天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機(jī)變量函數(shù)

1、2.5 2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律問題的提出問題的提出在實(shí)際中，人們常常對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣在實(shí)際中，人們常常對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣. .42d求截面面積求截面面積 a a = = 的分布的分布. .例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d d 的分布，的分布，已知已知t=tt=t0 0 時刻噪聲電壓時刻噪聲電壓 v v的分布，的分布，求功率求功率 w=vw=v2 2/r/r ( (r r為電阻）的分布等為電阻）的分布等. .這類問題無

2、論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的這類問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的. .問題的一般提法問題的一般提法?)(的分布的分布變量變量的分布求得隨機(jī)的分布求得隨機(jī)量量如何根據(jù)已知的隨機(jī)變?nèi)绾胃鶕?jù)已知的隨機(jī)變xfyx ch2-3方法方法 將與y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 x 的事件求求 隨機(jī)因變量y= g ( x )的密度函數(shù) 或分布律)(yfy問題問題 已知已知 r.v. x 的d.f.)(xfx或分布律.ch2-4設(shè) r.v. x 的分布律為, 2 , 1,)(kpxxpkk由已知函數(shù) g( x)可求出 r.v. y 的所有可能取值，則 y 的概率分布為, 2 , 1,)()(:ipyypikyxg

3、kki離散型離散型 r.v.函數(shù)的分布函數(shù)的分布1 1、一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布律、一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布律例例1:已知已知xpx-1 0 10.20.10.7求：求：y=2x的概率分布律的概率分布律ypy-2 0 2 0.20.1 0.7 12 3ykkxxp xxp kyg xyg x設(shè)隨機(jī)變量 的概率分布律為， ，若 是一元單值實(shí)函數(shù)，則 也是一個隨機(jī)變量,如何求 的概率分布律？設(shè)隨機(jī)變量x的概率分布律為求y=2x2 +1的概率分布律。解例2由題設(shè)可得如下表格 x1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012y=2x2+13139概率0.20.30.40

4、.1所以，y=2x2+1的概率分布律為 y 1 3 9 py 0.3 0.6 0.1一般地一般地12 kxxxx12 xkpppp12() ()()()kyg xg xg xg x: ,1,2,3,kiiikk g xyyg xp yyp g xyp i或例例3 3：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量x x的概率分布律為的概率分布律為解y -1 0 1 py 2/15 1/3 8/15 1 2 3 xn231111 2222xnpsin2yx求的概率分布律。解題過程2,0, 1, .例 4： 設(shè)求 隨 機(jī) 變 量；的 分 布 . xnxyx0 111 22ypy答案二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度二、連續(xù)

5、型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為的概率密度為 ，求隨，求隨機(jī)變量機(jī)變量y=g(x)(g連續(xù)連續(xù))的概率密度的概率密度. )(xfx第一步第一步 求出求出y的分布函數(shù)的分布函數(shù) 的表達(dá)式的表達(dá)式 ；)(yfy第二步第二步)()(yfyfyy 1 1一般方法一般方法分布函數(shù)法分布函數(shù)法 yxgxlxyydxxfdxxflxpyfy)()()(因?yàn)閒y(y)=pyy=pg(x)y，設(shè)ly=x|g(x)y則)()(yfyfyy ,2828 yyfx第二步第二步 由分布函數(shù)求概率密度由分布函數(shù)求概率密度. .d)(28 xxfyx ., 0, 4280,212881)(其其他

6、他所所以以yyyfy ., 0,168,328其其他他yy.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量其他其他的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量xyxxxfxx第一步第一步 . )(82yfxyy的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求)(yypyfy 82yxp 28yxpxxfyxd)(28 解解例例2).()( . 2)( . 1yfyfyfyyy ；求求, ( )ppyyfyyyaxby解：先求分布函數(shù)。對任意實(shí)數(shù)2, 例5：設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度函數(shù)。 xnyaxb 0( )pyxaybybfyxfaa當(dāng)時，所以， 222()11( )2y b aayxybfy

7、feaaa 01 1yxaybybfypxpxaaybfa當(dāng)時 ，222()11( )2y b aayxybfyfeaaa 綜上得 2,yn aba22( ,), (0), (, () )xnyaxb ayn aba 設(shè)則2( ,),(0,1)xxnn 若則n 推論n 定理正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布。-正態(tài)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化 .)()(),(),(max(),(),(min(的反函數(shù)的反函數(shù)是是其中其中xgyhgggg ., 0, )()()(,)(,),()(,),(其他其他概率密度為概率密度為其其變量變量型隨機(jī)型隨機(jī)是連續(xù)是連續(xù)則則的可導(dǎo)函數(shù)的可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)為為又設(shè)函數(shù)

8、又設(shè)函數(shù)中中其其的具有概率密度的具有概率密度設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量yyhyhfyfxgyxgxxfxxyx定理定理2.2.公式法公式法證：只證證：只證g g (x)0(x)0的情況。此時的情況。此時g(x)g(x)在在(-,+ )(-,+ )嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求y y的分布函的分布函數(shù)數(shù)f fy y(y)(y)。 yhxdxxf因?yàn)橐驗(yàn)閥=g(x)y=g(x)在在(，)取值，故當(dāng)取值，故當(dāng)yy時，時， f fy y(y)=pyy=0(y)=pyy=0；此定理的證明與前

9、面的解題思路類似此定理的證明與前面的解題思路類似. .當(dāng)當(dāng)yy時，時， f fy y(y)=pyy=1(y)=pyy=1；當(dāng)當(dāng)yy0(x)0(或恒有或恒有g(shù) g (x)0)(x)0)，此時此時 )(, )(max,)(, )(minbgagbgag 若若g g (x)0, (x)0, 同理可證同理可證 其其他他0)()()( yyhyhfyfxy若若g(x)不是單調(diào)函數(shù)不能用此定理不是單調(diào)函數(shù)不能用此定理.公式注釋 , ( )( )( ) | ( )|xyxxfxyg xyg xfyfh yh yh yy g x公式法：一般地，若 是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則其中是的反函數(shù)。注注：1 1 ）只有當(dāng)）只有

10、當(dāng)g(x)g(x)是是x x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以上公式推求上公式推求y y的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。 2 2） 注意定義域的選擇。注意定義域的選擇。 (0,1), 1 22ln例6：設(shè)隨機(jī)變量求的概率密度函數(shù)；的概率密度函數(shù). xxuyeyx 1, 0,1 ;(0,1),0, xxxufx解：因?yàn)樗?其他. 10,0 0xyyeyfyp yy因?yàn)樗裕?dāng)時， 0yfy 從而， 0xyyfyp yyp ey當(dāng)時，lnlnxp xyfy 1/ , 0ln1;1ln0, ln0 ln1;yxyyfyfyyoryy1/ , 1,0, 01 .yyeyor ye

11、1/, 1, 0, .yyyyefy綜上得 的概率密度函數(shù)為：其他 22lnyf yp yypxy2yp xe21yxfe 21, 0, 20, .yyyeyfy綜上得 的概率密度函數(shù)為：其他20, 0;1, 0.yyey 例例7.7.設(shè)設(shè)x x u(-1,1),u(-1,1),求求y=xy=x2 2的分布函數(shù)與概率密度。的分布函數(shù)與概率密度。 dxxfyfxxgyxxfyxxyx22)(01121其它ydxfyyy21其它01021)( )(yyyfyfyy當(dāng)y0時0)(yfy當(dāng)0y1時當(dāng)y1時1)(yfyyy 222112()30dxyxxyxfxyg xxfyp yyp xyfxx ，解

12、：其他； 2101,=d33yyyyyfypyxyx當(dāng)時0( )0yyfy當(dāng)時，；4( )1yyfy當(dāng)時，； 1114d11 =0dd33yyxyyyyfyfxxyxx當(dāng)時 ，2. u1,2 ,例8設(shè)求的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)。xyx1013d()1()14d60 yyyyfyfyyyy，；，；，其 他 .0 0 ;2013()1, 1431, 4yyyyyfyyy， ， ；y所以，隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為：概率密度函數(shù)為：例9：設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時間x服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，每當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時就自動關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下，設(shè)備工作8小時便自動關(guān)機(jī)，試求該設(shè)備每次開機(jī)至關(guān)機(jī)這段工作時間y的分布函數(shù)。 例：設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，令y=minx,8，求隨機(jī)變量y的分布函數(shù)小結(jié).0 -1 分 布二 項(xiàng) 分 布 b （ n ,p )泊 松 分 布 p ( )離離 散散 型型 分分 布布 律律歸 一 性分 布 函 數(shù) 與 分 布 律 的 互 變概概 率率 計計 算算分分 布布 函函 數(shù)數(shù)歸 一 性概概 率率 計計 算算單單 調(diào)調(diào) 性性正 態(tài) 分 布 的 概 率 計 算均 勻 分 布 u (a ,b