高中數(shù)學函數(shù)定義域值域求法總結

1、函數(shù)定義域、值域求法總結.求函數(shù)的定義域需要從這幾個方面入手:(1)分母不為零(2)偶次根式的被開方數(shù)非負。(3)對數(shù)中的真數(shù)部分大于 0。(4)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于 0,且不等于1(5) y=tanx 中 xWkn+n/2; y=cotx 中 xwkn 等等。(6 )x0 中 x 0二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍。常用的求值域的方法： (1)直接法(2)圖象法(數(shù)形結合)(3)函數(shù)單調性法(5)換元法 (包括三角換元)(7)分離常數(shù)法(4)配方法(6)反函數(shù)法(逆求法)(8)判別式法(9)復合函數(shù)法(10)不等式法(11)平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學的始終。定義域的求

2、法1、直接定義域問題例1求下列函數(shù)的定義域：11 f (x): f (x) 、3x 2； f(x) xx 1 x 22 x_r，一1 一一、解：.x-2=0 ,即x=2時，分式 無意義，x 21而x 2時，分式有意義，這個函數(shù)的定義域是x|x 2x 2 3x+2<0,即x<- 2時，根式，3x 2無意義，32 而3x 2 0,即x 時，根式v3x 2才有意義，32.這個函數(shù)的定義域是x|x -.3、11和分式當x 1 0且2 x 0,即x 1且x2時，根式vx同時有2 x意義，這個函數(shù)的定義域是x| x2另解：要使函數(shù)有意義，必須:例2求下列函數(shù)的定義域:f(x)xx2 3x 4

3、f (x)11 ,1 1 xf(x)(x 1)013 3x 7解：要使函數(shù)有意義，必須:即:，函數(shù) f (x)41的定義域為:3, 3要使函數(shù)有意義，必須:3x 41 2x3 或 3 x，定義域為： x| x4要使函數(shù)有意義，必須:1 1 x11 1.函數(shù)的定義域為：x|x0,1,要使函數(shù)有意義，必須: 定義域為：x | x1或1要使函數(shù)有意義，必須:x 2 3 03x 7 0x R7 x3即x< 7或x> 7 33，定義域為：x|x 732定義域的逆向問題例3若函數(shù)y21 ,ax ax 的定義域是R,求實數(shù)a的取值范圍.(定義域的逆向問題) aax2 ax 0恒成立,解：,一定義

4、域是R, 1-a等價于a 021a 4a 0 ay log x2 mx練習： log23定義域是一切實數(shù)，則m的取值范圍;1、1 .f (x -) f(x )的定義域.443復合函數(shù)定義域的求法例4若函數(shù)y f(x)的定義域為1, 1,求函數(shù)y53一x 4435x44解：要使函數(shù)有意義，必須:1x11 41x11 4上 1.133y f(x -) f(x -)x| x函數(shù)44的定義域為：44例5已知f(x)的定義域為1, 1,求f(2x 1)的定義域。分析：法則f要求自變量在1, 1內取值，則法則作用在2x1上必也要求2x1在1, 1內取值，即一1W2x1W1,解出x的取值范圍就是復合函數(shù)的定

5、義域；或者從 位置上思考f(2x 1)中2x1與f(x)中的x位置相同，范圍也應一樣，一K 2x-1< 1,解出x的取值范圍就是復合函數(shù)的定義域。(注意：f(x)中的x與f(2x 1)中的x不是同一個x,即它們意義不同。)解： f(x)的定義域為1, 1, 1<2x-1<1,解之 0WxW1, f(2x -1)的定義域為0 , 1。例6已知已知f(x)的定義域為1, 1,求f(x2)的定義域答案：1Wx2W1 x2 < 1- K x< 12)的定義域.練習：設f(x)的定義域是3, 22 ,求函數(shù)f(Jx& 2 22 得： 1 <x 2 <2-

6、20 x 6 4 2x|0 x 6 4. 2解：要使函數(shù)有意義，必須： 3<x>o 0 Vx 2.函數(shù)f(Jx 2)的定域義為：例7已知f(2x 1)的定義域為0, 1,求f(x)的定義域因為2x1是R上的單調遞增函數(shù)，因此由 2x-1, x 0,1求得的值域1, 1是 f(x)的定義域。練習：51已知f(3x 1)的定義域為1, 2 ,求f(2x+1)的定義域。-,22(提示：定義域是自變量 x的取值范圍)2已知f(x2)的定義域為-1, 1,求f(x)的定義域3若y f x的定義域是 0,2 ,則函數(shù)f x 1 f 2x 1的定義域是1 1A. 1,1B -,12 21 x ,

7、4已知函數(shù)f x 的定義域為A,函數(shù)2 xA. AUB B B. B a C.1 .八 1C . ,1D.0,3 2y f f x 的定義域為B,則()AI B BD. A B求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求(直接法)一次函數(shù)y=ax+b(a 0)的定義域為R,值域為R;ky (k 0)反比例函數(shù) x的定義域為x|x0，值域為y|y 0;2二次函數(shù)f(x) ax bx c(a 0)的定義域為R,.22、. (4ac b ). (4ac b )y|yy|y 3L當a>0時，值域為4a ；當a<0時，值域為4a .例1求下列函數(shù)的值域2 y=3x+2(-1 x 1) f(x)上(1 x

8、 3x小1y x (記住圖像) x解： -1x 1 ,-33x 3,.-13x+2 5,即-1 y 5,.值域是-1 , 5略1 O 當 x>0, y x 1=(Vx 亍)2 2 2, xx-，11 O當 x<0 時，y ( x )=-(V x )2 2值域是(2 2 , + ).(此法也稱為配方法)x, x1 函數(shù)y x 的圖像為: x二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例2求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域： y x2 4x 1;；y x2 4x 1,x 3,4 y x2 4x 1,x 0,1； y x2 4x 1, x 0,5；解： y x2 4x 1 (x 2)2 3, 頂點為(

9、2,-3)，頂點橫坐標為2.拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R,1-2 -1 o-1-2-36 x，x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是 y|y -3 .頂點橫坐標2 3,4,當 x=3 時，y= -2 ; x=4 時，y=1 ;.在3,4上，ymin =-2 , ymax = 1；值域為-2 , 1.,頂點橫坐標 2 0,1,當x=0時，y=1; x=1時，y=-2,在0,1上，ymin =-2 , ymax = 1；值域為 -2 ,1,頂點橫坐標 2 0,5,當 x=0 時，y=1; x=2 時，y=-3, x=5 時，y=6,在 0,1上，ymin =-3，y max=6;值

10、域為-3 , 6.注：對于二次函數(shù)f(x) ax2 bx c(a 0),若定義域為R時，當a>0時，則當x 2時，其最小值v (4ac b2); y min72a4a當a<0時，則當x 2時，其最大值ymax (4ac b2); max2a4a若定義域為x a,b,則應首先判定其頂點橫坐標x0是否屬于區(qū)間a,b.若Xo a,b,則f(x0)是函數(shù)的最小值(a>0)時或最大值(a<0)時，再比較f (a), f(b)的大小決定函數(shù)的最大(小)值 .若Xo a,b,則a,b是在f(x)的單調區(qū)間內，只需比較f (a), f (b)的大小即可決定函數(shù)的最大(小)值.注：若給定

11、區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值；當頂點橫坐標是字母時，則應根據(jù)其對應區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關系進行 討論.練習：1、求函數(shù)y=3+ J2 3x的值域解：由算術平方根的性質，知<2 3x >0,故3+，2 3x >3。.函數(shù)的值域為3,2、求函數(shù)yx2 2x 5 ,x 0,5的值域X 1 時，ymin 4解： 對稱軸X 10,5 x 5時，ymax 20值域為4,201單調性法例3 求函數(shù)y=4x 713(xW 1/3)的值域。設 f(x)=4x,g(x)=W 3x ,(x < 1/3),易知它們在定義域內為增函數(shù)，y=f(x)+g(x)=4x-1 3x因此

12、，所求的函數(shù)值域為在定義域為x< 1/3上也為增函數(shù)，而且yWf(1/3)+g(1/3)=4/3,y|y W4/3。小結：利用單調性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結合函 數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。練習：求函數(shù)y=3+ 44x的值域。(答案：yy >3) 2換元法例4 求函數(shù)y x 2 J1 x的值域解：設 jT_x t ,則 yt2 2t 1 (t 0)對稱軸t 1 0,，且開口向下當t 1時，ymax 2值域為 ,2點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解

13、題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應用十分 廣泛。練習：求函數(shù)y= Jx 1 x的值域。(答案：y|yw3/4,、1 sinxcosx求的值域;sin x cosx例5 (三角換元法)求函數(shù) y x V1 x2的值域解：1x1設 x cos 0,y cos sin cos sin 2sin( )1,-24原函數(shù)的值域為1,. 2小結：(1)若題目中含有a1 ,則可設a sin ,2-(或設a cos ,0(2)若題目中含有 a2 b21則可設a cos ,b sin(3)若題目中含有 v1 x2 ,則可設x cos ,其中0(4)若題目中含有 Ji x2 ,則可設x tan ,其中一 一2

14、2(5)若題目中含有x y r(x 0y 0,r 0),則可設x 3coS ,yvrsir2其中0，一23平方法例5（選）求函數(shù)Jx 3v/5x的值域解：函數(shù)定義域為:3,52y2y(x 3) (5x)2，x2 8x 15由 x 3,5 ，得 x2 8x 15 0,12,4原函數(shù)值域為22 ,24分離常數(shù)法例6 求函數(shù)yx 1的值域小結:已知分式函數(shù)32.ax練習求函數(shù)求函數(shù)求函數(shù)解法一:cx-(c d0）,如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求）內，值域為采用部分分式法將原函數(shù)化為求值域。如果是條件定義域（對自變量有附加條件）ad b c cx d(adbc）,用復合函數(shù)法來2x 1與的

15、值域4x 63x-一的值域312x y=1的值域；（yC（-1,i)（圖象法）x 1 的值域可化為,x2x ,4,解法二：（不等式法）x 3 |x 1 (x 3) (x 1) 4x3x1 (x 1) 4 x 1 x 1 4 x 1同樣可得值域4練習：y x x 1的值域1,例8 求函數(shù)y9x 3x 2 (x0,1 ）的值域解：（換元法）3原函數(shù)可化為例9求函數(shù)y解：（換元法）y t2 t值域為x2 2x-32 , 對稱軸2,8的值域令tx22x1,3時，ymin 2 ； t時，ymax 8由指數(shù)函數(shù)的單調性知,例10求函數(shù)y 2x (x解：（圖象法）如圖,值域為（換元法）設3x(x1)21 t

16、-(t 1) 3原函數(shù)的值域為0)0,1的值域3x 1 13x 1原函數(shù)的值域為例13函數(shù)y2x2x的值域解法一:（逆求法）原函數(shù)的值域為1,1解法二：（換元法）設x20,1一J.3x2t 10221 y 1原函數(shù)值域即得解法三:（判別式法）原函數(shù)可化為(y 1)x21)1時不成立2)1時,0 4(y1)(y 1)1)、2)值域y |1解法四：（三角換元法）tantan2例14 求函數(shù)y1 tan2cos 2cos 21,1原函數(shù)的值域為y| 11-2-的值域2x 4x 3解法一：（判別式法）化為2yx24yx (3y1） y 0時，不成立2) y 0 時,(4y) 8y(3y 5) 05)綜

17、合1）、2）值域y |05解法二：（復合函數(shù)法）令2x2 4x 3t 2(x1)2所以，值域y|0 y 51例15 函數(shù)y x x1的值域解法一：（判別式法）原式可化為(1 y)x 1 0,、20（1 y） 4 0原函數(shù)值域為，13,解法二：（不等式法）1）當x 0時，11x -（ x） -2x（ x）2） x 0 時，綜合1） 2）知，原函數(shù)彳1域為，1一 人， x2 2x 2例16 （選）求函數(shù)y x一W （xx 1解法一：（判別式法）原式可化為 x2_2_0（2 y） 4（2x 1 y 2舍去原函數(shù)值域為2 ,y 3 或 y 11x - 2 y 3 xy 13,1)的值域(2 y)x 2

18、 y 0y) 0 y 2 或y 2解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為y (x 1)2 1 x 112( x 1)x 1x 1當且僅當0時取等號，故值域為 2,例17 （選）求函數(shù)yx2 2x 2 ( 2x 1x 2）的值域解：（換元法）令x 1,則原函數(shù)可化為1y t ( 1 t 3) t小結：已知分式函數(shù)y判別式法求值域; 以化為ax2 bx c , 2. 2一2 （a d 0）,如果在其自然定義域內可米用dx ex f如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可一次式、y m）的形式，采用部分分式法，進而用基本不等式法求次式出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉化為利用函數(shù)y x a （x 0）的單調性去解。x練習：211、y x2 9（x 0）；x211 2解： x 0, y x 9 (x -)11 , y 11.xx1另外，此題利用基本不等式解更簡捷：y x2 _ 9 2 9 11(或利用對勾函數(shù)圖x像法)52、 y 22x2 4x 30<y 5.3、求函數(shù)的值域 y x x ； y 2 V4xx2解：令 u %'2 x 0,則 x 2 u2,119原式可化為y 2 u2 u (u 1)2 9, 24. u 0, y 9, .函數(shù)的值域是(-,9.44八、一人2解：