高考數(shù)學文科二輪訓練【專題4】第1講空間幾何體含答案

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第1講空間幾何體考情解讀1.以三視圖為載體，考查空間幾何體面積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側(cè)面展開圖及簡單的組合體問題1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關(guān)系2空間幾何體的三視圖(1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形(2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣(3)畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高看不到的線畫虛線3直觀圖的斜二測畫法空

2、間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?空間幾何體的兩組常用公式(1)柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式：s柱側(cè)ch(c為底面周長，h為高)；s錐側(cè)ch(c為底面周長，h為斜高)；s臺側(cè)(cc)h(c，c分別為上，下底面的周長，h為斜高)；s球表4r2(r為球的半徑)(2)柱體、錐體和球的體積公式：v柱體sh

3、(s為底面面積，h為高)；v錐體sh(s為底面面積，h為高)；v臺(ss)h(不要求記憶)；v球r3.熱點一三視圖與直觀圖例1某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()a. b8c. d16(2)(20xx·四川)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()思維啟迪(1)根據(jù)三視圖確定幾何體的直觀圖；(2)分析幾何體的特征，從俯視圖突破答案(1)b(2)d解析(1)由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖：則該幾何體的體積v×2×2×48.(2)由俯視圖易知答案為d.思維升華空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、

4、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果(1)(20xx·課標全國)一個四面體的頂點在空間直角坐標系oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zox平面為投影面，則得到的正視圖可以為()(2)將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()答案(1)a(2)d解析(1)根據(jù)已知條件作出圖形：四面體

5、c1a1db，標出各個點的坐標如圖(1)所示，可以看出正視圖為正方形，如圖(2)所示故選a.(2)如圖所示，點d1的投影為c1，點d的投影為c，點a的投影為b，故選d.熱點二幾何體的表面積與體積例2(1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()a. b2c. d.(2)如圖，在棱長為6的正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別在c1d1與c1b1上，且c1e4，c1f3，連接ef，fb，de，則幾何體efc1dbc的體積為()a66 b68c70 d72思維啟迪(1)由三視圖確定幾何體形狀；(2)對幾何體進行分割答案(1)d(2)a解析(1)由三視圖知，原幾何體是兩個相同的圓錐的組

6、合，v(××12)×2.(2)如圖，連接df，dc1，那么幾何體efc1dbc被分割成三棱錐defc1及四棱錐dcbfc1，那么幾何體efc1dbc的體積為v××3×4×6××(36)×6×6125466.故所求幾何體efc1dbc的體積為66.思維升華(1)利用三視圖求解幾何體的表面積、體積，關(guān)鍵是確定幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)，掌握應用三視圖的“長對正、高平齊、寬相等”；(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用“割補”的思想多面體mnabcd的底面abcd為矩形，其正視圖和側(cè)視圖如圖，其中正視圖為等

7、腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則該多面體的體積是()a. b.c. d.答案d解析過m，n分別作兩個垂直于底面的截面，將多面體分割成一個三棱柱和兩個四棱錐，由正視圖知三棱柱底面是等腰直角三角形，面積為s1×2×22，高為2，所以體積為v14，兩個四棱錐為全等四棱錐，棱錐的體積為v12××2×1×2，所以多面體的體積為v4，選d.熱點三多面體與球例3如圖所示，平面四邊形abcd中，abadcd1，bd，bdcd，將其沿對角線bd折成四面體abcd，使平面abd平面bcd，若四面體abcd的頂點在同一個球面上，則該球的體積為()a. b3

8、c. d2思維啟迪要求出球的體積就要求出球的半徑，需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)和空間位置關(guān)系確定球心的位置，由于bcd是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中點到三角形各個頂點的距離相等，只要再證明這個點到點a的距離等于這個點到b，c，d的距離即可確定球心，進而求出球的半徑，根據(jù)體積公式求解即可答案a解析如圖，取bd的中點e，bc的中點o，連接ae，od，eo，ao.由題意，知abad，所以aebd.由于平面abd平面bcd，aebd，所以ae平面bcd.因為abadcd1，bd，所以ae，eo.所以oa.在rtbdc中，obocodbc，所以四面體abcd的外接球的球心為o，半徑為.所以該球的體積v

9、()3.故選a.思維升華多面體與球接、切問題求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解(2)若球面上四點p，a，b，c構(gòu)成的三條線段pa，pb，pc兩兩互相垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4r2a2b2c2求解(1)(20xx·湖南)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示將該石材切削、打磨，加工成球，

10、則能得到的最大球的半徑等于()a1 b2c3 d4(2)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的體積是_；若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是_答案(1)b(2)3解析(1)由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，如圖所示由題意知，當打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時，該球的半徑最大，故其半徑r×(6810)2.因此選b.(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐pabcd(如圖)，其中底面abcd是邊長為1的正方形，pa底面abcd，且pa1，該四棱錐的體積為v×1×1×1

11、.又pc為其外接球的直徑，2rpc，則球的表面積為s4r23.1空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和2在體積計算中都離不開空間幾何體的“高”這個幾何量(球除外)，因此體積計算中的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個量在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面3一些不規(guī)則的幾何體，求其體積多采用分割或補形的方法，從而轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，而補形又分為對稱補形(即某些不規(guī)則的幾何體，若存在對稱性，則可考

12、慮用對稱的方法進行補形)、還原補形(即還臺為錐)和聯(lián)系補形(某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體，不過幾何量不易求解，可根據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見幾何體，作為這個規(guī)則幾何體的一部分來求解)4長方體的外接球(1)長、寬、高分別為a、b、c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即2r；(2)棱長為a的正方體的體對角線長等于外接球的直徑，即a2r.真題感悟1(20xx·浙江)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是()a90 cm2 b129 cm2c132 cm2 d138 cm2答案d解析該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6 cm,4 cm，3 cm，直三

13、棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積s2×(4×64×3)3×63×39939138(cm2)2(20xx·江蘇)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為s1，s2，體積分別為v1，v2.若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是_答案解析設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由，得，則.由圓柱的側(cè)面積相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，則，所以.押題精練1把邊長為的正方形abcd沿對角線bd折起，連接ac，得到三棱錐cabd，其正視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形(如圖所示)，則其側(cè)

14、視圖的面積為()a. b.c1 d.答案b解析在三棱錐cabd中，c在平面abd上的投影為bd的中點o，正方形邊長為，aooc1，側(cè)視圖的面積為saoc×1×1.2在三棱錐abcd中，側(cè)棱ab，ac，ad兩兩垂直，abc，acd，abd的面積分別為，則三棱錐abcd的外接球體積為()a. b2 c3 d4答案a解析如圖，以ab，ac，ad為棱把該三棱錐擴充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球，三棱錐的外接球的直徑是長方體的體對角線長據(jù)題意解得長方體的體對角線長為，三棱錐外接球的半徑為.三棱錐外接球的體積為v·()3.(推薦時間：50分鐘)一、選擇題1已知

15、正三棱錐vabc的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖的面積為()a2 b4c6 d8答案c解析如圖，作出正三棱錐vabc的直觀圖，取bc邊的中點d，連接vd，ad，作voad于o.結(jié)合題意，可知正視圖實際上就是vad，于是三棱錐的棱長va4，從俯視圖中可以得到底面邊長為2，側(cè)視圖是一個等腰三角形，此三角形的底邊長為2，高為棱錐的高vo.由于vo 2.于是側(cè)視圖的面積為×2×26，故選c.2右圖是棱長為2的正方體的表面展開圖，則多面體abcde的體積為()a2 b.c. d.答案d解析多面體abcde為四棱錐，利用割補法可得其體積v4，選d.3如圖，某幾何體的正視圖和

16、俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的體積為()a153 b9c306 d18答案b解析由三視圖知幾何體是一個底面為3的正方形，高為的斜四棱柱，所以vsh3×3×9.4已知正四棱錐的底面邊長為2a，其側(cè)(左)視圖如圖所示當正(主)視圖的面積最大時，該正四棱錐的表面積為()a8 b88c8 d48答案b解析由題意可知該正四棱錐的直觀圖如圖所示，其主視圖與左視圖相同，設棱錐的高為h，則a2h24.故其主視圖的面積為s·2a·hah2，即當ah時，s最大，此時該正四棱錐的表面積s表(2a)24××2a×288，故選b.5

17、某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積為()a. b. c. d.答案a解析三視圖復原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分，然后把截面放在平面上，底面相對接的圖形，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，故圓錐的高為h.易知該幾何體的體積就是整個圓錐的體積，即v圓錐r2h×12×.故選a.6(20xx·大綱全國)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()a. b16 c9 d.答案a解析如圖，設球心為o，半徑為r，則rtaof中，(4r)2()2r2，解得r，該球的表面積為4r

18、24×()2.二、填空題7有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，abc45°，abad1，dcbc，則這塊菜地的面積為_答案2解析如圖，在直觀圖中，過點a作aebc，垂足為e，則在rtabe中，ab1，abe45°，be.而四邊形aecd為矩形，ad1，ecad1，bcbeec1.由此可還原原圖形如圖在原圖形中，ad1，ab2，bc1，且adbc，abbc，這塊菜地的面積為s(adbc)·ab×(11)×22.8如圖，側(cè)棱長為2的正三棱錐vabc中，avbbvccva40°，過a作截

19、面aef，則截面aef的周長的最小值為_答案6解析沿著側(cè)棱va把正三棱錐vabc展開在一個平面內(nèi)，如圖則aa即為截面aef周長的最小值，且ava3×40°120°.在vaa中，由余弦定理可得aa6，故答案為6.9如圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，e，f分別為線段aa1，b1c上的點，則三棱錐d1edf的體積為_答案解析××1×1×1.10已知矩形abcd的面積為8，當矩形周長最小時，沿對角線ac把acd折起，則三棱錐dabc的外接球的表面積等于_答案16解析設矩形的兩鄰邊長度分別為a，b，則ab8，此時2a2b48，當且僅當ab2時等號成立，此時四邊形abcd為正方形，其中心到四個頂點的距離相等，均為2，無論怎樣折疊，其四個頂點都在一個半徑為2的球面上，這個球的表面積是4×2216.三、解答題11已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰