高考數學理二輪配套訓練【專題8】1幾何證明選講含答案

1、高考數學精品復習資料 2019.5第1講幾何證明選講考情解讀本講主要考查相似三角形與射影定理，圓的切線及圓內接四邊形的性質與判定定理，圓周角定理及弦切角定理，相交弦、切割線、割線定理等，本部分內容多數涉及圓，并且多是以圓為背景設計的綜合性考題，考查邏輯推理能力1(1)相似三角形的判定定理判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，

2、那么這兩個三角形相似(2)相似三角形的性質相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項2(1)圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半(2)圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數3(1)圓內接四邊形的性質定理圓的內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角(2)圓內接四邊形判定定理如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓4(1)圓的切線的

3、性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑(2)圓的切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(3)弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角(4)相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等(5)切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項5證明等積式成立，應先把它寫成比例式，找出比例式中給出的線段所在三角形是否相似，若不相似，則進行線段替換或等比替換6圓冪定理與圓周角、弦切角聯合應用時，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比由于圓冪定理涉及圓中線段的數量計算，所以應注意代數法在解題中的應用熱點一相似三角形及射影

4、定理例1如圖所示，在rtabc中，acb90°，cdab于d，且adbd94，則acbc的值為_答案32解析方法一因為acb90°，cdab于d，所以由射影定理，得ac2ad·ab，bc2bd·ab.所以()2.又adbd94，所以acbc32.方法二因為adbd94，所以可設ad9k，bd4k，kr.又acb90°，cdab于d，由射影定理，得cd2ad·bd，所以cd6k.由勾股定理，得ac3和bc2，所以acbc32.思維升華含斜邊上的高的直角三角形是相似三角形中的基本圖形，本題中出現多對相似三角形，這為解決問題提供了許多可以利

5、用的有效信息另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性質在直角三角形中的一個經典應用，在類似問題中應用射影定理十分簡捷 如圖，bd，aebc，acd90°，且ab6，ac4，ad12，be的長為_答案4解析ac4，ad12，acd90°，cd2ad2ac2128，cd8.又aebc，bd，abeadc，be4.熱點二相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的應用例2如圖所示，ab為o的直徑，p為ba的延長線上一點，pc切o于點c，cdab，垂足為d，且pa4，pc8，則tanacd和sin p的值為_答案，解析連接oc，bc.因為pc為o的切線，所以pc2pa·

6、;pb.故824·pb，所以pb16.所以ab16412.由條件，得pcapbc，又pp，所以pcapbc.所以.因為ab為o的直徑，所以acb90°.又cdab，所以acdb.所以tanacdtan b.因為pc為o的切線，所以pco90°.又o直徑為ab12，所以oc9，po10.所以sin p.思維升華(1)求非特殊角的函數值的關鍵是將這些角歸結到直角三角形中，利用直角三角形的邊之比表示出角的三角函數值，然后根據已知條件將這些比值轉化為已知線段的比值(2)線段成比例的證明，一般利用三角形相似進行轉化，在圓中的相關問題，應注意靈活利用圓中的切割線定理、相交弦定

7、理等求解相關線段的長度或構造比例關系 (20xx·廣東)如圖，ab是圓o的直徑，點c在圓o上，延長bc到d使bccd，過c作圓o的切線交ad于e.若ab6，ed2，則bc_.答案2解析c為bd中點，且acbc，故abd為等腰三角形abad6，ae4，de2，又ac2ae·ad4×624，ac2，在abc中，bc2.熱點三圓的有關性質的綜合應用例3如圖，abc的角平分線ad的延長線交它的外接圓于點e.若abc的面積sad·ae，則bac的大小為_答案90°解析由已知條件，可得baecad.因為aeb與acd是同弧所對的圓周角，所以aebacd.故

8、abeadc.所以，即ab·acad·ae.又sab·acsinbac，且sad·ae，故ab·acsinbacad·ae，則sinbac1.又bac為abc的內角，所以bac90°.思維升華高考中對幾何證明的命題集中在圓和三角形、四邊形相結合的綜合性題目上，這類試題往往要綜合運用多個定理和添加一定的輔助線才能解決已知圓的切線時，第一要考慮過切點和圓心的連線得直角；第二應考慮弦切角定理；第三涉及線段成比例或線段的積時要考慮切割線定理同時注意四點共圓的判定及性質的應用 (20xx·湖北)如圖，圓o上一點c在直徑ab上

9、的射影為d，點d在半徑oc上的射影為e，若ab3ad，則的值為_答案8解析易知cdoced，設圓o半徑為r，則adr，odr，cd2r2(r)2r2，cer，eor，故8.1證明兩角相等，關鍵是確定兩角之間的關系，多利用中間量進行轉化，可以通過證明三角形相似或全等，利用平行線的有關定理，如同位角相等、內錯角相等等，也可利用特殊平面圖形的性質，如利用等腰三角形的兩個底角相等、圓中同弧或等弧所對的圓周角相等尋找中間量進行過渡2證明或尋找圓內接圖形中的角之間的關系，除了注意平面圖形中的垂直、平行關系之外，還應注意弦切角、同弧所對角等性質的靈活運用真題感悟1(20xx·湖南)如圖，已知ab，

10、bc是o的兩條弦，aobc，ab，bc2，則o的半徑等于_答案解析如圖，延長ao交圓o于點d，連接bd，則abbd.在rtabd中，ab2ae·ad.bc2，aobc，be.ab，ae1，ad3，r.2(20xx·廣東)如圖，在平行四邊形abcd中，點e在ab上且eb2ae，ac與de交于點f，則_.答案9解析在平行四邊形abcd中，因為eb2ae，所以，故3.因為aecd，所以aefcdf，所以()29.押題精練1.如圖，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，點e，f分別為線段ab，ad的中點，則ef_.答案解析連接de，由于e是ab的中點，故be.

11、又cd，abdc，cbab，四邊形ebcd是矩形在rtade中，ada，f是ad的中點，故ef.2(20xx·陜西)如圖，abc中，bc6，以bc為直徑的半圓分別交ab，ac于點e，f，若ac2ae，則ef_.答案3解析aa，aefacb，aefacb，2，ef3.3(20xx·天津改編)如圖，abc是圓的內接三角形，bac的平分線交圓于點d，交bc于點e，過點b的圓的切線與ad的延長線交于點f.在上述條件下，給出下列四個結論：bd平分cbf；fb2fd·fa；ae·cebe·de；af·bdab·bf.則所有正確結論的序號

12、是_答案解析對于，bf是圓的切線，cbfbac，41.又ad平分bac，12.又23，34，即bd平分cbf，故正確；對于，根據切割線定理有fb2fd·fa，故正確；對于，32，bedaec，bdeace.，即ae·debe·ce，故錯誤；對于，41，bfdafb，bfdafb，即af·bdab·bf，故正確(推薦時間：40分鐘)1(20xx·湖北)如圖，p為o外一點，過p點作o的兩條切線，切點分別為a，b.過pa的中點q作割線交o于c，d兩點若qc1，cd3，則pb_.答案4解析由切割線定理得qa2qc·qd4，解得qa2

13、.則pbpa2qa4.2(20xx·重慶)過圓外一點p作圓的切線pa(a為切點)，再作割線pbc依次交圓于b，c.若pa6，ac8，bc9，則ab_.答案4解析由切割線定理得pa2pb·pcpb·(pbbc)，即62pb·(pb9)，解得pb3(負值舍去)由弦切角定理知pabpca，又apbcpa，故apbcpa，則，即，解得ab4.3如圖，四邊形abcd是圓o的內接四邊形，延長ab和dc相交于點p.若，則的值為_答案解析pp，pcbpad，pcbpad.，.4如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦，過點b作圓的切線與ac的延長線相交于點d.過點c作bd的平行

14、線與圓相交于點e，與ab相交于點f，af3，fb1，ef，則線段cd的長為_答案解析因為af·bfef·cf，解得cf2，所以，即bd.設cdx，ad4x，所以4x2，所以x.5.如圖，在abc中，點d是ac的中點，點e是bd的中點，ae交bc于點f，則的值為_答案解析過點d作dmaf交bc于點m.點e是bd的中點，在bdm中，bffm，又點d是ac的中點，在caf中，cmmf，.6(20xx·廣東)如圖，ab是圓o的直徑，點c在圓o上，延長bc到d使bccd，過c作圓o的切線交ad于e.若ab6，ed2，則bc_.答案2解析c為bd中點，且acbc，故abd為等

15、腰三角形abad6，ae4，de2，又ac2ae·ad4×624，ac2，在abc中，bc2.7.如圖，pa是圓o的切線，切點為a，pa2，ac是圓o的直徑，pc與圓o交于點b，pb1，則圓o的半徑r_.答案解析由切割線定理可得pa2pb·pc，即pc4，所以bcpcpb3，因為ac是圓o的直徑，所以abc90°，所以ab2bc·bp3，所以ac2bc2ab29312，即ac2，所以2r2，即r.8如圖，ab，cd是圓o內的兩條平行弦，bfac，bf交cd于點e，交圓o于點f，過a點的切線交dc的延長線于點p，若pced1，pa2，則ac的長為

16、_答案解析pa是o的切線，由切割線定理得pa2pc·pd.pa2，pc1，pd4.又pced1，ce2，由題意知四邊形abec為平行四邊形，abce2，連接bc，如圖，pa是o的切線，paccba.ab，cd是圓的兩條平行弦，pcacab，paccba，ac2pc·ab2，ac.9如圖，已知ad5，db8，ao3，則圓o的半徑oc的長為_答案5解析由圓的割線定理得，ae·acad·ab，即(aooe)·(aooc)ad·(addb)，即(3oc)·(3oc)5×(58)，解得oc5.10如圖，pa切o于點a，割線p

17、bc經過圓心o，obpb1，oa繞點o逆時針旋轉60°得到od，則pd的長為_答案解析pa切o于點a，b為po的中點，aob60°，pod120°.在pod中，由余弦定理，得pd2po2do22po·do·cospod414×()7，故pd.11如圖，ab，cd是o的兩條弦，它們相交于點p，連接ad，bd，已知adbd4，pc6，則pa·pb_.答案12解析由adbd4，得padb，又bc，所以padc，又adpcda，所以adpcda.又pc6，設pdx，由，得，解得x2或x8(舍去)，即pd2，由相交弦定理，得pa

18、83;pbpc·pd6×212.12.如圖，rtabc中，bac90°，ad是斜邊bc上的高，若abac21，則adbc_.答案25解析設ack，則ab2k，bck，bac90°，adbc，ac2cd·bc，k2cd·k，cdk，又bdbccdk，ad2cd·bdk·kk2，adk，adbc25.13.如圖，四邊形abcd中，dfab，垂足為f，df3，af2fb2，延長fb到e，使befb，連接bd，ec.若bdec，則四邊形abcd的面積為_答案6解析過點e作endb交db的延長線于點n，在rtdfb中，df3，fb1，則bd，由rtdfbrtenb，知，所以en，又bdec，所以en為bcd底邊bd上的高，故s四邊形abcdsabdsbcdab·dfbd·en×3×3××6.14.如圖，ab是圓o的直徑，cdab于d