與名師對話高三數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)課件：名師專題講座6

1、概率名師專題講座（六）概率與統(tǒng)計(jì)的高考解答題型及求解策略專題概述1概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對獨(dú)立的一個(gè)內(nèi)容，該類問題以應(yīng)用題 為載體，注重考查應(yīng)用意識及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能 力；2概率問題的核心是概率計(jì)算.其中事件的互斥、對立是概率計(jì) 算的核心，古典概型、幾何概型是進(jìn)行概率計(jì)算的工具.統(tǒng)計(jì)i可題的 核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖 和樣本的數(shù)字特征，但近兩年全國課標(biāo)卷突出回歸分析的考彎；3離 散型隨機(jī)變量的分布列及其均值的考查是歷來高考的重點(diǎn)，難度多為 中低檔類題目，特別是與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的滲透，背境新穎，充分體現(xiàn)了概 率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性.題型一古典概型的

2、綜合應(yīng)用題型概覽：古典概型的應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)中 應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與掌握，弄清基本事件的個(gè)數(shù)是正確解答 的關(guān)鍵，常借助表格、樹狀圖以及列舉法進(jìn)行計(jì)算，對概型的確 定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確列舉計(jì)算是解題的核心，在備考中 強(qiáng)化解答題的規(guī)范訓(xùn)練.典例12017年某公司舉辦產(chǎn)品創(chuàng)新研發(fā)創(chuàng)意大賽，經(jīng)評委會初評，有2個(gè)優(yōu)秀方案入選，最后組委會決定請車間100名 經(jīng)驗(yàn)豐富的技工對這2個(gè)方案進(jìn)行等級評價(jià)（等級從高到低依次 為A, B, C, D, E）,評價(jià)結(jié)果對應(yīng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：方案編號等級ABCDE1號1535ab102號733202bc(1) 若按分層抽樣從對1號方案進(jìn)行評價(jià)的100

3、名技工中抽取 樣本進(jìn)行調(diào)查，其中C等級層抽取3人，D等級層抽取1人，求 a, b, c的值.(2) 若從對2個(gè)方案的評價(jià)為C, D的評價(jià)表中各抽取10%進(jìn) 行數(shù)據(jù)分析，再從中選取2份進(jìn)行詳細(xì)研究，求選出的2份評價(jià) 表中至少有1份評價(jià)為D的概率.審題程序第一步：確定抽樣比，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可求得a, b, c 的值；第二步：先根據(jù)題意確定樣本的構(gòu)成，利用列舉法分別求出 總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，求出概率.也 可通過求其對立事件來間接求解.規(guī)范解答(1)由分層抽樣可知，a : b = 3 : 1.又 a+b= 100-(15 + 35 +10)=40,所以 a = 30, b=

4、10 所以 c=100-(7 + 33+20 + 2X10) = 20.(2)解法一：(直接法)由題意，對1號、2號方案抽取的樣本 容量都是4其中，1號方案的評價(jià)表中，評價(jià)為C的有3份，評 價(jià)為D的有1份，令其分別記為Ci” C12, 03, Du.2號方案的評價(jià)表中，評價(jià)為C的有2份，評價(jià)為D的有2份，令其分別記為C21，C22, D21, d22.從中抽取2份評價(jià)表，不同的結(jié)果為：Cn, C12, Cn, C13, Ch, Dn, Cn, C21, Cn, C22,Cn,D21,Ch，D22，C12,C12,D】,C12,C21，C12,C22，C12,D21,C12,D22，CmDi】,

5、C13,c21,C3,C22,C13,D21，C13,D22，Di】,C21，Dn，C22，Di】,D21,Dn,D22，C21,C22，C21，D21，C21,D22,C22,D21,C22,D22,D21,D22共28個(gè).其中至少有1份評價(jià)為D的所包含的不同結(jié)果為：Cii，D,Ch，D21,Ch，D22，Ci2 Du,C12，D21,C12，D22，C13, Di】C13, D21,C13, D22，Di】，C21Du，C22，D11，D21,Du，D22，C21，D21,C21，D22，C22，D21,C22，D22，D21，D22，共18個(gè).189故所求事件的概率為p=解法二：(間接法

6、)由解法一可知，從中抽取2份評價(jià)表的不 同的結(jié)果有28個(gè).記事件“選出的2份評價(jià)表中至少有1份評價(jià)為D”為事件 M,則事件M為“選出的2份評價(jià)表的評價(jià)都不為D”，其所包 含的不同結(jié)果為Cm CT，Cn, C13, Cn, C21, Ch, C22, C2，C13' C12，C21' C12，C22，C13, C21' C13, C22， C21，C22，共 10 個(gè).所以 P(M)=j|=備.故 P(M)=1 -P(M)=1 -備=著解題反思解決古典概型問題的關(guān)鍵在于讀懂題目，明確 事件，從而準(zhǔn)確地列舉全部基本事件及所求事件包含的基本事 件，求出概率，本例的解法一即是.

7、若求的事件中含有“至 多” “至少”，則考慮間接法解法二.無論哪種方法，必要 的語言敘述和列舉基本事件都是必須的.答題模板解決這類問題的答題模板如下:題型專練1.（2017-廣東清遠(yuǎn)一模）已知袋子中放有若干個(gè)大小和形狀相 同的小球，其中標(biāo)號為0的小球1個(gè)，標(biāo)號為1的小球1個(gè)，標(biāo) 號為2的小球n個(gè).若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號為2的小球的概率是*(1) 求n的值.(2) 從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小 球標(biāo)號為a,第二次取出的小球標(biāo)號為b. 記“a+b = 2”為事件A,求事件A的概率； 在區(qū)間0,2內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x, y,求使xHra-b)2恒 成立的概率.解(1)

8、根據(jù)從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號為2的 小球的概率是扌，可得1+；+趙解得n=2.(2)根據(jù)(1)可知袋子中有標(biāo)號為0的小球1個(gè)，標(biāo)號為1的 小球1個(gè)，標(biāo)號為2的小球2個(gè)(記為2M,2N),從袋子中不放回 地隨機(jī)抽取2個(gè)球，包含的基本事件有(0,1), (0?2M), (0?2N), (1,0), (2M?0), (2N?0), (1?2M), (1?2N), (2M?1), (2N?1), (2M,2N), (2N,2M), 共12個(gè)，其中事件A包含的基本事件有(0?2M), (0,2N)，(2M?0), (2N,0),41共 4 個(gè)，故 P(A)y設(shè)“X, ye0?2, x'

9、+y2©恒成立”為事件B,則事 件B等價(jià)于“x, ye 0,2,+于4恒成立”.將(x, y)看成平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，如圖所示，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Q=(x, y)|0WxW2,0WyW2, x, y eR,事件B構(gòu)成的區(qū)域B=(x, y)|x2+y2>4, (x, y)w。,如圖 中陰影部分，2X2-E 兀所以 P(B)=藥一=1-4-題型二統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例題型概覽：（1）用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是，頻 率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體 分布，難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用.(2) 求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)僉，6,

10、因求解6的公 式計(jì)算量太大，一般題目中會給出相關(guān)的量，可直接代入求解充 分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(工，y),即有y =x+a,可確 定2另外，非線性回歸問題可以通過變換轉(zhuǎn)化為用線性回歸方法 去解決，轉(zhuǎn)化過程中，注意數(shù)據(jù)也相應(yīng)地跟著變化.(3) 在判斷兩個(gè)分類變量關(guān)系的可靠性時(shí)，一般利用隨機(jī)變量 K2來確定；把計(jì)算出的K2的值與有關(guān)的臨界值作比較，確定出“X與Y有關(guān)系”的把握.典例2隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè) 某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份X20122013201420152016儲蓄存款 y（千億元）567810求y關(guān)于x的回歸方程y=6x+a；(2

11、)用所求的回歸方程預(yù)測該地區(qū)2017年的人民幣儲蓄存款. 注：nnE (-Y)(yi-y) £xiyi-n¥ yi=li=l6=i(-x)2i=lnp 2 °2X_nx 一 i=l審題程序第一步：利用公式求出相關(guān)數(shù)值；第二步：求回歸方程；第三步：代入回歸方程，作出預(yù)測.規(guī)范解答設(shè)時(shí)間代號t=x2011,則t分別為1,234355根據(jù)題意，T=3, y =7.2, Eti-5T2 = 55-5X32=10,工ty i=li=l-5T y=120-5X3X7.2=12,& = 12, £ = 7.21.2X3 = 36y關(guān)于t的回歸方程為y=1.2t

12、+3.6,y 關(guān)于 x 的回歸方程為?= l2(x2011)+36 BPy=1.2x- 2409.6.(2)當(dāng) x=2017,即 t=6 時(shí)，9=l2X6 + 36=108.故預(yù)測該地區(qū)2017年的人民幣儲蓄存款為10.8千億元.解題反思結(jié)合圖表信息，明確題目中數(shù)據(jù)含義，并準(zhǔn)確 地代入公式進(jìn)行計(jì)算是解決此類問題的關(guān)鍵，求出回歸直接方程 后能對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測.答題模板解決這類問題的答題模板如下:數(shù)據(jù)處理結(jié)合圖表信息對題目中的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸類 處理，并準(zhǔn)確的進(jìn)行計(jì)算.把相關(guān)數(shù)據(jù)代入對應(yīng)公式，得出線性回 歸方程或獨(dú)立性檢驗(yàn)中的隨機(jī)變量疋.確定結(jié)果線性回歸分析中，利用線性回歸方程作 出預(yù)測；獨(dú)立性檢驗(yàn)中，利

13、用的值與 臨界值作比較，作出判斷.作出判斷題型專練2.某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān), 先統(tǒng)計(jì)本校高三年級每個(gè)學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績的平均分（采用百 分制），剔除平均分在30分以下的學(xué)生后，共有男生300名，女 生200名.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了 100名學(xué)生，按 性別分為兩組，并將兩組學(xué)生成績分為6組，得到如下所示頻數(shù) 分布表.分?jǐn)?shù)段40,50)50?60)60,70)70,80)80,90)90,100男39181569女64510132(1) 估計(jì)男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn) 值作代表)，從計(jì)算結(jié)果看，數(shù)學(xué)成績與性別是否有關(guān)；(2) 規(guī)定80分以

14、上為優(yōu)分(含80分)，請你根據(jù)已知條件作出 2X2列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為"數(shù)學(xué)成績與性 別有關(guān)” 優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生女生總計(jì)100k2=附表及公式P理三ko)0.1000.0500.0100.001ko2.7063.8416.63510.828n(adbc)2 (a+b)(c + d)(a + c)(b + d)解(l)x 男= 45X0.05+ 55X0 15+ 65X0 3+ 75X0.25 + 85X0.1+95X0.15=71.5,女=45X0.15+ 55X0.1+65X0.125+ 75X0.25+ 85X0.325+95X0.05=71.5,從男、女生

15、各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學(xué)成績與性別 有關(guān).(2)由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100名學(xué)生中，“男生組” 中的優(yōu)分有15人，“女生組”中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得2X2 列聯(lián)表如下：優(yōu)分非優(yōu)分總計(jì)男生154560女生152540總計(jì)3070100可得疋的觀測值因?yàn)?.79<2.706,所以沒有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績 與性別有關(guān)”題型三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用題型概覽：統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特 征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相 結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對應(yīng) 起來，只有這樣才能有效地解決問題.典例3（2017-全國卷

16、II）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了 100個(gè)網(wǎng)箱，測量 各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如圖所示：（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg",估計(jì)A的概率;(2) 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量250 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.附:P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828°K2 =n(adbc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)*審題程序

17、第一步：利用統(tǒng)計(jì)知識進(jìn)行數(shù)據(jù)處理;第二步：利用概率知識進(jìn)行求解判斷.規(guī)范解答(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012 + 0.014+0.024+0.034 + 0.040)X5 = 0.62,因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表，如下所示：箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量250 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466疋的觀測值為15.705200X(62X66 34X38)2100X100X96X104由于15.705>6635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法 有關(guān).（3）箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值 （或中位數(shù)）

18、在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值（或 中位數(shù)）在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程 度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖 法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.解題反思從頻率直方圖中獲取必要的信息是解(1)(3)的 關(guān)鍵.從樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、均值估計(jì)總體情況，利用2X2列 聯(lián)表判斷兩個(gè)分類變量的關(guān)系等都屬于統(tǒng)計(jì)的重要知識，體現(xiàn)了 基本的數(shù)據(jù)處理能力.答題模板解決這類問題的答題模板如下:反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題是否規(guī)范.題型專練3.由騰訊游戲開發(fā)并運(yùn)行的一款運(yùn)營在Android, iOS平臺上的MOBA類手游,受到越

19、來越多的人的喜歡.某機(jī)構(gòu)對不同 年齡的人員對玩此手游的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了 50人，他 們年齡的頻數(shù)分布及對玩此手游贊成人數(shù)如下表.年齡/歲15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75頻數(shù)41016956贊成人數(shù)2915622(1)若以“年齡” 45歲為分界點(diǎn)，按以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面 2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為玩此手游的態(tài)度與 人的年齡有關(guān)；X年齡低于45歲的人數(shù)年齡不低于45歲的人數(shù)合計(jì)贊成不贊成合計(jì)（2）若從年齡在25,35）和55,65）的被調(diào)查人中按照分層抽樣 的方法選取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查，并給予其中3人“紅包”獎(jiǎng)勵(lì)， 求3人中至少有1人

20、年齡在55?65）的概率.附:P(K2ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K(a+b)(c + d)(d + c)(b+d)，其中 kd+b + c+d贊成261()36不贊成41014合計(jì)302050所以K：的觀測值1<=50X(26X1010X4)220X30X36X148.003>7879,解根據(jù)條件得如下2X2列聯(lián)表:年齡低二年齡不低于、45歲的人數(shù)45歲的人數(shù)合TT所以有99.5%的把握認(rèn)為玩此手游的態(tài)度與人的年齡有關(guān).（2）由分層抽樣的方法可知，從年齡在55?65）

21、的被調(diào)查人中抽 取的人數(shù)為6Xy=2,從年齡在25,35）的被調(diào)查人中抽取的人數(shù)為6X詁士=4,在上述抽取的6人中，年齡在55,65）的有2人，記為A, B, 年齡在25,35）的有4人，記為a, b, c, d,則從6人中任取3名的所有情況為：A, B, a, A, B, b,A,B,c,A,B,d,A,a, b, A, a,c,A,A,b,C，A,b,d,A，c, d, B, a,b，B,B，a,d，B,b,c,B,b, d, B, c,d,a,a,b,d,a，c, d,b，c, d,共 20 種;其中至少有一人年齡在55,65）的情況有：.A, B, ab，A,B,c,A,B,d,A, a, b, A,a,c,d，A,b,C，A，b,d，A, c, d, B,a,b，c,B,