高中數(shù)學(xué)競賽講義(三)函數(shù)

1、高中數(shù)學(xué)競賽講義(三)函數(shù)一、基礎(chǔ)知識定義1映射，對于任意兩個集合 A, B,依對應(yīng)法則f,若對A中的任意一個元素 x, 在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，則稱f: A-B為一個映射。定義2單射，若f: A-B是一個映射且對任意 x, yC A, x。y,都有f(x)M f(y)則稱之為單 射。定義3滿射，若f: A-B是映射且對任意yC B,都有一個xC A使得f(x)=y,則稱f: A 一B是A到B上的滿射。定義4 一一映射，若f: A-B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1: AfB。定義5函數(shù)，映射f: A-B中

2、，若A, B都是非空數(shù)集，則這個映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若xCA, yC B,且f(x)=y (即x對應(yīng)B中的y),則y叫做x的象，x叫y的原象。 集合f(x)|xC A叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=36-1的定義域為xx>0,xCR.定義6反函數(shù)，若函數(shù)f: A-B (通常記作y=f(x)是一一映射，則它的逆映射 f-1: A 一B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作 y=f-1(x).這里求反函數(shù)的過程是：在解析式 y=f(x)中反解 乂得乂二，然后將x, y互換得y=f-1(x),最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。

3、例如：11函數(shù)y= L-克的反函數(shù)是y=1-1(xM 0).定理1互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。定理2在定義域上為增(減)函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增(減)函數(shù)。定義7函數(shù)的性質(zhì)。(1)單調(diào)性:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的Xi, x2CI并且x1< x2,總有f(x1)<f(x2)(f(x- )>f(x2),則稱f(x)在區(qū)間I上是增(減)函數(shù)，區(qū)間 I稱為單調(diào)增(減)區(qū)間。(2)奇偶性：設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為D,且D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，若對于任意 的xCD,者B有f(-x)=-f(x),則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的 xC D,者B有f(-

4、x)=f(x),則稱f(x) 是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。(3)周期性：對于函數(shù)f(x),如果存在一個不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+T尸f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在 最小的正數(shù)To,則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。定義8如果實數(shù)a<b,則數(shù)集xa<x<b, xC R叫做開區(qū)間，記作(a,b),集合x|aWx wb,xCR記作閉區(qū)間a,b,集合xa<xwb記作半開半閉區(qū)間(a,b,集合x|aw x<b記作 半閉半開區(qū)間a, b),集合x|x>a記作

5、開區(qū)間(a, +8),集合x|xw a記作半開半閉區(qū)間(- °°,a.定義9函數(shù)的圖象，點集(x,y)|y=f(x), xCD稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定 義域。通過畫圖不難得出函數(shù)尸f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b>0); (1)向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；(2)向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；(3)向 下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；(4)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；(5)與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；(6)與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；(7)與

6、函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。1定理3復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減"。例如y=2工,u=2-x£ 在(-8,2)上是減函數(shù)，y=在(0, +8)上是減函數(shù)，所以 y=2 一工在(-8,2)上是增函數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。二、方法與例題1.數(shù)形結(jié)合法。例1求方程|x-1尸式的正根的個數(shù).£【解】 分別畫出丫=-1|和y=工的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。例2求函數(shù)f(x)=Q的取大值。解x)=：一 , 二："B (0, 1),則f(x)表示動點P

7、到點A和B距離的差。，記點 P(x, x?2), A (3, 2),因為|PA|-|PA|W |AB|=，3 +(2T) ”何，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交 點時等號成立。所以 f(x)max=' 12.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。kx-好 +1997(-1)= -1例3設(shè)x, yC R,且滿足匕-暝+”97。7= ,求 x+y.【解】設(shè)f(t)=t3+1997t,先證f在(-8, +oo)上遞增。事實上，若 a<b,則f(b)-f(a尸b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)遞增。由題設(shè) f(x-1)=-1 = f(1

8、-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2.例4奇函數(shù)f(x)在定義域(-1,1)內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范圍?！窘狻?因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-i),由題設(shè)f(i-a)<f(a2-i)o又f(x)在定義域(-1,1)上遞減，所以-1<1-a<a2-i<i,解得0<a<i。例5設(shè)f(x)是定義在(-8,+8)上以2為周期的函數(shù)，對kCZ,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1, 已知當(dāng)xC I。時，f(x)=x2,求f(x)在Ik上的解析式?！窘狻?設(shè) xC Ik,則 2k-1<xw

9、2k+1,所以 f(x-2k)=(x-2k)2又因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以當(dāng) xe% 時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2例 6 解方程：(3x-1)(J91 -公4 5 +1 )+(2x-3)(2A+1)=0.【解】 令m=3x-1, n=2x-3,方程化為m("相 +4+1)+n("*+1)=0.若m=0,則由得n=0,但m, n不同日為0,所以mM 0, nM 0.i )若m>0,則由得n<0,設(shè)f(t)=t(J+4 +1)，則雉)在(0, +oo)上是增函數(shù)。又4f(m)=f(-n),所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以

10、x=4ii)若m<0,且n>0。同理有 m+n=0,x=，但與 m<0矛盾。綜上，方程有唯一實數(shù)解 x=-：3.配方法。例7求函數(shù)y=x+J2無+1的值域。J【解】 y=x+-二-=二2x+1+2,+1-11 1 1=2 (+ 1 +1)-1 > £ -1=) .2 x)當(dāng)x=-2時，y取最小值-2 ,所以函數(shù)值域是-2 , +8)。4 .換元法。例 8 求函數(shù) y=( 71+7 + 71- +2)(71 - + +1),xC 0,1的值域。解令J1 +工+J1 -5=u,因為xC0,1,所以2W #=2+2/1_ £ W4,所以<u+ 2/

11、+ 2 Q。+ 2W2,所以 2 w 2<2, K 2 <2,所以 y= 2,u2 C 點 +2, 8。所以該函數(shù)值域為2+點，8。5 .判別式法。x2 - 3x + 4例9求函數(shù)v=£ +3工+4的值域?！窘狻坑珊瘮?shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.當(dāng)yM 1時，式是關(guān)于x的方程有實根。2所以 =9(y+1)2-i6(y-i)2>0,解得 7 <y< 1.又當(dāng)y=1時，存在x=0使解析式成立，2所以函數(shù)值域為7 , 7。6.關(guān)于反函數(shù)。例10若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為 R,且存在反函數(shù)。若 f(x)在(-8,+ 8)上遞增，

12、 求證：y=f-1(x)在(-oo,+ oo)上也是增函數(shù)。【證明】設(shè) x1<x2,且 y1=f-1(x1), y2=f1(x2),則 x=f(y)，x2=f(y2),若 y1 >y2,則因為 f(x)在 (-8,+ oo)上遞增，所以x1>x2與假設(shè)矛盾，所以y1<y2o即 y=f-1(x)在(-oo,+ 8)遞增。4 例 11 設(shè)函數(shù) f(x)=13x+ ,解方程：f(x)=f-1(x).22【解】 首先f(x)定義域為(-8,-3 ) U-4 , +8)；其次，設(shè)x1, x2是定義域內(nèi)變量，2 4/ +1 _ % +15(/ 一/)且 x1<x2<-

13、-；二-上 =：V-：1 >0,所以f(x)在(-8, -3 )上遞增，同理f(x)在-4 , +OO)上遞增。在方程 電)二/制中，記f(x)=f1(x)=y,則y>0,又由白尸丫得f(y尸x,所以x>0,所以x,ye - 4 , +8)若 xMy,設(shè) x<y,則 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。同理若x>y也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x,化簡得 3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因為 x>0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 .已知 X

14、=-1,0,1, Y=-2,-1,0, 1,2,映射 f: X-Y 滿足：對任意的 xCX,它在 Y 中 的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有 個。2 .給定A=1 , 2, 3, B=-1 , 0, 1和映射f: X-Y,若f為單射，則f有 個；若f為滿射，則f有 個；滿足ff(x) =f(x)的映射有 個。3 .若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(-1,-1),則圖象與直線一共有 個交點。3 44 .函數(shù)y=f(x)的值域為石9 ,則函數(shù)g(x)=f(x)+/l 2'g 的值域為。15 .已知f(x)=x + 1 ,則函數(shù)g(x)=ff(x)的值域為

15、 。6 .已知f(x)=|x+a|,當(dāng)x> 3時f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是 。27 .設(shè)y=f(x)在定義域(2,2)內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為 8 .若函數(shù)y=W(x)存在反函數(shù)y=W-1(x),則y=e-1(x)的圖象與y=- (-x)的圖象關(guān)于直線 對稱。1 1 1 丁 一 + 丁 9 .函數(shù)f(x)滿足L "=1-' 工，則f(工)=。10 .函數(shù) y=Jx + 1 Jx1 , xC(1, +8)的反函數(shù)是 。I I 石 +- +111 .求下列函數(shù)的值域：(1)y=""'”江1 ; (2)y= J* ;

16、 K ；(3)y=x+2三T；(4) y=-12 .已知)一“，工)定義在R上，對任意xC R, f(x)=f(x+2),且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)xC 2,3時，f(x)=x,則當(dāng)xC-2,0時,求f(x)的解析式。四、高考水平訓(xùn)練題E1 .已知 aC L * ,f(x)定義域是(0,1,則 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為 。2 .設(shè) 0Wa<l 時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒為正值。則 f(x)定義域為。3 .映射 f: a, b, c, d一1 , 2, 3滿足 10<f(a) f(b) f(c) f(d)<20 ,這樣的映射

17、f 有 個。4 .設(shè)函數(shù)y=f(x)(xC R)的值域為R,且為增函數(shù)，若方程 f(x)=x解集為P, ff(x)=x解集為Q,則P, Q的關(guān)系為：P Q (填=、-、-)o俘5 .下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：(1) f(x)=(x-1)1l ; g(x)=|2x+1|-|2x-1 ; (3)中(x)=6 .設(shè)函數(shù) y=f(x)(xC R 且 x.。)，對任意非零實數(shù) xi, x2 滿足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又 f(x)在 2(0, +8)是增函數(shù)，則不等式 f(x)+f(x-2 )W0的解集為 。n xe PY T P M7 .函數(shù)f(x)= I，其中P, M為R的兩個非空子集

18、，又規(guī)定f(P)= y|y=f(x),xe P, f(M)= y|y=f(x), xe M,給出如下判斷： 若 pn m=© ,貝u f(P) f(M)=仁；若 ppm M 0 ,貝U f(P) f(M)工 0 ；若 PU M=R,則 f(P) U f(M)=R ;若 PU M R,貝U f(P) U f(M)*R.其中正確的判斷是 。8 .函數(shù) y=f(x+1)的反函數(shù)是 y=f，x+1),并且 f(1)=3997,則 f(1998)=。9 .已知y=f(x)是定義域為-6, 6的奇函數(shù)，且當(dāng)xC 0, 3時是一次函數(shù)，當(dāng) xC3, 6 時是二次函數(shù)，又 f(6)=2,當(dāng)xC 3,

19、 6時，f(x)Wf(5)=3。求f(x)的解析式。10 .設(shè)a>0,函數(shù)f(x)定義域為R,且f(x+a尸乙,求證：f(x)為周期L 1已知函數(shù)f(x)='十/ ( 1 )對任意正數(shù)x1, x2,求證:函數(shù)。11 .設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為a ,3 ( a < 3 )求f(a)、f(3); (2)求證：f(x)在a, 3 上是增函數(shù)；(3)<2| a - 3 |.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1.奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)r1(x),若把y=f(x)的圖象向上平移 3個單位，然后向右平移 2 個單位后，再關(guān)于直線 y=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是 .(i

20、 n-3? 十 一2 .若a>0, a= 1,F(x)是奇函數(shù)，則 G(x)=F(x)l/ 幻 是 (奇偶性).n-工、p 3 .若 U + h=x,則下列等式中正確的有 .F(-2-x)=-2-F(x);F(-x)=仁U+芹 F(x-1)=F(x); F(F(x)=-x.4 .設(shè)函數(shù) f: R f R 滿足 f(0)=1,且對任意 x,yC R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(x)=.5 .已知f(x)是定義在 R上的函數(shù)，f(1)=1 ,且對任意xC R都有f(x+5)>f(x)+5, f(x+1) < f(x)+1。若 g(x)=f(x)

21、+1-x,則 g(2002)=.6 .函數(shù)f(x)="工- 3的單調(diào)遞增區(qū)間是 .X A 7 .函數(shù)f(x)=l2*2的奇偶性是：奇函數(shù)，偶函數(shù)(填是，非)。8 .函數(shù)y=x+ "五一3"+ 2的值域為.1/ HL29 .設(shè)f(x)=l"l1七可，對任意的 aC R,記 V(a尸maxf(x)-ax|xC 1, 3-m inf(x)-ax|xC 1, 3,試求 V(a)的最小1尸=尸< 1-/ ="、E 7T10 .解方程組：L -(在實數(shù)范圍內(nèi))11 .設(shè) kC N+, f: N+f N+滿足：(1) f(x)嚴(yán)格遞增；(2)對任意 nCN+,有 ff(n)=kn,2k # + 1 用求證：對任意n N+,都有上十1 nwf(n)w之六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題12 求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f,滿足：(1 )對任意xw 0, f(x)=x - f由