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文檔簡介

1、.極坐標與參數(shù)方程 (高考真題 )題型歸納一、極坐標方程與直角坐標方程的互化1.(2015 廣·東理 , 14) 已知直線 l 的極坐標方程為 2sin 2,點 A 的極坐標為 A 2 2,7 ,則44點 A 到直線 l 的距離為 立意與點撥 本題考查極坐標與平面直角坐標的互化、點到直線的距離 ,屬于容易題 解答本題先進行極直互化 ,再求距離 二、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化【解析 】橢圓方程為 : x2y 21 ,因為 sin 2 xcos2 x1,令x6 sin,則有64y2 cosX+2y=6 sin+4 cos=616 sin最大值22,最小值22,三、根據(jù)條件求直線和圓的極

2、坐標方程四、求曲線的交點及交點距離4 (2015 湖·北高考 )在直角坐標系xOy 中,以 O 為極點 , x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線l1x t ,t的極坐標方程為(sin 3cos) 0,曲線 C 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù) ), l 與 C 相交于 A, B1y t t.學(xué)習(xí)幫手.兩點 ,則 |AB|【解析】 直線 l 的極坐標方程(sin 3cos)0 化為直角坐標方程為3x y 0 ,曲線 C 的參數(shù)1xt ,3x y0 ,t方程兩式經(jīng)過平方相減,化為普通方程為y2x2 4 ,聯(lián)立1y2 x2 4y tt22x,x,22232232解得或所以點 A,B,.3232

3、2222yy.22所以 |22232322 25.AB22222x 1 t,25.在平面直角坐標xOy 中,已知直線l 的參數(shù)方程(t 為參數(shù) ),直線 l 與拋物線y22y 2 t,2 4x 相交于 A、 B 兩點 ,求線段 AB 的長 解析 解法 1:將 l 的方程化為普通方程得l: xy 3,y x3 ,代入拋物線方程 y2 4x 并整理得 x2 10x 9 0 ,x1 1, x2 9.交點 A(1,2), B(9 , 6) ,故 |AB|8282 82.解法 2:將 l 的參數(shù)方程代入 y2 4 x 中得 , (222t)24(1 t),22解之得 t1 0, t2 8 2,|AB|

4、|t1t 2| 82.1x 3 t,26.(2015 陜·西理 , 23) 在直角坐標系xOy 中,直線 l 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù) ) 以原點為3yt2.學(xué)習(xí)幫手.極點 ,x 軸正半軸為極軸建立極坐標系, C 的極坐標方程為23sin .(1) 寫出 C 的直角坐標方程 ;(2) P 為直線 l 上一動點 ,當(dāng) P 到圓心 C 的距離最小時,求 P 的直角坐標 立意與點撥考查極坐標與參數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想;解答本題 (1) 需熟記極直互化公式; (2) 用參數(shù)坐標將距離表達為t 的函數(shù) ,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解解析 (1)由 222223)23.3sin ,得 23 si

5、n ,從而有 x y 23 y,所以 x (y133),則 |PC|123t2 12,(2) 設(shè) P(3 t ,t),又 C(0 ,3 tt 3 22222故當(dāng) t 0時, |PC|取得最小值 ,此時 ,P 點的直角坐標為 (3,0)五、利用參數(shù)方程求最值( 轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想)立意與點撥 ( 用三角函數(shù)作為參數(shù),轉(zhuǎn)化成求三角函數(shù)最值問題,著重理解轉(zhuǎn)化思維,用參數(shù)法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的技巧 )x tcos ,8 (2015 新·課標 高考 )在直角坐標系xOy 中,曲線 C1:(t 為參數(shù) ,t0),其中 0 ,y tsin 在以 O 為極點 , x 軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線 C

6、2 : 2sin ,C3: 23cos .學(xué)習(xí)幫手.(1) 求 C2 與 C3 交點的直角坐標 ;(2) 若 C1 與 C2 相交于點 A, C1 與 C3 相交于點 B,求 |AB|的最大值 【解】 曲線2 的直角坐標方程為x2y22 y,曲線3 的直角坐標方程為x2 2 2 3x0.(1)C0Cyx3x2 y2 2 y 0,x 0,2,聯(lián)立解得或x2 y2 2 3 x 0,y 0 ,3y .2所以 C2 與 C3 交點的直角坐標為(0, 0)和332,.21 的極坐標方程為 (R, 0),其中 0.(此題 C1 代表的是一條過原點的直線 )(2) 曲線 C因此A的極坐標為 (2sin, )

7、,B的極坐標為 (23cos , ) 所以 |AB| |2sin 2 3cos |4 sin.35當(dāng) 時, |AB|取得最大值 ,最大值為 4. 69 (2015 商·丘市二模 )已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處,極軸與 x 軸的正半軸重合 ,直線 l 的1x2 2cos ,極坐標方程為 :sin ,曲線 C 的參數(shù)方程為 :62y 2sin .(1) 寫出直線 l 的直角坐標方程 ;(2) 求曲線 C 上的點到直線l 的距離的最大值 13113113 10.解析 (1) sin ,sin cos ,yx,即l:xy22622222(2) 解法一 :由已知可得 ,曲線上的點的坐

8、標為(2 2cos ,2sin ),所以 ,曲線 C 上的點到直線 l 的距離|2 2cos 23sin 1|4cos 3737d 2 .所以最大距離為 .222解法二 :曲線 C 為以 (2,0)為圓心 , 233為半徑的圓 圓心到直線的距離為,所以 ,最大距離為 2 227.2.學(xué)習(xí)幫手.10 (文 )(2014 新·課標 理, 23) 已知曲線 C:x2y2x 2 t 1,直線 l:(t 為參數(shù) )49y 2 2t(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ,直線 l 的普通方程 ;(2) 過曲線 C 上任意一點 P 作與 l 夾角為 30 °的直線 ,交 l 于點 A,求|P

9、A|的最大值與最小值 x 2cos ,解析 (1)曲線 C 的參數(shù)方程為(為參數(shù) )直線 l 的普通方程為 : 2 x y6 0.y 3sin ,Cld5(2) 曲線上任意一點(2cos, 3sin)到的距離為|4cos 3sin 6|.P5則 |PA|d254|5sin( ) 6|,其中 為銳角 ,且 tan .sin30° 53(將 d=|AB|sin30利用三角關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化化歸思想,高考考點考察學(xué)生思維能力 )225.當(dāng) sin( ) 1 時,|PA|取得最大值 ,最大值為525當(dāng) sin( )1 時, |PA|取得最小值 ,最小值為.5六、直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義

10、.學(xué)習(xí)幫手.方法一 :方法二 :根據(jù)直線參數(shù)方程中t 的幾何意義 ,可知,弦長 =|t 1-t 2 |.2324341t10 ,方程化簡 ,然后用韋達定理求得: 1 t5t1 t555弦長 =|t 1-t 2 |=t1t224t1t2=.學(xué)習(xí)幫手.33的直線 l 與曲線 C: x2 y2 113.(理 )在直角坐標系xOy 中,過點 P(, )作傾斜角為相交于不同的22兩點 M 、N.11(1) 寫出直線 l 的參數(shù)方程 ; (2)求的取值范圍 |PM|PN|11(根據(jù)直線參數(shù)方程中t 的幾何意義 ,用參數(shù) t表示所求量,然后用 t 的二次方程的韋達定理,轉(zhuǎn)|PM|PN|化成三角函數(shù)進而求范圍

11、,此題較難 )3x tcos ,2 解析 (1)(t 為參數(shù) )3y t sin ,23x tcos ,2(2) 將(t 為參數(shù) )代入 x2 y2 1 中,消去 x, y 得, t2 (3cos 3sin )t3y t sin .2 2 0,(3cos 3sin)226由8 12sin( ) 8>0 ? sin( )>,6631111t1 t23cos 3sin t13sin( )(2, 3|PM|PN| t 2t1 t226七、求動點坐標 、求變量的值1x3 t ,214. (2015 陜·西理 , 23) 在直角坐標系xOy 中,直線 l 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù)

12、)以3yt2原點為極點 ,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,C的極坐標方程為 23sin .(1) 寫出 C 的直角坐標方程 ;(2) P 為直線 l 上一動點 ,當(dāng) P 到圓心 C 的距離最小時 ,求 P 的直角坐標 .學(xué)習(xí)幫手.立意與點撥考查極坐標與參數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想;解答本題 (1) 需熟記極直互化公式; (2) 用參數(shù)坐標將距離表達為t 的函數(shù) ,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解解析 (1) 由 2222 223)2 3.3sin ,得 23sin ,從而有 x y3 y,所以 x (y13t),又 C(0 ,3),則 |PC|1232t2 12,故當(dāng) t(2) 設(shè) P(3 t,23 t

13、t 3222 0 時, |PC|取得最小值 ,此時, P 點的直角坐標為(3,0) (此處用參數(shù)t 來表示所求距離,然后當(dāng)作變量為t 的二次函數(shù) ,求最值 )xOy 中,曲線 C1 的參數(shù)方程為xa cost,0) 在15.(2016 全國卷 I)在直角坐標系y(t 為參數(shù) , a1 a sin t ,以坐標原點為極點 , x 軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線 C2:4 cos() 說明 C1 是哪一種曲線 ,并將 C1 的方程化為極坐標方程;() 直線 C3 的極坐標方程為0,其中0 滿足 tan02,若曲線 C1 與 C2 的公共點都在 C3上,求 a 【解析 】:xa cost( t 均

14、為參數(shù) ) ,x2y 12a 2y1 asin tC1 為以0 ,1 為圓心 , a 為半徑的圓 方程為 x2y22 y1 a 20x2y22 ,ysin 2 2 sin1 a 20 即為 C1 的極坐標方程, C2:4cos,兩邊同乘得24 cos2x2y2, cosxx2y24x即2y24 ,C3 :化為普通方程為y2xx 2,由題意 :2C3 , 得:4x2 y1 a 0 ,即為 C3C1 和 C2 的公共方程所在直線即為a20a11,(圓與圓交點所在直線的求法,聯(lián)立圓方程 ,兩方程相減 ,可得變量的方程)316 (文 )(2015 唐·山市二模 )在極坐標系中 ,曲線 C: 2acos (a>0) , l: cos , C 與 l 有且僅32有一個公共點(1) 求 a; (2) O 為極點 ,A, B 為 C 上的兩點 ,且 AOB ,求 |OA| |OB|的最大值 3 解析 (1) 曲線 C 是以 (a,0)為圓心 ,以 a

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