天津大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機變量函數(shù)

1、2.5 2.5 隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律問題的提出問題的提出在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣. .42d求截面面積求截面面積 a a = = 的分布的分布. .例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d d 的分布，的分布，已知已知t=tt=t0 0 時刻噪聲電壓時刻噪聲電壓 v v的分布，的分布，求功率求功率 w=vw=v2 2/r/r ( (r r為電阻）的分布等為電阻）的分布等. .這類問題無

2、論在實踐中還是在理論上都是重要的這類問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的. .問題的一般提法問題的一般提法?)(的分布的分布變量變量的分布求得隨機的分布求得隨機量量如何根據(jù)已知的隨機變?nèi)绾胃鶕?jù)已知的隨機變xfyx ch2-3方法方法 將與y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 x 的事件求求 隨機因變量y= g ( x )的密度函數(shù) 或分布律)(yfy問題問題 已知已知 r.v. x 的d.f.)(xfx或分布律.ch2-4設(shè) r.v. x 的分布律為, 2 , 1,)(kpxxpkk由已知函數(shù) g( x)可求出 r.v. y 的所有可能取值，則 y 的概率分布為, 2 , 1,)()(:ipyypikyxg

3、kki離散型離散型 r.v.函數(shù)的分布函數(shù)的分布1 1、一維離散型隨機變量函數(shù)的概率分布律、一維離散型隨機變量函數(shù)的概率分布律例例1:已知已知xpx-1 0 10.20.10.7求：求：y=2x的概率分布律的概率分布律ypy-2 0 2 0.20.1 0.7 12 3ykkxxp xxp kyg xyg x設(shè)隨機變量 的概率分布律為， ，若 是一元單值實函數(shù)，則 也是一個隨機變量,如何求 的概率分布律？設(shè)隨機變量x的概率分布律為求y=2x2 +1的概率分布律。解例2由題設(shè)可得如下表格 x1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012y=2x2+13139概率0.20.30.40

4、.1所以，y=2x2+1的概率分布律為 y 1 3 9 py 0.3 0.6 0.1一般地一般地12 kxxxx12 xkpppp12() ()()()kyg xg xg xg x: ,1,2,3,kiiikk g xyyg xp yyp g xyp i或例例3 3：設(shè)隨機變量：設(shè)隨機變量x x的概率分布律為的概率分布律為解y -1 0 1 py 2/15 1/3 8/15 1 2 3 xn231111 2222xnpsin2yx求的概率分布律。解題過程2,0, 1, .例 4： 設(shè)求 隨 機 變 量；的 分 布 . xnxyx0 111 22ypy答案二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度二、連續(xù)

5、型隨機變量函數(shù)的概率密度 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量x的概率密度為的概率密度為 ，求隨，求隨機變量機變量y=g(x)(g連續(xù)連續(xù))的概率密度的概率密度. )(xfx第一步第一步 求出求出y的分布函數(shù)的分布函數(shù) 的表達(dá)式的表達(dá)式 ；)(yfy第二步第二步)()(yfyfyy 1 1一般方法一般方法分布函數(shù)法分布函數(shù)法 yxgxlxyydxxfdxxflxpyfy)()()(因為fy(y)=pyy=pg(x)y，設(shè)ly=x|g(x)y則)()(yfyfyy ,2828 yyfx第二步第二步 由分布函數(shù)求概率密度由分布函數(shù)求概率密度. .d)(28 xxfyx ., 0, 4280,212881)(其其他

6、他所所以以yyyfy ., 0,168,328其其他他yy.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求隨機變量求隨機變量其他其他的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量xyxxxfxx第一步第一步 . )(82yfxyy的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求)(yypyfy 82yxp 28yxpxxfyxd)(28 解解例例2).()( . 2)( . 1yfyfyfyyy ；求求, ( )ppyyfyyyaxby解：先求分布函數(shù)。對任意實數(shù)2, 例5：設(shè)隨機變量，求的概率密度函數(shù)。 xnyaxb 0( )pyxaybybfyxfaa當(dāng)時，所以， 222()11( )2y b aayxybfy

7、feaaa 01 1yxaybybfypxpxaaybfa當(dāng)時 ，222()11( )2y b aayxybfyfeaaa 綜上得 2,yn aba22( ,), (0), (, () )xnyaxb ayn aba 設(shè)則2( ,),(0,1)xxnn 若則n 推論n 定理正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布。-正態(tài)隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)化 .)()(),(),(max(),(),(min(的反函數(shù)的反函數(shù)是是其中其中xgyhgggg ., 0, )()()(,)(,),()(,),(其他其他概率密度為概率密度為其其變量變量型隨機型隨機是連續(xù)是連續(xù)則則的可導(dǎo)函數(shù)的可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)為為又設(shè)函數(shù)

8、又設(shè)函數(shù)中中其其的具有概率密度的具有概率密度設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量yyhyhfyfxgyxgxxfxxyx定理定理2.2.公式法公式法證：只證證：只證g g (x)0(x)0的情況。此時的情況。此時g(x)g(x)在在(-,+ )(-,+ )嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加，它的反函數(shù)h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求嚴(yán)格單調(diào)增加，可導(dǎo)，現(xiàn)在先來求y y的分布函的分布函數(shù)數(shù)f fy y(y)(y)。 yhxdxxf因為因為y=g(x)y=g(x)在在(，)取值，故當(dāng)取值，故當(dāng)yy時，時， f fy y(y)=pyy=0(y)=pyy=0；此定理的證明與前

9、面的解題思路類似此定理的證明與前面的解題思路類似. .當(dāng)當(dāng)yy時，時， f fy y(y)=pyy=1(y)=pyy=1；當(dāng)當(dāng)yy0(x)0(或恒有或恒有g(shù) g (x)0)(x)0)，此時此時 )(, )(max,)(, )(minbgagbgag 若若g g (x)0, (x)0, 同理可證同理可證 其其他他0)()()( yyhyhfyfxy若若g(x)不是單調(diào)函數(shù)不能用此定理不是單調(diào)函數(shù)不能用此定理.公式注釋 , ( )( )( ) | ( )|xyxxfxyg xyg xfyfh yh yh yy g x公式法：一般地，若 是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則其中是的反函數(shù)。注注：1 1 ）只有當(dāng)）只有

10、當(dāng)g(x)g(x)是是x x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以上公式推求上公式推求y y的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。 2 2） 注意定義域的選擇。注意定義域的選擇。 (0,1), 1 22ln例6：設(shè)隨機變量求的概率密度函數(shù)；的概率密度函數(shù). xxuyeyx 1, 0,1 ;(0,1),0, xxxufx解：因為所以 其他. 10,0 0xyyeyfyp yy因為所以，當(dāng)時， 0yfy 從而， 0xyyfyp yyp ey當(dāng)時，lnlnxp xyfy 1/ , 0ln1;1ln0, ln0 ln1;yxyyfyfyyoryy1/ , 1,0, 01 .yyeyor ye

11、1/, 1, 0, .yyyyefy綜上得 的概率密度函數(shù)為：其他 22lnyf yp yypxy2yp xe21yxfe 21, 0, 20, .yyyeyfy綜上得 的概率密度函數(shù)為：其他20, 0;1, 0.yyey 例例7.7.設(shè)設(shè)x x u(-1,1),u(-1,1),求求y=xy=x2 2的分布函數(shù)與概率密度。的分布函數(shù)與概率密度。 dxxfyfxxgyxxfyxxyx22)(01121其它ydxfyyy21其它01021)( )(yyyfyfyy當(dāng)y0時0)(yfy當(dāng)0y1時當(dāng)y1時1)(yfyyy 222112()30dxyxxyxfxyg xxfyp yyp xyfxx ，解

12、：其他； 2101,=d33yyyyyfypyxyx當(dāng)時0( )0yyfy當(dāng)時，；4( )1yyfy當(dāng)時，； 1114d11 =0dd33yyxyyyyfyfxxyxx當(dāng)時 ，2. u1,2 ,例8設(shè)求的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)。xyx1013d()1()14d60 yyyyfyfyyyy，；，；，其 他 .0 0 ;2013()1, 1431, 4yyyyyfyyy， ， ；y所以，隨機變量 的分布函數(shù)為：概率密度函數(shù)為：例9：設(shè)一設(shè)備開機后無故障工作的時間x服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，每當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時就自動關(guān)機，而在無故障的情況下，設(shè)備工作8小時便自動關(guān)機，試求該設(shè)備每次開機至關(guān)機這段工作時間y的分布函數(shù)。 例：設(shè)隨機變量x服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，令y=minx,8，求隨機變量y的分布函數(shù)小結(jié).0 -1 分 布二 項 分 布 b （ n ,p )泊 松 分 布 p ( )離離 散散 型型 分分 布布 律律歸 一 性分 布 函 數(shù) 與 分 布 律 的 互 變概概 率率 計計 算算分分 布布 函函 數(shù)數(shù)歸 一 性概概 率率 計計 算算單單 調(diào)調(diào) 性性正 態(tài) 分 布 的 概 率 計 算均 勻 分 布 u (a ,b