02函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其它基本初等其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(c )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( ) 1 (2

2、xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()

3、()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf推論推論 )() 1uc )()2wvuuc wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( c為常數(shù) )例例1 1.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2

4、cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. 如果函數(shù)如果函數(shù)( )xf yyi在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且( )0fy，則它的反函數(shù)，則它的反函數(shù)1( )yfx在區(qū)間在區(qū)間 |( ),xyix xf yyi內(nèi)也可導(dǎo)，且內(nèi)也可導(dǎo)，且11( ),( )fxfy 或或1dydxdxdy證證: 在在 x 處給增量處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此因此,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有10(

5、)limxyfxx lim0yyx 1( )fy11例例3 3.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yiyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xi)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例4. 求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).設(shè), )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )a

6、rcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結(jié)小結(jié):在點在點 x 可導(dǎo)可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點在點)(xgu 可導(dǎo)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且且)()(ddxgufxy在點在點 x 可導(dǎo)可導(dǎo),證證:)(ufy 在點在點 u 可導(dǎo)可導(dǎo), 故故)(lim0ufuyuuuufy)(（當（當 時時 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy即即

7、 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對等于因變量對中間變量求導(dǎo)中間變量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求乘以中間變量對自變量求導(dǎo)導(dǎo).(.(鏈式法則鏈式法則) )推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).例例5 5 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：解解ln(0)yxx10lnxyxyx，110ln()( 1)xyxyxx ，1ln xx 例例6 6.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)

8、 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例7 7.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例8 8.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例9 9.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 抽象復(fù)合

9、函數(shù)求導(dǎo)舉例抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)舉例例例9 9 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù))2(sin. 1xfy 解解:)(sin(sinxxfy22xxf222cos)(sin)(arctan)(arcsin. 22xgxfy 解解:4221212)(arctan21)()(11xxxgxxfxfy )()(ln. 3xfxgxy 解解:)()()(ln)()(ln2xfxfxgxxfxgxy )()()(ln)(1)(ln)(ln212xfxfxgxxfxxgxxgx )()()(ln)()(ln)(ln212xfxxfxxgxfxgxg 例例1010.)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy

10、解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 四、小結(jié)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).必須記住必須記住: p94全部導(dǎo)數(shù)公式全部導(dǎo)數(shù)公式.作業(yè)作業(yè)p 967 (7) , (8), (9), (10) ; p 967 (7) , (8), (9), (10) ; 8 (6), (7), (8), (9), (10) ; 8 (6), (7), (8), (9), (10) ; 9; 10; 9;