高考數(shù)學易錯點點睛與突破【專題11】空間向量原卷版

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 【20xx高考預測】【難點突破】難點 1 利用空間向量解立幾中的探索性問題1如圖11-23，pd面abcd，abcd為正方形，ab=2，e是pb的中點，且異面直線dp與ae所成的角的余弦為。試在平面pad內求一點f，使ef平面pcb。2如圖11-25，直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，面abcd是一個直角梯形，ab、cd為梯形的兩腰，且ab=ad=aa1=a。 （）如果截面acd1的面種為s，求點d到平面acd1的距離；（）當為何值時，平面ab1c平面ab1d1。證明你的結論。難點 2 利用空間向量求角和距離1 已知長方體abcd-a1b1c1d1中，a

2、b=1，bc=a，aa1=1。（1）棱bc上是否存在點p，使a1ppd，說明理由；（2）若bc上有且僅有一點p，使a1ppd，試求此時的二面角p-a1d-a的大小。【易錯點點睛】易錯點 1 求異面直線所成的角1如圖11-1，四棱錐pabcd的底面為直角梯形，abdc，dab=90°，pa底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點。（1）證明：面pad面pcd；（2）求ac與pb所成的角；（3）求面amc與面bmc所成二面角a-cm-b的大小。2如圖11-2，在直四棱術abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=2，dc=2，aa1=，addc，acbd，垂足為e。（1）

3、求證bda1c；（2）求二面角a1-bd-c1的大?。唬?）求異面直線ad與bc1所成角的大小。【特別提醒】坐標也容易出現(xiàn)錯誤，學習時要掌握一些特殊點坐標的特點，如x軸上的點坐標為（a，0，0），xoz面上的點坐標為（a,0,b）等，其次還應學會把某個平面單獨分化出來，利用平面幾何的知識求解，如本節(jié)的例2，求b的坐標。【舉一反三】1已知正三棱柱abca1b1c1的底面邊長為2a,高為b，求異面直線ac1和a1b所成的角。2如圖11-4，在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是d1d，bd的中點，g在cd上，且cg=cd，h為c1g的中點。（1）求證：efb1c；（2）求ef與

4、c1g所成角的余弦；（3）求fh的長。3如圖11-5 四棱錐pabcd的底面abcd是矩形，pa底面abcd，pa=ab=1，bc=2。（1）求證：平面pad平面pcd；（2）若e是pd的中點，求異面直線ae與pc所成角的余弦值；（3）在bc邊上是否存在一點g，使得d點在平面pag的距離為1，如果存在，求出bg的值；如果不存在，請說明理由。易錯點 2 求直線與平面所成的角1如圖在三棱錐pabc中，abbc，ab=bc=kpa，點o、d分別是ac、pc的中點，op底面abc。（1）當k=時，求直線pa與平面pbc所成角的大??；（2）當k取何值時，o在平面pbc內的射影恰好為pbc的重心？2如圖1

5、1-7，四棱錐pabcd中，底面abcd為矩形，pd底面abcd，ad=pd，e、f分別為cd、pb的中點。（1）求證ef平面pab；（2）設ab=bc，求ac與平面aef所成的角的大小。【特別提醒】求直線與平面所成角的公式為：sin=,其中a為直線上某線段所確定的一個向量，n為平面的一個法向量，這個公式很容易記錯，關鍵是理解，有些學生從數(shù)形結合來看，認為n應過直線上某個點，如例4中n應過c點，這是錯誤的，這里n是平面的任意一個法向量，再說一個向量過某一個具體的點這種說法也是錯誤的?！九e一反三】1、如圖11-9，在直三棱柱abca1b1c1中，acb=90°ac=2，bc=6，d為a

6、1b1的中點，異面直線cd與a1b垂直。（1）求直三棱術abc-a1b1c1的高；2、如圖，已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面邊長ab=2，側棱bb1的長為4，過點b作b1c的垂線交側棱cc1于點e，交b1c于點f。（1）求證：a1c平面bed；（2）求a1b與平面bde所成的角是正弦值。3、已知四棱錐p-abcd（如圖），底面是邊長為2的正方形，側棱pa底面abcd，m、n別為ad、bc的中點，mqpd于q，直線pc與平面pba所成角的正弦值為。（1）求證：平面pmn平面pad；（2）求pa的長；（3）求二面角p-mn-q的余弦值。易錯點 3 求二面角的大小1 在四棱錐v-abc

7、d中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形，平面vad底面abcd，如圖11-12。來源: （1）證明：ab平面vad；（2）求二面角a-vd-b的大小。2 如圖11-14，已知三棱錐p-abc中，e、f分別是ac、ab的中點，abc、pef都是正三角形，pfab。（1）證明：pc平面pab；（2）求二面角p-ab-c的平面角的余弦值；（3）若點p、a、b、c在一個表面積為12的球面上，求abc的邊長?！咎貏e提醒】利用空間向量求二面角，先求兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩法現(xiàn)量的夾角，二面角的平面角與法向量的夾角相等或互補，具體是哪一種，一般有兩種判斷方法：（1）根據(jù)圖形判斷二面

8、角是銳角還是鈍角；（2）根據(jù)兩法向量的方向判斷。實際上很多求二面角的題目，還是傳統(tǒng)方法（如三垂線定理作出二面角的平面角）簡單，或傳統(tǒng)方法與空間向量相結合來解。【舉一反三】1.如圖，在三棱錐p-oac中，op、oa、oc兩兩互相垂直，且op=oa=1，oc=2，b為oc的中點。（1）求異面直線pc與ab所成角的余弦值；（2）求點c到平面pab的距離；（3）求二面角c-pa-b的大?。ㄓ梅从嘞冶硎荆?。2、如圖所示，四棱錐p-abcd的底面是正方形，pa底面abcd，pa=ad=2，點m、n分別在棱pd、pc上，且pc平面amn。（1）求證：ampd；（2）求二面角p-am-n的大?。唬?）求直線c

9、d與平面amn所成角的大小。3 如圖所示，已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面邊長為4，aa1=6，q為bb1的中點，pdd1，ma1b1，nc1d1，am=1，d1n=3。（1）當p為dd1的中點時，求二面角m-pn=d1的大小；（2）在dd1上是否存在點p，使qd1面pmn？若存在，求出點p的位置；若不存在，請說明理由；（3）若p為dd1中點，求三棱錐q=pmn的體積。易錯點 4求距離1 如圖11-18，直二面角d-ab-e中，四邊形abcd是邊長為2的正方形，ae=eb，f為ce上的點且bf平面ace。 （1）求證：ae平面bce；（2）求二面角b-ac-e的大??；（3）求點d到

10、平面ace的距離。2如圖11-19，在三棱錐s-abc中，abc是邊長為4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m、n分別為ab、sb的中點（1）證明：acsb；（2）求二面角n-cm-b的大小。（3）求點b到平面cmn的距離。【特別提醒】立體幾何中的距離以點到面的距離最為重要利用空間和量求點到面的距離關鍵是對公式d=的理解和記憶，其中a為過該點且與平面相交的線段確定的向量，n為平面的任意一個法向量，這個任意給解題帶來了很大的方便。當然有些題目用空間向量來解可能沒有傳統(tǒng)方法簡單?！九e一反三】1 已知abcd是邊長為4的正方形，e、f分別是ab、ad的中點，pc垂直于abcd所在的平面

11、，且pc=2。 求點b到平面pef的距離。2 如圖：正四棱柱abcda1b1c1d1的底面邊長是，側棱長是3，點e、f分別在bb1、dd1上，且aea1b，afa2c。（1）求證：a1c平面aef；（2）求二面角a-ef-b的大小；（3）求點b1到平面aef的距離。3、在三棱錐p-abc中，pa=pb=pc，bc=2a，ac=a，ab=a，點p到平面abc的距離為a來源:（1）求二面角p-ac-b的大??；（2）求點b到平面pac的距離?！?0xx高考突破】1給出下列四個命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb.若xy，則p，m，a、b共面；若p，m，a，b共面，則x

12、y.其中真命題的序號是_2. 如圖所示，在平行六面體abcda1b1c1d1中，m為a1c1與b1d1的交點若a，b，c，則用a，b，c表示為_3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值是_4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，則|ba|的最小值為_5. 如圖，已知空間四邊形oabc，oboc，且aobaoc，則cos，的值為_6已知a3b與7a5b垂直，且a4b與7a2b垂直，則a，b_.7正方體abcda1b1c1d1的棱長為a，點m在ac1上且，n為b1b的中點，則|為_8在下列條件中，使m與a、b、c一定共面的是_2；0；0；9已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_10已知abcda1b1c1d1為正方體，給出下列四個命題：()23a1b12；·()0；向量與向量的夾角是60°；正方體abcda1b1c1d1的體積為|a··a|.其中正確命題的序號是_11若a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.來源:12. 如圖，已知空間四邊形abcd的各邊和對角線的長都等于a，點m、n分