) 若點P是線段CB延長線上一動點，按照(2)中的作法，請在圖 3中補全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三 者之間的數(shù)量關(guān)系.B§2 3考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形.分析： (1)由/ ACB=90 ° / A=30。得到/ B=60 °根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC，則可判斷 DCB為等邊三角形，由于 DE丄BC，DE=(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/ PDF=60 °DP=

52、DF，易得/ CDP= / BDF，則可根據(jù) SAS”可判斷 DCPDBF，貝U CP=BF，禾U用 CP=BC - BP, DE=yi?BC 可得至U BF+BP=Z1dE ;23(3) 與(2)的證明方法一樣得到 DCP DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，貝U BF - BP=BC ,所以BF -bp=Z!de .3解答： 解：(1 )./ ACB=90 ° / A=30 °/ B=60 °點D是AB的中點， DB=DC , DCB為等邊三角形，/ DE 丄 BC , DE=BC ;2故答案為de=M!bc .2(2) BF+BP=DE .理由如下：3線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF , / PDF=60 ° DP=DF ,而/ CDB=60 ° / CDB -Z PDB= / PDF -/ PDB, / CDP= Z BDF ,在厶DCP和厶DBF中rDC=DB' ZCDP=ZBDF ,iDP二DF DCP DBF (