【江蘇版】高三數(shù)學(xué)三輪總動(dòng)員：專題3平面向量、解三角形解析版

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【方法引領(lǐng)】【舉例說(shuō)法】一、平面向量與三角函數(shù)綜合例1已知向量m=(cos ，sin )，n=(，-1)，(0，).(1)若mn，求角的大?。?2)求|m+n|的最小值.(2)因?yàn)閙+n=(cos +，sin -1)，所以|m+n|=.因?yàn)?0，)，所以+，故當(dāng)+=，即=時(shí)，|m+n|取得最小值1.【練習(xí)】在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2sin2+cos 2c=1.(1)求角c的大??；(2)若向量m=(3a，b)，n=，且mn，(m+n)·(m-n)=16，求a，b，c的值. 所以cos c=或cos c=-1.因?yàn)閏(0，)，

2、所以c=.(2)因?yàn)閙n，所以3a2-=0，即b2=9a2.又(m+n)·(m-n)=16，所以8a2+=16，即a2+=2.由可得a2=1，b2=9，所以a=1，b=3.又c2=a2+b2-2abcos c=7，所以c=，所以a=1，b=3，c=. 二、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用例2【20xx南京二模】如圖，在abc中，d為邊bc上一點(diǎn)，ad6，bd3，dc2（1）若adbc，求bac的大小；（2）若abc，求adc的面積（2）設(shè)bad 在abd中，abc，ad6，bd3由正弦定理得 解得sin 8分因?yàn)閍dbd，所以為銳角，從而cos 10分因此sinadcsin()sincosc

3、ossin 12分adc的面積s×ad×dcsinadc 14分【練習(xí)】在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角c的大??；(2)若c=2acos b，b=2，求abc的面積.【解答】(1)在abc中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得=-，即cos c=-.因?yàn)?<c<，所以c=.(2)方法一：因?yàn)閏=2acos b，由正弦定理，得sin c=2sin acos b.因?yàn)閍+b+c=，所以sin c=sin(a+b)，所以sin(a+b)=2sin acos b，即sin acos b-cos

4、asin b=0，所以sin(a-b)=0.又-<a-b<，所以a-b=0，即a=b，所以a=b=2.所以abc的面積為sabc=absin c=×2×2×sin =.方法二：由c=2acos b及余弦定理，得c=2a×，化簡(jiǎn)得a=b，所以abc的面積為sabc=absin c=×2×2×sin =.三、平面向量與解三角形綜合例3在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量a=(sin b-sin c，sin c-sin a)，b=(sin b+sin c，sin a)，且ab.(1)求角b的大小

5、；(2)若b=c·cos a，abc的外接圓的半徑為1，求abc的面積.所以cos b=.因?yàn)閎(0，)，所以b=.(2)因?yàn)閏·cos a=b，所以=，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2rsin b=，解得a=1，c=2.所以sabc=acsin b=.【練習(xí)】在abc中，內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別是a，b，c，已知向量m=(cos b，cos c)，n=(4a-b，c)，且mn. (1)求cos c的值；(2)若c=，abc的面積s=，求a，b的值.【解答】(1)因?yàn)閙n，所以ccos b=(4a-b)cos c，由正弦定理，得sin ccos b=(4

6、sin a-sin b)cos c，化簡(jiǎn)得sin(b+c)=4sin acos c.因?yàn)閍+b+c=，所以sin(b+c)=sin a.又因?yàn)閍(0，)，所以sin a0，所以cos c=.(2)因?yàn)閏(0，)，cos c=，所以sin c=.因?yàn)閟=absin c=，所以ab=2.因?yàn)閏=，由余弦定理得3=a2+b2-ab，所以a2+b2=4，由，得a4-4a2+4=0，從而a2=2，a=(a=-舍去)，所以a=b=.【實(shí)戰(zhàn)演練】1. 在斜三角形abc中，tan a+tan b+tan atan b=1.(1)求角c的大?。?2)若a=15°，ab=，求abc的周長(zhǎng).即tan(18

7、0°-c)=1，tan c=-1.因?yàn)?°<c<180°，所以c=135°.(2)在abc中，a=15°，c=135°，則b=180°-a-c=30°.由正弦定理=，得=2，故bc=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=，ca=2sin 30°=1.所以abc的周長(zhǎng)為ab+bc+ca=+1+=.2. 已知在銳角三角形abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a

8、，b，c，sin a=，tan(a-b)=-.(1)求tan b的值；(2)若b=5，求c的值.又因?yàn)閠an(a-b)=-，所以tan b=tana-(a-b)= =2.(2) 由(1)知tan b=2，得sin b=，cos b=，所以sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=，由正弦定理=，得c=.3. 如圖，在梯形abcd 中，已知adbc，ad=1，bd=2，cad=，tanadc=-2.(1)求cd的長(zhǎng)；(2)求bcd的面積.=sinadc+=sinadc·cos +cosadc·sin =，在adc中，由正弦定理得cd=.(2)

9、因?yàn)閍dbc，所以cosbcd=-cosadc=，sinbcd=sinadc=.在bdc中，由余弦定理得bd2=bc2+cd2-2bc·cd·cosbcd，即bc2-2bc-35=0，解得bc=7，所以sbcd=bc·cd·sinbcd=×7××=7.4. 在abc中，已知a，b，c分別為角a，b，c的對(duì)邊.若向量m=(a，cos a)，向量n=(cos c，c)，且m·n=3bcos b.(1)求cos b的值；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，求+的值.【解析】(1) 因?yàn)閙·n=3bcos b，所以ac

10、os c+ccos a=3bcos b.由正弦定理得sin acos c+sin ccos a=3sin bcos b，所以sin(a+c)=3sin bcos b，又+=+.=.5. 在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcos c+ccos b=2acos a.(1)求角a的大?。?2)若·=，求abc的面積.【解析】(1) 方法一：在abc中，由正弦定理及bcos c+ccos b=2acos a，得sin bcos c+sin ccos b=2sin acos a，即sin a=2sin acos a.因?yàn)閍(0，)，所以sin a0，所以cos a=，所以a=

11、.方法二：在abc中，由余弦定理及bcos c+ccos b=2acos a，得b·+c·=2a·，所以a2=b2+c2-bc，所以cos a=.因?yàn)閍(0，)，所以a=.(2) 由·=cbcos a=，得bc=2，所以abc的面積為s=bcsin a=×2×=. 6. 已知abc的面積為s，且·=s.(1)求sin a；(2)若|=3，|-|=2，求sin b.所以a為銳角，且sin2a+cos2a=sin2a+sin2a=sin2a=1，所以sin a=.(2) 因?yàn)閨=c=3，|-|=|=a=2，由正弦定理得=，即=，

12、所以sin c=.又因?yàn)閏<a，所以c為銳角，所以c=，所以 sin b=sin=sin acos +cos asin =×+×=.7. 在abc中，角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，且b2+c2=a2-bc.(1)求角a的大??；(2)若·=-8，求abc的面積.所以sabc=bcsin a=×16×=4.$.8. 在abc中，a，b，c分別為角a，b，c的對(duì)邊，abc的面積s滿足s=bccos a.(1)求角a的大??；(2)若a=，求c的取值范圍.【解析】(1) 在abc中，由s=bccos a=bcsin a，得tan a=.因?yàn)?<a<，所以a=.(2) 由a=，a=及正弦定理得=2，所以c=2sin c=2sin(-a-b)=2sin.因?yàn)閍=，所以0<b<，所以0<-b<，所以0<sin1，0<2sin2，即c的取值范圍為(0，2.9. 已知函數(shù)f(x)=sin xcos x-cos 2x(xr).(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期；(2)設(shè)abc的