新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 曲線(xiàn)與方程學(xué)案 理

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第五十六課時(shí) 曲線(xiàn)與方程課前預(yù)習(xí)案考綱要求1.理解坐標(biāo)法研究解析幾何問(wèn)題的基本思想，會(huì)根據(jù)條件求曲線(xiàn)的軌跡方程.2.掌握常用的幾種求軌跡方程的方法基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 曲線(xiàn)與方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)c與方程f(x，y)0之間具有如下關(guān)系：(1)曲線(xiàn)c上點(diǎn)的坐標(biāo)都是 (2)以方程f(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都 那么這個(gè)方程叫做 ，這條曲線(xiàn)叫做 2 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟(1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)p(x，y)(3)列式列出動(dòng)點(diǎn)p所滿(mǎn)足的關(guān)系式(4)代換依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)(5)證明

2、證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程3 兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)(1)由曲線(xiàn)方程的定義可知，兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線(xiàn)方程的公共解，即兩個(gè)曲線(xiàn)方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾組解，兩條曲線(xiàn)就有幾個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解，兩條曲線(xiàn)就沒(méi)有交點(diǎn)(2)兩條曲線(xiàn)有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解可見(jiàn)，求曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問(wèn)題4.求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系f(x，y)0；(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線(xiàn)的類(lèi)型，求曲線(xiàn)方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線(xiàn)的方程，再由條件確定其待定系數(shù)；(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是

3、某種已知曲線(xiàn)，再由曲線(xiàn)的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動(dòng)點(diǎn)p(x，y)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)q(x0，y0)的變化而變化，并且q(x0，y0)又在某已知曲線(xiàn)上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線(xiàn)得要求的軌跡方程；(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程預(yù)習(xí)自測(cè)1 已知點(diǎn)a(2,0)、b(3,0)，動(dòng)點(diǎn)p(x，y)滿(mǎn)足·x26，則點(diǎn)p的軌跡方程是_2 已知兩定點(diǎn)a(2,0)、b(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)p滿(mǎn)足|pa|2|pb|，則點(diǎn)

4、p的軌跡所包圍的圖形的面積為_(kāi)3 方程(2x3y1)(1)0表示的曲線(xiàn)是()a兩條直線(xiàn) b兩條射線(xiàn)c兩條線(xiàn)段 d一條直線(xiàn)和一條射線(xiàn)4 已知點(diǎn)p是直線(xiàn)2xy30上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)m(1,2)，q是線(xiàn)段pm延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且|pm|mq|，則q點(diǎn)的軌跡方程是()a2xy10 b2xy50c2xy10 d2xy505 若點(diǎn)p到直線(xiàn)x1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)p的軌跡為()a圓 b橢圓c雙曲線(xiàn) d拋物線(xiàn)第五十六課時(shí) 曲線(xiàn)與方程（課堂探究案）典型例題考點(diǎn)1 直接法求軌跡方程【典例1】已知m(4,0)，n(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)p滿(mǎn)足·6|.(1)求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程；(2)設(shè)q是曲

5、線(xiàn)c上任意一點(diǎn)，求q到直線(xiàn)l：x2y120的距離的最小值【變式1】 如圖所示，過(guò)點(diǎn)p(2,4)作互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，若l1交x軸于a，l2交y軸于b，求線(xiàn)段ab中點(diǎn)m的軌跡方程考點(diǎn)2 定義法求軌跡方程【典例2】已知兩個(gè)定圓o1和o2，它們的半徑分別是1和2，且|o1o2|4.動(dòng)圓m與圓o1內(nèi)切，又與圓o2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn)【變式2】如圖，點(diǎn)a為圓形紙片內(nèi)不同于圓心c的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)m在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)m與點(diǎn)a重合，設(shè)折痕m交線(xiàn)段cm于點(diǎn)n.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)圓c：(x1)2y24a2 (a>1)，a(1,

6、0)，記點(diǎn)n的軌跡為曲線(xiàn)e.(1)證明曲線(xiàn)e是橢圓，并寫(xiě)出當(dāng)a2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)c和橢圓e的上頂點(diǎn)b，點(diǎn)a關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)q，若橢圓e的離心率e，求點(diǎn)q的縱坐標(biāo)的取值范圍考點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程【典例3】設(shè)f(1,0)，m點(diǎn)在x軸上，p點(diǎn)在y軸上，且2，當(dāng)點(diǎn)p在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)n的軌跡方程【變式3】已知長(zhǎng)為1的線(xiàn)段ab的兩個(gè)端點(diǎn)a、b分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，p是ab上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)p的軌跡c的方程當(dāng)堂檢測(cè)1 方程(x2y24)0的曲線(xiàn)形狀是()2 abc的頂點(diǎn)a(5,0)，b(5,0)，abc的內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)x3上，則頂點(diǎn)c的軌跡方程是()a.1 b.1c.1

7、(x>3) d.1 (x>4)3 平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)a(3,1)，b(1,3)，若點(diǎn)c滿(mǎn)足12(o為原點(diǎn))，其中1，2r，且121，則點(diǎn)c的軌跡是()a直線(xiàn) b橢圓 c圓 d雙曲線(xiàn)4 動(dòng)點(diǎn)p為橢圓1 (a>b>0)上異于橢圓頂點(diǎn)(±a,0)的一點(diǎn)，f1、f2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)圓c與線(xiàn)段f1p、f1f2的延長(zhǎng)線(xiàn)及線(xiàn)段pf2相切，則圓心c的軌跡為()a橢圓 b雙曲線(xiàn)c拋物線(xiàn) d直線(xiàn)第五十六課時(shí) 曲線(xiàn)與方程課后拓展案 a組全員必做題1 已知點(diǎn)m(3,0)，n(3,0)，b(1,0)，動(dòng)圓c與直線(xiàn)mn切于點(diǎn)b，過(guò)m、n與圓c相切的兩直線(xiàn)相交于點(diǎn)p，則p點(diǎn)的軌

8、跡方程為()ax21 (x>1) bx21 (x<1)cx21 (x>0) dx21 (x>1)2 有一動(dòng)圓p恒過(guò)定點(diǎn)f(a,0) (a>0)且與y軸相交于點(diǎn)a、b，若abp為正三角形，則點(diǎn)p的軌跡為()a橢圓 b雙曲線(xiàn)c拋物線(xiàn) d圓3 點(diǎn)p是以f1、f2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作f1pf2外角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為m，則點(diǎn)m的軌跡是()a圓 b橢圓 c雙曲線(xiàn) d拋物線(xiàn)4 p是橢圓1上的任意一點(diǎn)，f1、f2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)q的軌跡方程是_5 已知m(2,0)，n(2,0)，則以mn為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)p的軌跡方程是_b組提高選做題1 過(guò)

9、橢圓1 (a>b>0)上任意一點(diǎn)m作x軸的垂線(xiàn)，垂足為n，則線(xiàn)段mn中點(diǎn)的軌跡方程是_2 如圖所示，正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)m在ab上，且amab，點(diǎn)p在平面abcd上，且動(dòng)點(diǎn)p到直線(xiàn)a1d1的距離的平方與p到點(diǎn)m的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xay中，動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程是_3已知點(diǎn)a(1,0)，直線(xiàn)l：y2x4，點(diǎn)r是直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，若，求點(diǎn)p的軌跡方程4如圖，設(shè)p是圓x2y225上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)d是p在x軸上的投影，m為pd上一點(diǎn)，且|md|pd|.(1)當(dāng)p在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)m的軌跡c的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線(xiàn)被c所截線(xiàn)段的長(zhǎng)度參考答案預(yù)

10、習(xí)自測(cè)1【答案】y2x【解析】(3x，y)，(2x，y)，·(3x)(2x)y2x2x6y2x26，y2x.2【答案】4【解析】設(shè)p(x，y)，由|pa|2|pb|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.p的軌跡為以(2,0)為圓心，半徑為2的圓即軌跡所包圍的面積等于4.3【答案】d【解析】原方程可化為或10，即2x3y10 (x3)或x4，故原方程表示的曲線(xiàn)是一條射線(xiàn)和一條直線(xiàn)4【答案】d【解析】由題意知，m為pq中點(diǎn)，設(shè)q(x，y)，則p為(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.5【答案】d【解析】依題意，點(diǎn)p到直線(xiàn)x2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離，故點(diǎn)p的軌跡是

11、拋物線(xiàn).典型例題【典例1】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)p(x，y)，則(x4，y)，(3,0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化簡(jiǎn)得3x24y212，即1.點(diǎn)p的軌跡是橢圓c：1.(2)由幾何性質(zhì)意義知，l與平行于l的橢圓c的切線(xiàn)l的距離等于q與l的距離的最小值設(shè)l：x2yd0.將其代入橢圓方程消去x，化簡(jiǎn)得：16y212dy3(d24)0.144d2192(d24)0d±4，l和l的距離的最小值為.點(diǎn)q與l的距離的最小值為.【變式1】 設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x，y)，m是線(xiàn)段ab的中點(diǎn)，a點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，b點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知·0，2(2x2

12、)4(2y4)0，即x2y50.線(xiàn)段ab中點(diǎn)m的軌跡方程為x2y50.【典例2】如圖所示，以o1o2的中點(diǎn)o為原點(diǎn)，o1o2所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|o1o2|4，得o1(2,0)、o2(2,0)設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r，則由動(dòng)圓m與圓o1內(nèi)切，有|mo1|r1；由動(dòng)圓m與圓o2外切，有|mo2|r2.|mo2|mo1|3.點(diǎn)m的軌跡是以o1、o2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線(xiàn)的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)m的軌跡方程為1 (x)【變式2】(1)證明依題意，直線(xiàn)m為線(xiàn)段am的垂直平分線(xiàn)，|na|nm|.|nc|na|nc|nm|cm|2a>2，n的軌跡是以c、a為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦

13、距為2的橢圓當(dāng)a2時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a4，焦距為2c2，b2a2c23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)解設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (a>b>0)由(1)知：a2b21.又c(1,0)，b(0，b)，直線(xiàn)l的方程為1.即bxyb0.設(shè)q(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)q與點(diǎn)a(1,0)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，消去x得y.離心率e，e2，即.a24.b214，即b，y2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)取等號(hào)又當(dāng)b時(shí)，y；當(dāng)b時(shí)，y，y2.點(diǎn)q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，2【典例3】設(shè)m(x0,0)，p(0，y0)，n(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)·(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y

14、0)，即.x0，即y24x.故所求的點(diǎn)n的軌跡方程是y24x.【變式3】設(shè)a(x0,0)，b(0，y0)，p(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因?yàn)閨ab|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡(jiǎn)得y21.點(diǎn)p的軌跡方程為y21.當(dāng)堂檢測(cè)1 【答案】c【解析】由題意可得xy10或它表示直線(xiàn)xy10和圓x2y240在直線(xiàn)xy10右上方的部分2【答案】c【解析】如圖，|ad|ae|8，|bf|be|2，|cd|cf|，所以|ca|cb|826.根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，所求軌跡是以a、b為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)的右支，方程為1 (x&

15、gt;3)3 【答案】a【解析】設(shè)c(x，y)，則(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，又121，x2y50，表示一條直線(xiàn)4 【答案】d【解析】如圖所示，設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為m、n、q.|pf1|pf2|pf1|pm|f2n|f1n|f2n|f1f2|2|f2n|2a，|f2n|ac，n點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，cnx軸，圓心c的軌跡為直線(xiàn) a組全員必做題1【答案】a【解析】設(shè)另兩個(gè)切點(diǎn)為e、f，如圖所示，則|pe|pf|，|me|mb|，|nf|nb|.從而|pm|pn|me|nf|mb|nb|422<|mn|，所以p的軌跡是以m、n為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)的右支a1，c3，b28.故方程為

16、x21 (x>1)2【答案】b【解析】設(shè)p(x，y)，動(dòng)圓p的半徑為r，由于abp為正三角形，p到y(tǒng)軸的距離dr，即|x|r.而r|pf|，|x|·.整理得：(x3a)23y212a2，即1.點(diǎn)p的軌跡為雙曲線(xiàn)3【答案】a【解析】如圖，延長(zhǎng)f2m交f1p延長(zhǎng)線(xiàn)于n.|pf2|pn|，|f1n|2a.連接om，則在nf1f2中，om為中位線(xiàn)，則|om|f1n|a.m的軌跡是圓4 【答案】1【解析】由，又22，設(shè)q(x，y)，則(x，y)，即p點(diǎn)坐標(biāo)為，又p在橢圓上，則有1，即1.5【答案】x2y24 (x±2)【解析】設(shè)p(x，y)，因?yàn)閙pn為直角三角形，|mp|2|np|2|mn|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.m，n，p不共線(xiàn)，x±2，軌跡方程為x2y24 (x±2)b組提高選做題1 【答案】1【解析】設(shè)mn的中點(diǎn)p(x，y)，則點(diǎn)m(x,2y)在橢圓上，1，即1.2【答案】y2x【解析】過(guò)p作pqad于q，再過(guò)q作qha1d1于h，連接ph、pm，可證pha1d1，設(shè)p(x，y)，由|ph|2|pm|21，得x211，化