哈爾濱工業(yè)大學動力工程控制與仿真研究所

1、2021-11-15哈爾濱工業(yè)大學動力工程控制與仿真研究所第三講 數(shù)據(jù)處理授課人：鮑文退出退出2021-11-15哈爾濱工業(yè)大學動力工程控制與仿真研究所1 矩陣分析2 數(shù)據(jù)分析函數(shù)3 多項式處理4 曲線擬和與插值5 數(shù)據(jù)分析6 微分方程數(shù)值解退出退出主菜單主菜單2021-11-15 一、特征值分解對于方陣a特征值問題：ax=rx，求取a陣的特征值和特征向量使用下面的方法：v,d=eig(a) 使用 v,d=eig(a,nobalance) “平衡” 的作用減少計算誤差，不平衡用于a陣大小懸殊的時候。 廣義特征值問題：ax=rbx，求解的方式為： v,d=eig(a,b)2021-11-15 三

2、角分解把矩陣分解為上三角矩陣和下三角矩陣，又稱為lu分解或者。計算中使用高斯變量消去法。這一分解使用 l,u=lu(a)實現(xiàn)。2021-11-15三、奇異值分解 u,s,v=svd(a) 實現(xiàn)奇異值分解。 分解得到的三個因數(shù)有如下關系 a=u*s*v 其中u矩陣和v矩陣是正交矩陣，s矩陣是對角矩陣，它的對角元素是a矩陣的奇異值。 奇異值分解的穩(wěn)定性很好。2021-11-15 函數(shù)名 含義 max最大值 min最小值 mean均值 std標準方差 median 中值2021-11-15 函數(shù)名 含義 sum元素的總和 prod元素的乘積 cumrod 元素的累積 cumsum元素的累加和 dif

3、f 差分函數(shù):少了一個元素2021-11-15 求出y=x*sin(x) 在0 x100的每個峰值 思路： 1、數(shù)學上峰值就是導數(shù)為零的點 2、導數(shù)在matlab中可以使用差分代替 3、差分后怎么求過零點呢？2021-11-15一、多項式表示 多項式在matlab中使用降冪系數(shù)的行向量表示。表示中需要包含零系數(shù)的項。poly2str：control toolbox中的函數(shù) 使用函數(shù)roots可找出多項式等于零的根。 規(guī)定：多項式用行向量，根用列向量。 給出多項式的根，使用poly函數(shù)也可以構造出相應的多項式。2021-11-15二、多項式運算 函數(shù)conv進行乘法運算，deconv進行除法運算

4、。matlab沒有提供特別的多項式加減法運算。 多項式除法并不一定能夠除盡，很多時候需要有余數(shù)多項式。 多項式微分使用polyder(p)函數(shù)，估計值使用polyval(p,at)函數(shù)。2021-11-15 在分析試驗數(shù)據(jù)中，常常要面臨將試驗數(shù)據(jù)作解析描述的任務，這個問題有曲線擬合和插值兩種方法。 在曲線擬合中，假定已知曲線的規(guī)律，作曲線的最佳逼近，但不需要經過所有的數(shù)據(jù)點；在插值中，認為數(shù)據(jù)是準確的，求取其中描述點之間的數(shù)據(jù)。2021-11-15一、曲線擬合 1、多項式的最小二乘曲線擬合 使用polyfit，它需要曲線的x、y值，以及曲線的階數(shù)。 曲線的階數(shù)：如果曲線的階數(shù)選擇的過小，擬合效

5、果不好；如果曲線的階數(shù)過高，雖然數(shù)據(jù)點上看到效果好，數(shù)據(jù)點之間會出現(xiàn)有數(shù)據(jù)振蕩的問題，階數(shù)不宜過高，小于5階。 靈活使用擬合2021-11-15 數(shù)據(jù)規(guī)律并不是多項式形式，直接最小二乘來擬合。 最小二乘函數(shù)為k=nnls(fx,y) 計算結果將使得|fx*k-y|2范數(shù)下最小 在計算中，fx可以為x的函數(shù)。 例子：擬合2021-11-15二、插值函數(shù) 1、曲線插值函數(shù)interp1 方法 t=interp1(x,y,x0,method) x、y：原始數(shù)據(jù)點，x0為進行插值的數(shù)組，method為插值算法:線性插值(linear)，三次樣條插值(spline),三次多項式插值(cubic). 如果

6、x0出界，則對應值為nan 例程：2021-11-15 插值函數(shù)： interp2，基本形式： zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method) method包括 linear:線性 cubic:三次多項式 nearest：粗略估計數(shù)據(jù) 例程：2021-11-15 1、使用的原因 高階多項式插值出現(xiàn)病態(tài)問題，三次樣條使用分段多項式，各點上的三次導數(shù)相等。它光滑、導數(shù)連續(xù)。 2、插值 yi=spline(x,y,xi); pp=spline(x,y); 分段多項式形式 例程：2021-11-15 pp形式可以和三次多項式形式轉化： break,coef,np,nc=unmkpp(pp

7、) 斷點、三次多項式、多項式數(shù)量、系數(shù)數(shù)量 pp=mkpp(break,coef); 由于轉化為了多項式形式，可以方便的進行積分和微分運算。2021-11-15 1、插值和擬合的問題：噪聲 2、濾波: 滯后,filter y=filter(b,a,x) a,b:濾波器的分子分母,x輸入 a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + . + b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - . - a(na+1)*y(n-na) 例程:2021-11-15 3、平滑 yi=csaps(x,y,p,xi) yi=csaps(x,y,p) 其中p為平滑因子

8、01 0: 最小二乘 1:平滑近似 ex46 2021-11-15 1、極小化極小化 matlab提供了fmin和fmins兩個函數(shù)來求極值，它們分別尋找一維和n維函數(shù)的極值。它使用的單純性法搜索。函數(shù)計算量大，或搜索區(qū)內有多極值，搜索的過程較長，也可能找不到極值。如找不到極值，將停止運行并提供解釋。 尋找極大值點，重定義函數(shù)為-f(x)即可。2021-11-15求零點 函數(shù)fzero可以尋找一維函數(shù)的過零點。 應用：使用bode圖判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，要看幅頻特性過零點和相頻特性過1800點。 fzero函數(shù)也可以尋找函數(shù)值等于常值點，只要重新定于函數(shù)為f(x)-c即可2021-11-15積分

9、 有限區(qū)域內積分函數(shù)：trapz、quad和quad8。 函數(shù)trapz通過計算梯形面積的和近似函數(shù)的積分，函數(shù)的分割是人為地。 quad使用simpson遞歸方法，quad8使用newton-costes遞歸方法進行數(shù)值積分。為了獲得更精確的結果，它們在所需的區(qū)間都計算被積函數(shù)。quad8比quad更精確。2021-11-154、微分 微分描述了函數(shù)在一點處的斜率，是函數(shù)的微觀性質，它對函數(shù)的微小變化十分敏感，函數(shù)的很小的變化，容易產生相鄰點斜率的巨大變化。 盡量避免使用數(shù)值微分，尤其是試驗數(shù)據(jù)的微分。如果迫切需要，最好先將試驗數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合伙這三次樣條擬合，然后對擬合函數(shù)進行微分。2

10、021-11-15fft變換 fft即快速傅立葉變換，是數(shù)據(jù)分析的基本方法，是x由基2的快速變換算法來計算。如x長度不是精確的2次冪則后面使用0填充，ifft(x)是向量x的離散傅立葉變換的逆變換。 在頻率軸上繪制fft曲線，要明確fft結果與實際頻率點的關系。設n個數(shù)據(jù)點，采樣頻率為fs，則nyquist頻率或n=n/2+1點與實際頻率的關系：f=(num-1)*fs/2021-11-15 需要注意的是fft結果為復數(shù)矩陣，為了得到幅頻特性，可使用abs函數(shù)，使用atan2得到相角，由于有的系統(tǒng)的相角可能大于1800，而相角函數(shù)值域在-18001800之間，需要使用unwrap函數(shù)展開折疊的相角，從而得到相頻特性。2021-11-15 常微分方程數(shù)值解用逐步積分方法實現(xiàn)，runge-kutta法是應用最多的微分方程數(shù)值解的方法。兩種runge-kutta法函數(shù)： t,x=ode23(xfun,t0,tf,x0,tol,trace) t,x=ode45(xfun, ,t0,tf,x0,tol,trace) 這兩種方法格式相同。其中xfun為定義的常微分方程函數(shù)名，該函數(shù)必須以為輸出，以t、x為輸入。2021-11-15 輸入變量t0、tf為積分的啟始和中止時間，單位是秒。x0為初始的狀態(tài)向量。tol控制結果的精度，可以缺省。一般來說