無條件分位數(shù)回歸文獻綜述與應(yīng)用實例上學(xué)習(xí)資料

1、無條件分位數(shù)回歸：文獻綜述與應(yīng)用實例(上)朱平芳張征宇2013-1-7 11:17:39來源：統(tǒng)計研究 (京)2012年3期第8896頁內(nèi)容提要：條件分位數(shù)回歸(conditional quantile regression , CQR方法已成為經(jīng)濟學(xué)實證研究的常用方法之一。由于CQR結(jié)果的經(jīng)濟學(xué)闡釋基于過多甚至是不必要的控制變量，這與人們所關(guān)心的問題有可能并不一致。例如，在勞動經(jīng)濟學(xué)對教育回報的研 究中，無論個體的年齡，性別與家庭特征如何，教育程度對于個人收入的異質(zhì)性影響是人們關(guān)注的重點，即人們想了解收入關(guān)于教育 程度的無條件分位數(shù)估計。本文旨在介紹近年來發(fā)展起來的無條件分位數(shù)回歸(unco

2、nditional quantile regression ，UQR技術(shù)并梳理相關(guān)文獻。特別地，本文介紹三種重要的無條件分位數(shù)回歸模型：Firpo，F(xiàn)ortin和Lemieux (2009)提出的再中心化影響函數(shù)(rece ntered in flue nee fun ctio n，RIF)回歸，F(xiàn)rolich 和 Melly (2010 )提出的無條件分位數(shù)處理效應(yīng)模型與Powell (2010)提出的一般無條件分位數(shù)回歸。另外，論文還運用一個研究居民收入分配格局變化對其醫(yī)療支出影響的實例詳細說明了新方法的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：條件分位數(shù)回歸 無條件分位數(shù)回歸RIF回歸 處理效應(yīng)模型作者簡介：朱平芳

3、(1961-)，男，浙江蘭溪人，1987年畢業(yè)于上海財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計專業(yè)，獲經(jīng)濟學(xué)碩士學(xué)位，2005年畢業(yè)于上海社會科學(xué)院經(jīng)濟研究所，獲經(jīng)濟學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)為上海社會科學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟研究中心主任，研究員，博士生導(dǎo)師，兼任中國數(shù)量經(jīng)濟學(xué)會常務(wù)理事，上海市數(shù)量經(jīng)濟學(xué)會副理事長兼秘書長，研究方向為科技政策與科技進步；張征宇（1981-），男，浙江寧波人,2006年畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)， 獲理學(xué)碩士學(xué)位，2009年畢業(yè)于上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟學(xué)專業(yè)， 獲經(jīng)濟學(xué)博士學(xué)位, 現(xiàn)為上海社會科學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟研究中心副研究員，兼任上海市數(shù)量經(jīng)濟學(xué)會理事，研究方向為微觀計量經(jīng)濟學(xué)。一、引言自從Koenke

4、r和Bassett （ 1978）提出分位數(shù)回歸（quantile regression，QR方法以來，其已發(fā)展成為經(jīng)濟學(xué)實證研究的常用方法之一。最初，QR方法僅被看作是用來替代最小二乘（OLS估計的一種穩(wěn)?。╮obust ）估計。事實上，經(jīng)濟學(xué)家們在如今的實證 研究，特別是基于微觀數(shù)據(jù)的研究中青睞 QR方法，并不在于它的穩(wěn)健特性，而是可以借此方法了解解釋變量對于被解釋變量在擾動項 的不同分位點上的異質(zhì)性影響。通常，人們在評估一項經(jīng)濟政策對受眾群體的影響時，不但希望了解政策對任一參與者的平均影響， 更希望知道政策對位于特征分布不同位置（分布末端或頂端）人群的異質(zhì)性作用。例如，教育對于人們收入的

5、影響作用是勞動經(jīng)濟學(xué) 中極具爭議的問題之一。由于人的能力不可直接觀測，且普遍被認為與個人的收入水平密切相關(guān)，因此，工資方程的擾動項很大意義 上就是用來包含不可觀測的個人能力。在這種設(shè)定下，通過分位點回歸，人們可以了解對于不同能力水平的個人，可觀測的個體特征如何影響他們的收入從以上例子不難理解，Koenker和Bassett (1978)提出的只是條件分位數(shù)回歸方法。條件分位數(shù)(CQR方法的結(jié)果實際上只告訴我們對于具有相同觀測特征的個人(例如，具有某一特定年齡，家庭背景的女性)，不可觀測的能力差異對于收入的異質(zhì)性影響。由于CQR勺經(jīng)濟學(xué)意義闡釋基于過多甚至是不必要的個體特征，其結(jié)果與政策制定者所

6、關(guān)心的問題很有可能并不一致。例如，人們可能只想了解教育年限對于個人收入的一般邊際影響，而無論個體的年齡，性別與家庭背景如何，這就是所謂收入關(guān)于教育程度的無條 件分位數(shù)估計問題。解決這個問題的一個直覺想法是在計算中拋棄除了教育年限外的其他解釋變量，直接用收入對教育年限進行分位 數(shù)回歸，但這種做法得到的無條件分位數(shù)不是一致估計。這一點類似于在最小二乘法中即使研究者只想了解某一解釋變量對被解釋變 量的偏影響系數(shù)，遺漏剩余解釋變量仍會導(dǎo)致所有系數(shù)估計的不一致性，除非遺失變量與所剩變量是正交的。無條件分位數(shù)回歸(unconditional quantile regression， UQR技術(shù)正是對于CQ

7、F技術(shù)的補充和拓展，在基于微觀數(shù)據(jù)的實證研究中，特別是在勞動經(jīng)濟學(xué)與經(jīng)濟政策評估中具有十分重要的意義。在這一前沿領(lǐng)域，國外學(xué)者的研究也只是剛剛開始，并且有關(guān)無條件分位數(shù)回歸的理論與方法正在逐漸完善之中。本文旨在介紹UQF技術(shù)并梳理相關(guān)文獻。特別地，我們介紹三種重要的無條件分位數(shù)回歸模型：Firpo、Fortin 和 Lemieux (2009)的再中心化影響函數(shù)(recen tered in flue nee fu nction，RIF)回歸，F(xiàn)rolich 和Melly (2010)的無條件分位數(shù)處理效應(yīng)模型與 Powell (2010)的無條件分位數(shù)回歸。有關(guān)UQR與 CQR勺差別，本文將

8、在第二部分“無 條件分位數(shù)回歸的最新進展”中詳細說明。另外，本文試圖用一個研究居民收入分配格局變化對其醫(yī)療支出影響的實例說明新方法的應(yīng)用。該實例將說明居民總體收入分配 格局的變化如何影響其醫(yī)療支出的分布，而已有基于條件分位數(shù)回歸技術(shù)的文獻無法對這一問題做出全面的回答。運用新方法的實證 結(jié)果表明：在控制了疾病嚴重程度與城鄉(xiāng)差異等因素后，由收入引起的居民醫(yī)療消費不平等顯著存在；居民收入的按量(by amou nt)增長無法改善這種不平等，而收入的按比例(by proportion )增長對醫(yī)療高消費人群的拉動作用遠大于對低消費人群的作用，因而進 一步加劇了這種不平等性。二、無條件分位數(shù)回歸的最新進

9、展(一) RIF回歸假設(shè)已經(jīng)獲得了被解釋變量 Y以及可能影響Y的k維解釋變量X的觀測值。我們關(guān)心的是X的變動對Y的影響。例如研究者時常關(guān)心以下條件分位數(shù)偏效應(yīng)(conditional quantile partial effects，CQPE的估計值：(1)CQFE的匝耍性在于它反映了在杲給崔的天 的忒平E.X取值的1#小變化對于Y的t 條件分 位數(shù)的邊際序響“例如展設(shè)向量顯的第個分M $表示收人*則通過計算因;%）可以吿訴人們：問題1：僅當收入發(fā)生微小改變時，引起所有具備特征 X=X的個體組成群體的丫分布T -條件分位數(shù)的變化量。CQPE盡管可以幫助我們回答問題1,但是卻無法回答下面雖與問題

10、1密切相關(guān)，但有明顯區(qū)別的另一問題：問題2:當整個人群的收入分布發(fā)生微小變化時，他們的 丫分布的t -分位數(shù)將產(chǎn)生何種變化？問題2與問題1的相似之處在于兩者都是關(guān)心 X的邊際變動對丫分布的影響；兩者的顯著不同是：問題 1只是針對整個人群中的某一（具有特征X=x）子人群而言，而問題2是針對整個人群整體而言。一般地，我們需要了解X分布的微小變化對于被解釋變量 丫無條件分布T -分位數(shù)的影響。這等價于計算以下無條件分位數(shù)偏效應(yīng)(unconditional quantile partial effects，UQPE：UQPK( t> = Em()(2)其中£<Y)表示Sfi肌愛h

11、t Y的t -分位SC E* 表不對X求期望貞由卡條件分何數(shù)的期琳一股來 說井不等干它的無條件分位數(shù)匸這盤味宵我們無 法血獲得f CQPE后通過計算以F積分網(wǎng)PEOU叮邱詁叫人來獲得UQPE勺估計。為應(yīng)對這一難題，F(xiàn)irpo， Fortin 和Lemieux( FFL，2009)借用穩(wěn)健估計(robust estimation )中影響函數(shù)(in flue nee function)的基本概念，建立了估計 UQPE勺一般步驟。該方法的基本思想如下：禾U用統(tǒng)計學(xué)中穩(wěn)健估計的若干知識，可得以下恒等式：q,(Y) = jRIF(<j,y.F¥)dFY(y)(3)其中RIF( q“y)

12、是片的t -分位數(shù)對應(yīng)的再 中心化影響函數(shù)(m ccntcrwl influence function)0 按定義計算可得RIF(qt.y.Fr) = % + 丫二；"(；嚴其中q<是Y的無條件分位數(shù)忌足Fy(qf)= T.fy(-) & Y的密度的數(shù)，利用條件期蟄的迭代法 則可將(4)進一步寫成q.(Y) = jE(R【F(q.,yF)I X = x)dFx(x)(5>為考察式(5)中等號右邊Fx的邊際變化對等 號左邊q, Y)的影響.FFL令X每一個分秋進行一 個虔擬的無窮小平移變換(lxmion &hift) 于是(刃 式右邊將變成qr(Yr)= j

13、E(RIF(qr.y,FY)IX=X)dFx(x- 4)(6)將式（6）與式（5）右邊相減，除以增量 x并令 x趨向于零，可以得到X的單位平移變換對丫的t -無條件分位數(shù)的邊際影響, 即無條件分位數(shù)偏效應(yīng)：岬珈訂遜護叫最后，F(xiàn)FL建議從式（7）出發(fā)，通過以下三步獲得 UQPE勺一致估計:(D*利用樣木次序統(tǒng)計魅獲ftfi 致估計d 宰礎(chǔ)匕用J =l,*,n 作 pnJjji 或】噪1回歸，獲得E(l(y>qr)lx) =4>(x*|i)中P的一致估 計，其中0( 出正態(tài)分布雷數(shù)或Logiic分布甫數(shù)。(2)計算7)式中偏導(dǎo)數(shù)，ERiF(q；小川)的一致估計 dx椒RlF(d尼)1心

14、 "一、 L"ft E<Ky>qi) Ik> =6(邙)的假定尺可褐dE(RlF<qTfy,Fr) lx)亦"g其中人()是丫密度函數(shù)的非遂數(shù)一致怙計。(3)Jft后通過計算1 yaE(RtF(i>y>Ft)H)來獲得UQPE( T )的一致估計(二)無條件分位數(shù)處理效應(yīng)處理效應(yīng)模型和普通的回歸框架探究變量之間的相關(guān)關(guān)系不同，它研究的是變量之間的因果關(guān)系，允許研究者在十分弱的假定下獲得變量之間因果關(guān)系的準確估計，因而在微觀經(jīng)濟政策評估中占據(jù)十分重要的地位。假設(shè)D是一個0-1處理變量。D=1表示個體接受了某種政策，D=0表示未接受

15、這種政策。用 兒與丫。分別表示個體在D=1或D=0狀態(tài)下的結(jié)果。平均處理效應(yīng)(average treatment effect ) E ( ' i- u)表示的是該政策對潛在受眾對象的平均作用大小。但是，政策的平均影響并不是政策制定者關(guān)心的全部內(nèi)容， 通常他們還關(guān)心政策對于群體在整個分布不同分位點上的異質(zhì)性影響，這等價于需要估計如下的分位點處理效應(yīng)(qua ntile treatme nteffect ， QTE :q/V()(9)與一般回歸擢架中硏究無條件分世數(shù)估訃相 比占卄形如式9)的無條件分位數(shù)處理牧應(yīng)行它 自對的簡便與困難之fih估計式(跨的簡便之處在 于“由于處理變?nèi)盌只取0

16、-1曲個0L且在處理牧 應(yīng)棋型中人與Yo實際上是地位對稱的因此'我 們J?flSittfcqT<Y,)的估什方法"魅而、處理變*tD 一般抜認為是內(nèi)生的即個體選擇是否拳與處理與 個體對該政集結(jié)果的8S期有關(guān)©這就給估計處理 蛻應(yīng)帶來穆大困難"于雄技術(shù)處理上就需要用到 分位點的工具變麗怙卄。fWkh « Mclly( FM .200?) 葦慮了半代瞽1>的工具變U Z貝取0 - I值時的式 的估計冋題“FM首先注意到并非所有個體的QTE都可以被識別出來，而只有那些可以通過變動工具 Z來改變他們處理狀態(tài)D的遵從者(complier ) 的

17、QTE才能被識別出來。其中，遵從者當 D=1時的分布函數(shù)卩怙滿足F訃(u)=pE(HY -e u)(D - IM X.Z - »> -f(l<r 4 idf -叫 i 耳器=PJKt JiMUI X.Z - 1> - UD X.Z Q)|d>(10)遵從者當D =0時的分布函數(shù)滿足pE(t(ir «u)(D 】H 工上 a l> -tL(r «uXL>-Dl o)tdt;JjUDl X.Z « l>*F4 0r X7 «0)idFa(U)在以上表達式下，曲式(9)表示的UQTE可以 等價壇寫成F和町-齊

18、：")(12)可以看出的是，要通過式(10)和式(11)的逆函數(shù)來求解式(12)其實十分困難。為克服這一難題使得用了再賦權(quán)(reweighting )分位點回歸的算法，其主要思路如下。定義權(quán)重函數(shù)UQTE便于計算，F(xiàn)M采其中p （X） =E （D=1|X） o在以上權(quán)重下，可以證明式（10）和式（11）具有等價表示S(u)e(i(t 2眄E(DW)E(lXY<u)(J -D)W)E(DW)(13)(14)為計算在特定工處的UQT匕令式（13）和式（14）的等號的左邊都等于數(shù)值工，即得E<l(Y<qT(Ylif)DW)=-rE(DW) 與E(l(Y<qT(Y)(

19、l -D)W) xTE(DW)或卷E(|(Y<qr(YM) -tIDW) =0(15)與EdKYcqJY) -T|<1 - D)W) =0 (16) 結(jié)合式(】5)和式(16人容易看甜陷(丫|丿-%(丫.)是以下加權(quán)線性分位點回歸 的解竄(磯 b) marg tnin E( pJY y-bD) * W)其中厲(u) =u (t -1 (uv 0)?；谝陨纤悸?，實際計算可分為三步，首先獲得得分傾向p (X)的非參數(shù)估計p ()，隨后代入W的表達式獲得W的一致估計后通過最小化+2(央(人ylxU ii)來得到想罠的UQTEq(三)無條件分位數(shù)回歸回顧以上兩類對UQF的研究，Powel

20、l (2010)認為，F(xiàn)FL的RIF回歸雖然具備無條件分位數(shù)回歸的思想，但是它將所有解釋變量 都等同于控制變量，即RIF回歸無法同時基于一些變量的條件分位數(shù)回歸時計算另一些變量的無條件分位數(shù)回歸。另一方面，F(xiàn)M的無條件分位數(shù)處理效應(yīng)無法推廣到處理變量取值為連續(xù)的一般情形。Powell (2010)考慮以下回歸方程丫=g（ D, X,（ 17）其中丫是被解釋變量，D是政策變量，X是反映個體特征的一組控制變量，&是不可觀察的擾動項。這里區(qū)分政策變量與控制變量 的目的主要是為了計算丫關(guān)于D是有條件的分位數(shù)回歸，同時關(guān)于 X的部分分量是無條件分位數(shù)回歸。這種部分無條件分位數(shù)回歸在 實際應(yīng)用中具

21、有極大的靈活性，因為，人們可以根據(jù)研究目的自由地選擇自己想要了解哪些解釋變量對于被解釋變量的異質(zhì)性作用。 例如，當人們想要了解教育對于工資的分位數(shù)影響時，可以令D只包含教育變量，而將其他有關(guān)個人性別、年齡、家庭背景等因素全部放入控制變量X中。此時部分無條件分位數(shù)回歸結(jié)果回答的問題將完全不同于FFL的RIF回歸結(jié)果回答的問題，當然也不同于一般條件分位數(shù)回歸結(jié)果回答的問題。為簡單起見且能夠說明部分無條件分位數(shù)回歸的基本想法，Powell只考慮當丫關(guān)于D的無條件分位函數(shù)是線性的情形。在這種情況下，式（17）可以進一步寫成Y=a D+U（ X，£）其中E (P (U (X,£)< 0|D , X) |D) =t( 18)比較式(18)與CQR匡架下對應(yīng)的條件可以幫助我們理解 UQF與CQR勺重要區(qū)別。在CQF中，我們有P (£< 0|D, X) =t( 19)將式(19)與式(18)對比，可以發(fā)現(xiàn)UQ或際上計算的是D對被解釋變量Y在由控制變量X與真正的誤差項&一起組成的擾動 項分布不同分位點上的異質(zhì)性作用。需要指出