“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)1、設(shè)計(jì)意圖與學(xué)情分析三次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個(gè)重要載體，是應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的好素材。本節(jié)課是在復(fù)習(xí) “二次函數(shù)”基礎(chǔ)上的一節(jié)高三復(fù)習(xí)探究課，學(xué)生已初步搭建起研究函數(shù)的基本平臺，借助導(dǎo)數(shù)的工具來研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，既可以整合函數(shù)圖象和性質(zhì)、不等式、方程、函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識， 完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，體會其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野， 體驗(yàn)再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程， 發(fā)展學(xué)生獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識的能力，提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。另外，作為高三復(fù)習(xí)教學(xué)，力

2、求想走出簡單重復(fù)與承襲過去的怪圈，三次函數(shù)在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁出現(xiàn)，但教材和各種資料中往往只從求導(dǎo)、求極值、 求單調(diào)區(qū)間等角度進(jìn)行一些零碎的、淺表的探索， 而很少對它作出比較系統(tǒng)地、實(shí)質(zhì)性地闡述。2、教學(xué)目標(biāo)與重點(diǎn)難點(diǎn)通過這節(jié)課的教學(xué)想達(dá)到下列三個(gè)目標(biāo)：1）知識目標(biāo)：讓學(xué)生了解三次函數(shù)的概念、定義域、 值域；能利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)等知識討論三次函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性， 進(jìn)一步理解函數(shù)的單調(diào)性、 對稱性、 極值，能利用圖象來討論三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，體會分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程的數(shù)學(xué)思想方法。2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生識圖能力、探究能力和創(chuàng)新意識，提高運(yùn)用所學(xué)知識解決

3、問題的能力。3）情感目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識事物和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索、 設(shè)法尋到解決問題的方案，體驗(yàn)“再創(chuàng)造”的樂趣。這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是討論三次函數(shù)的單調(diào)性和相應(yīng)三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，其中發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證三次函數(shù)圖象的對稱性是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。3、設(shè)計(jì)思想與教學(xué)方法這節(jié)課的設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)探究式的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知識的體驗(yàn)， 注重培養(yǎng)學(xué)生的終生學(xué)習(xí)能力。按建構(gòu)主義觀點(diǎn)， 知識需要經(jīng)過學(xué)習(xí)者自身體驗(yàn)，才能被有效地同化和順應(yīng)。自然，學(xué)生在探索的過程中會遇到障礙，需要得到教師的適時(shí)引導(dǎo)和幫助， 教師應(yīng)該圍繞學(xué)生的 “最近發(fā)展區(qū)” 做

4、文章。本節(jié)課始終貫徹的教學(xué)方式是：問題情景啟迪思維探索研究解決問題理性歸納因此，不是簡單地給出三次函數(shù)的概念、單調(diào)性、對稱性，而是通過創(chuàng)設(shè)情境，搭設(shè)臺階，類比二次函數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，利用多媒體呈現(xiàn)三次函數(shù)的圖象，憑借圖象的直覺去發(fā)現(xiàn)、去探索，從直覺層面、幾何層面、代數(shù)層面、導(dǎo)函數(shù)分析層面， 數(shù)形結(jié)合層面進(jìn)行思考逐步加深對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的認(rèn)識，最后，借助連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理來討論三次方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)，作為對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生的主體地位得到充分發(fā)揮，教師起組織者、幫助者和促進(jìn)者的作用，利用情境、 對話等學(xué)習(xí)環(huán)境充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性、積

5、極性和創(chuàng)造精神，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)， 享受探究帶來的成就感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念。4、教學(xué)流程4 1 三次函數(shù)概念T：類比二次函數(shù)，請同學(xué)們自己對三次函數(shù)下定義。 板書 形如 y ax 3bx 2cxd (a0) 的函數(shù)叫做三次函數(shù)。定義域：R ；學(xué)習(xí)必備歡迎下載T：要求三次項(xiàng)的系數(shù)不為0，那么三次項(xiàng)的系數(shù)a 與函數(shù)值變化有什么關(guān)系？Sa 0時(shí)，讓 x 無限增大， 對函數(shù)值y起決定地位的是ax3項(xiàng)，即x，y；：當(dāng)同樣地當(dāng) x時(shí)， y，（讓學(xué)生體會極限的思想方法）板書 ：值域?yàn)?RT：下面我們從已搭建的研究函數(shù)

6、的一般“平臺”出發(fā)來探討三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。4 2三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)421 單調(diào)性：T：研究三次函數(shù)的單調(diào)性，常用什么工具？S：導(dǎo)數(shù)。T：下面我們一起先來做兩個(gè)題目：(多媒體演示例1、例 2)例 1、已知 f (x)ax33x2x1 在 R 上是減函數(shù)，求a 的取值范圍。例 2、試確定函數(shù)f ( x)x 33x 的單調(diào)區(qū)間，并在同一坐yYy標(biāo)系中畫出此函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)圖象。（以上兩題由同學(xué)們自己完成，然后交流。旨在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)、O極值二次不等式恒成立等相關(guān)知識，引導(dǎo)學(xué)生從特殊的簡單Ox的情形出發(fā)，先從圖象上直觀感知三次函數(shù)的單調(diào)性，并能結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象（如圖1）分析，為接下來得出一般性結(jié)論x作鋪

7、墊）T：要使函數(shù) yax 3bx 2cxd (a0) 在 R 上是單調(diào)函數(shù)，系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？要使函數(shù)yax3bx 2cxd (a 0)圖 1在 R 上不是單調(diào)函數(shù)，那么它在 R 上一定有幾個(gè)單調(diào)區(qū)間，系數(shù)又應(yīng)滿足什么條件？（通過學(xué)生自主探究，相互交流、討論，得出以下結(jié)論） 板書 一般地，當(dāng)b 23ac0 時(shí)，三次函數(shù)yax 3bx 2cxd (a0) 在 R 上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng) b23ac0 時(shí)，三次函數(shù) yax 3bx 2cxd (a0) 在 R 上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間。（根據(jù) a0, a0 兩種不同情況進(jìn)行分類討論）4 2 2 對稱性：T：根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，三次函數(shù)的圖象有何特征？S：象“閃電”一

8、樣。T：三次函數(shù)是否具有奇偶性？S：有些是奇函數(shù)，有些不是奇函數(shù)，但不可能是偶函數(shù)。T：奇函數(shù)的本質(zhì)是什么？S：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。T：下面我們一起來觀察幾個(gè)三次函數(shù)的圖象，表達(dá)式中的系數(shù)a,b,c, d 請同學(xué)們提供。（多媒體演示幾個(gè)三次函數(shù)的圖象）y學(xué)習(xí)必備歡迎下載yyOOxxOxT：三次函數(shù)圖象有什么共性？圖象有對稱中心嗎？（學(xué)生的思維被激活，他們開始討論，有些說有對稱中心，有些說沒有對稱中心）S1：三次函數(shù)圖象好象都是關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成對稱，且對稱中心就在三次函數(shù)的圖象上。（直覺是發(fā)現(xiàn)的前奏）S2 ： 老 師 ， 因 為 三 次 函 數(shù) f (x) ax3bx2cx d ( a

9、0) 的 導(dǎo) 函 數(shù) 是 二 次 函 數(shù)f ( x) 3ax 22bx c(a 0) ，二次函數(shù)是軸對稱圖形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，說明三次函數(shù)的圖象上關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值始終相等，說明這兩點(diǎn)處切線的斜率相等。S3：是的，我猜想：三次函數(shù)f ( x)ax 3bx 2cxd (a0) 對稱中心的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)xb。3a（教師鼓勵(lì)他們，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從感性向理性過渡）T： f ( x) x 3 ， f ( x)Ax 3Bx ，它們都是奇函數(shù)， 所以他們的對稱中心均為原點(diǎn) (0,0) 。T：函數(shù) f (x)A( xx0 ) 3B( xx0 ) 有對稱中心嗎？4：有，是點(diǎn) (x

10、0,0) .ST：追問：函數(shù)f ( x)A( xx0 ) 3B(x x0 ) y0 有對稱中心嗎？S5：有，是點(diǎn) (x0 , y0 ) .S6：（搶著說）老師，我知道了，三次函數(shù)一定有對稱中心，你隨便給我一個(gè)三次函數(shù)，我總可以把它化為f ( x)A( xx0 )3B( xx0 )y0 的形式。T：為什么？S6：我象二次函數(shù)配方那樣，對三次函數(shù)“配三次方”，一定可以把二次項(xiàng)“隱藏”起來。T：精彩！二次函數(shù)經(jīng)過“配方”，“配”出了一條對稱軸，三次函數(shù)經(jīng)過“配三次方”，“配”出了一個(gè)對稱中心。請大家一起來試試。 板書 例 3、試求函數(shù)f ( x)x 33x 26x6 圖象的對稱中心。學(xué)習(xí)必備歡迎下載

11、S：找到了，點(diǎn)(1, 2) 。（用圖象來驗(yàn)證）T： 板書 f ( x)( x1) 33( x1)2 函數(shù) f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 2) 對稱。事實(shí)上這里的 B, x0 , y0 被 b, c, d 所確定， 任意一個(gè)三次函數(shù) y ax 3 bx 2 cx d (a 0) 一定能化為 f ( x) a(x x0 ) 3 B( x x0 ) y0 的形式。（培養(yǎng)學(xué)生化歸意識，也體現(xiàn)了方程思想）T：我們把它叫三次函數(shù)的“什么式”？S7：聯(lián)想到二次函數(shù)的解析式有：一般式、頂點(diǎn)式、兩根式，把它叫“中心式”。S8 ：老師，我想用以前學(xué)過的一個(gè)結(jié)論（函數(shù)f ( x) ，對于定義域內(nèi)的任意x ，都有f

12、 ( a x) f (a x) 2b成立的充要條件是函數(shù)f ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a, b) 對稱）來證明？但感覺很麻煩。T：想法很好，我們只需證明f (bx)f (bx)2 f (b ) ，請同學(xué)們課后完成。3a3a3a（教師歸納總結(jié)，結(jié)合三次函數(shù)圖象及它的導(dǎo)函數(shù)圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來加以解釋：三次函數(shù) f ( x)ax3bx 2cxd (a0) 對稱中心的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并歸納證明三次函數(shù)對稱性的兩種方法）方法一：任意一個(gè)三次函數(shù)都可化為f (x)A( xx0 ) 3B( xx0 ) y0 的形式。方法二： 用結(jié)論（函數(shù) f (x) ，對于定義域內(nèi)的任意x ，都有

13、 f ( ax) f (a x)2b成立的充要條件是函數(shù) f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( a,b) 對稱）來證明。 板 書 三 次 函 數(shù) f (x) ax3bx 2cxd ( a 0) 是 關(guān) 于 點(diǎn) 對 稱 ， 且 對 稱 中 心 為 點(diǎn)(b , f (b ) ，此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3a3a4 4 應(yīng)用討論三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù) 板書 例 4、討論方程 ax 3bx 2cxd0(a0) 的實(shí)根的個(gè)數(shù)。分析：函數(shù) f ( x) ax3bx 2cxd (a0) 的圖象與 x 軸有幾個(gè)交點(diǎn)，方程便有幾個(gè)根。（通過學(xué)生的自主探索，師生交流，共同完成以下結(jié)論）1、當(dāng) = 4b212 ac

14、0 時(shí)，由于不等式f( x)0 恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個(gè)實(shí)根。2、當(dāng) = 4b 212ac0 時(shí)，由于方程 f( x) 0 有兩個(gè)不同的實(shí)根 x1 , x2 ，不妨設(shè) x1x2 ，由圖象可知， ( x1 , f ( x1 ) 為函數(shù)的極大值點(diǎn)，( x2 , f ( x2 ) 為極小值點(diǎn)，且函數(shù) yf (x) 在yyx1Ox2xf ( x1 )學(xué)習(xí)必備歡迎下載(, x1 ) 和 ( x2 ,) 上單調(diào)遞增，在 x1 , x2 上單調(diào)遞減。此時(shí)：1） 若 f (x1 )f ( x2 ) 0 ，即函數(shù) yf ( x) 極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在x 軸同側(cè)，圖象均與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

15、所以原方程有且只有一個(gè)實(shí)根（如圖2、3）。圖 22） 若 f (x1 )f ( x2 ) 0 ，即函數(shù) yf ( x) 極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在x 軸異側(cè)，圖象與 x 軸必有三個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有三個(gè)不等實(shí)根（如圖 4）。3） 若 f (x1 ) f ( x2 )0 ，即f ( x1 ) 與 f (x2 ) 中有且只有一個(gè)值為 0，所以，原方程有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等（如圖y圖 3yf ( x1 )Ox2xx1f ( x2 )圖 45、6）。yx1Ox2xx1Ox2x圖5圖64 5 課堂小結(jié)4 6 課外練習(xí)5、課后反思與探討在新課程理念的指導(dǎo)下， 我設(shè)計(jì)了這樣一節(jié)復(fù)習(xí)探究課。 總的看來，課堂氣氛民

16、主、和諧，學(xué)生普遍有濃厚的興趣，參與度高，大多數(shù)同學(xué)既能自主探索，敢于發(fā)表自己的見解，也能傾聽別人的想法，師生之間、學(xué)生之間的思想不斷碰撞，教學(xué)資源不斷生成（原先的教學(xué)習(xí)必備歡迎下載案中沒有“配三次方” 、“三次函數(shù)的中心式”等內(nèi)容） ，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，呈現(xiàn)各種三次函數(shù)圖象（這是以往教學(xué)難以實(shí)現(xiàn)的） ，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了廣闊的思維空間，既增強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)識，從變化中去尋找不變的東西，為發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)的對稱中心提供了想象的基礎(chǔ)，又為探索贏得了時(shí)間。也讓我再次領(lǐng)略到學(xué)生無窮的潛能，教師要做的是努力去開發(fā)他們。課堂教學(xué)永遠(yuǎn)是門“遺憾的藝術(shù)”，有許多問題值得探討。首先，教學(xué)目標(biāo)是否適切，是否有超出要求之嫌。三次函數(shù)的對稱中心也稱奇異切點(diǎn)，屬于高等數(shù)學(xué)研究范圍，但理論層面上講是極為初等的，具有可操作性， 如果在計(jì)算機(jī)上用切線法模擬尋找該對稱點(diǎn)，將非常迅速， 精度很高。 這一點(diǎn)是否有必要在課堂上進(jìn)行演示，以加深學(xué)生對三次函數(shù)對稱中心的理解。另外，由于課堂上沒有嚴(yán)格證明“三次函數(shù)圖象的對稱性”，是否會損害數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和教學(xué)的完整性。其次，課堂容量是否太大，在探