高中不等式例題(超全超經(jīng)典)

1、學習資料歡迎下載一不等式的性質(zhì) ：二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式） ； 3分析法； 4平方法； 5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性； 7尋找中間量或放縮法 ；8圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三重要不等式221. （ 1）若 a,bR ，則 a 2b 22ab(2)若 a, bR ，則 abab （當且僅當 ab 時取“ =”）22. (1)若a, b*，則abab(2)若a, bR*，則 ab2 ab（當且僅當a b時取“ ”）R2=a2*，則 abb(當且僅當 ab 時取“ =

2、”）(3) 若 a, b R23. 若 x0 ，則x12 (當且僅當x1時取“ ”）;x=1若 x0 ，則x2 (當且僅當x1時取“ ”）x=若 ab0 ，則 ab2(當且僅當 ab 時取“ =”）baR ，則 ( ab )224. 若 a,b2ab （當且僅當 ab 時取“ =”）22注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大” （ 2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用a2+b22aba+ba+b ab 2

3、 2應(yīng)用一：求最值例 1：求下列函數(shù)的值域（21（ ）11）y3x 2x22yxx解題技巧：技巧一：湊項例 1：已知 x5 ，求函數(shù) y4 x 21的最大值。44x5評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例 1.當時，求 y x(82x) 的最大值。技巧三： 分離例 3.求 yx27x101) 的值域。x1( x技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。y(t1)27( t）25t4t451 +10 = tttt當, 即 t=時 ,y 2t459（當t=2即 時取“”號）。tx 1a 的單技巧五：注意：在應(yīng)用

4、最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f ( x) xx學習資料歡迎下載調(diào)性。 例：求函數(shù) yx25的值域。x24解：令x24 t(t2) ，則 yx25x241t1x2x2(t 2)44t因 t 0, t11 ，但 t1 解得 t1不在區(qū)間 2,，故等號不成立，考慮單調(diào)性。tt因為 yt1 在區(qū)間 1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故 y5 。t2所以，所求函數(shù)的值域為5 ,。22已知0x 1，求函數(shù) yx(1x) 的最大值 .； 3 0 x2 ，求函數(shù) y x(2 3x)的最大值 .3條件求最值1. 若實數(shù)滿足 a b2 ，則 3a3b 的最小值是.分析：“和”到

5、“積”是一個縮小的過程，而且3a 3b 定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正數(shù)， 3a3b 2 3a3b23a b6當 3a3b 時等號成立，由 ab 2 及 3a3b 得a b1即當 ab 1時， 3a3b 的最小值是 6變式：若 log 4 x log 4 y112，求的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知 x0, y0，且 191，求 xy 的最小值。xy應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1已知 a,b, c 為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a 2b2c2abbcca1）正數(shù) a，b

6、，c 滿足 a b c 1，求證： (1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a、 b、 cR ，且 ab c1 。求證：111181b1ac分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又111 ab c2 bc ，可由此變形入手。aaaa解：a、b、cR ， ab c1。111 ab c2bc 。同理 112 ac ， 11 2 ab 。aaaabbcc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得學習資料歡迎下載1111112bc 2ac 2ab8 。當且僅當 a bc1 時取等號。abcabc3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題例：已知 x0, y0 且 1

7、91，求使不等式 xym 恒成立的實數(shù) m 的取值范圍。xy解：令 xyk, x0, y0, 191，xy9 x 9 y1.10y9x1xykxkykkxky1102 3。k16， m,16k k應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若 ab 1, Plg a lg b,Q1(lg alg b), R lg(a b ) ，則 P, Q, R 的大小關(guān)系是.21 （ lg a2分析： ab1 lg a0,lg b0 Qlg b)lg a lg b pR lg( ab )1 lg ab2lgabQR>Q22四不等式的解法 .1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.簡單的一元高

8、次不等式的解法 ：標根法：其步驟是：（ 1）分解成若干個一次因式的積， 并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正 ；（ 2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上， 從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意 奇穿過偶彈回 ；（ 3）根據(jù)曲線顯現(xiàn) f (x) 的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。 如（1）解不等式 ( x1)(x2) 20 。（答： x | x1或 x2 ）；（2）不等式 ( x2)x22x3 0 的解集是 _（答： x | x3或 x1 ）；（3）設(shè)函數(shù) f ( x) 、 g( x) 的定義域都是 R，且 f ( x)0 的解集為 x |1x 2 ， g ( x)0的解集為，則不等式 f

9、( x) g( x)0 的解集為 _（答： (,1)2,) ）；（4）要使?jié)M足關(guān)于 x 的不等式 2x29x a 0 （解集非空）的每一個x 的值至少滿足不等式x 24x 3 0和 x 26x80 中的一個，則實數(shù) a 的取值范圍是.（答： 7, 81) ）84分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為 0，再通分并將分子分母分解因式， 并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正 ，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。 如（1）解不等式5xx212x 3（答： (1,1)(2,3) ）；（ 2）關(guān)于 x 的不等式 ax b0 的解集為 (

10、1,) ，則關(guān)于 x 的不等式 axb0的解集為_x2（答： (,1)(2, ) ）.5. 指數(shù)和對數(shù)不等式。學習資料歡迎下載6絕對值不等式的解法：（1）含絕對值的不等式 |x| a 與|x| a 的解集（2）|ax+b| c(c 0) 和|ax+b| c(c 0) 型不等式的解法|ax+b| c-c ax+bc;| ax+b|cax+b c 或 ax+b -c.（3）|x-a|+|x-b| c(c 0) 和|x-a|+|x-b|c(c 0) 型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，

11、利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例 1：解下列不等式： (1). x22x x1(2). -3< <2x【解析】：（1）解法一（公式法 ）原不等式等價于 x2-2x>x 或 x2-2x<-x解得 x>3 或 x<0 或 0<x<1原不等式的解集為 x x<0 或 0<x<1 或 x>3解法 2（數(shù)形結(jié)合法）作出示意圖，易觀察原不等式的解集為xx<0 或 0<x<1 或 x>3第（ 1）題圖第（ 2）題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復雜，且容易解答錯誤；若能

12、結(jié)合反比例函數(shù)圖象，則解集為x | x1 或x<- 1 , 結(jié)果一目了然。2 3例 2：解不等式： | x | 1x1【解析】作出函數(shù) f(x)=|x|和函數(shù) g(x)= x 的圖象，（ ，0） 1， ）易知解集為學習資料歡迎下載解不等式 . | x 1|3| x 1|例 3：2。【解法 1】令2( x1)g( x)| x 1| x1|2x(1x 1)2( x1)h( x)32 ，分別作出函數(shù) g(x) 和 h(x)令的圖象，知原不等式的解集為 3 ,)4【解法 2】原不等式等價于| x 1| 3 | x 1|2g( x)| x1|,h(x) | x31|令2(3,7)分別作出函數(shù) g(

13、x) 和 h(x) 的圖象，易求出 g（x）和 h（x）的圖象的交點坐標為 44| x 1| x1|33) ,所以不等式2 的解集為 4| x1| x31|【解法 3】 由2 的幾何意義可設(shè) 1（，），（，），（ x，y），MF1 MF232 ，可知的軌跡是以1、 2 為焦點的雙曲線的右支，其中右頂點為（若，），由雙曲線的圖象和 x+1 x-1 知 x .7含參不等式的解法 ：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵 ” 注意解完之后要寫上： “綜上，原不等式的解集是” 。注意 ：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集 . 如（1）若lo

14、g a21，則 a 的取值范圍是_（答： a 1或0 a2 ）；332ax（2）解不等式x(aR)（答： a 0 時， x | x0 ； a 0 時， x | x1 或 x 0； a 0 時， x | 1x 0 或 x0 ）aa提醒：（ 1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（ 2）不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于 x 的不等式 ax b0 的解集為 ( ,1) ，則不等式 x20 的解集為 _（答：（ 1,2）axb例 2.(1) 求函數(shù) yx3x1 的最大和最小值；學習資料歡迎下載(2) 設(shè) aR ，函數(shù) f x ax2x a(

15、 1 x1) .若 a 1，求 f x 的最大值例 3. 兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第 20km處. 現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)， 每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次 . 要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？七證明不等式的方法 ：比較法、分析法、綜合法和放縮法 (比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與 1 的大小，然后作出結(jié)論。 ).常用的放縮技巧有： 11111n11nn1n(n 1)n2n(n 1)1nk 1k111kk1k1k2 kk1k如（ 1

16、）已知 abc ，求證： a2 b b2 cc2 aab 2bc 2ca 2；(2)已知 a,b, cR，求證： a 2b 2b2 c 2c2 a2abc( abc) ；（ 3）已知 a,b, x, yR，且 11 , x y ，求證：xyy；abxab(4)若 a、b、c 是不全相等的正數(shù)，求證： lg ablg bclg calg a lg b lg c ；222（ 5）已知 a,b, cR ，求證： a2 b2b2c2c2 a2abc(abc) ；(6)若 n N *，求證：(n1)21(n 1)n21n ；(7)已知 | a |b | ，求證： | a |b | a | b | ；|

17、ab | ab |（8）求證： 11112 。2232n2八不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等問題 ：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1). 恒成立問題若不等式 f xA 在區(qū)間 D 上恒成立 , 則等價于在區(qū)間 D 上 fx minA若不等式 f xB 在區(qū)間 D 上恒成立 , 則等價于在區(qū)間 D 上 fx maxB如（ 1）設(shè)實數(shù) x, y 滿足 x2( y 1)21，當 x y c 0 時， c 的取值范圍是 _（答：21,）；（ 2）不等式 x4x3a 對一切實數(shù) x 恒成立，求實數(shù)

18、 a 的取值范圍 _（答： a1 ）；（ 3）若不等式2x1m( x21) 對滿足 m 2 的所有 m 都成立，則 x 的取值范圍 _（答：（71 ,31 ）；1) n 122（ 4）若不等式 ( 1) n a2(對于任意正整數(shù) n 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 _n（答： 2,3) ）；（ 5）若不等式 x2對 0 x 1的所有實數(shù) x 都成立，求 m 的取值范圍 .22mx 2m1 0學習資料歡迎下載x2log a x, 對 x (0,1) 若不等式2恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是此題直接求解無從著手，結(jié)合函數(shù)y x2及 y= log a x在（ 0, 1）上的圖象 2易知， a 只需滿足條件：log a11 即可a1,1)0 a 1，且24從而解得162). 能成立問題若在區(qū)間 D 上存在實數(shù) x 使不等式 f xA 成立 , 則等價于在區(qū)間 D 上 f x maxA ；若在區(qū)間