三角函數(shù)九類經典題型

1、精品資料歡迎下載三角函數(shù)九種經典類型題類型一同角三角函數(shù)關系式的應用1、 (1)已知 tan 2，則 sin2 sin cos 2cos2 _.(2) 已知 sin cos 153，則 cos sin 的值為 _8，且 4 2答案43(1)(2)52解析(1) 由于 tan 2，則 sin2 sin cos 2cos2sin2 sin cos 2cos2sin2 cos2sin2sin cos 2cos2cos 2 sin 2 cos 2 1tan 2 tan 222 2 24tan 2 1221 5.53，(2) 42 cos 0， sin 0 且 cos >sin ，cos sin

2、0.又(cos sin )21 2sin13 cos 1 2× ，843cos sin 2 .思維升華(1) 利用 sin 2 cos2sin 1 可以實現(xiàn)角 的正弦、余弦的互化，利用 cos tan可以實現(xiàn)角 的弦切互化(2) 應用公式時注意方程思想的應用：對于sin cos ，sin cos ，sin cos這三個式子，利用 (sin ± cos ) 2 1±2sin cos ，可以知一求二 (3)注意公式逆用及變形應用： 1 sin22222 cos ，sin 1 cos ，cos 1 sin 2.2 、已知 sin cos 2， (0 ， ) ，則 tan

3、 _.答案 1解析由sin cos 2，sin2 cos 2 1，消去 sin 得： 2cos2 22cos 1 0，即(2cos 1) 20，精品資料歡迎下載2 cos 2 .又 (0 ， ) ，3 4 ，3 tan tan 4 1.類型二誘導公式的應用171、已知 sin 12 3，則 cos 12的值為 _解析 (1)cos7 cos 12122 1 sin 12 3.思維升華 (1)誘導公式用法的一般思路化大角為小角角中含有加減的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍22(2) 常見的互余和互補的角常見的互余的角：3 與6 ；3 與6 ；4 與4 等23常見的互補的角：3 與3 ； 4 與4 等

4、2、已知 sin 1，則 cos _.326解析3 6 2 ，cos6 cos2 3sin1 .32變式：已知 sin 13 2，則cos(2) _.6類型三三角函數(shù)的單調性1、 (1) 函數(shù) f( x) tan 2x3 的單調遞增區(qū)間是_ 精品資料歡迎下載(2) 已知 0，函數(shù) f(x) sin x 的取值范圍是 _在，上單調遞減，則42(1)k k 515答案2 12，2 12(k Z )(2)2，4解析(1)由 k 2x k ( kZ )得，232k k52 12 x 2 12(k Z )，k k 5所以函數(shù) f(x) tan 2x 3 的單調遞增區(qū)間為，( kZ )2122 12(2)

5、 由 2x ， 0 得， x ，2444 3又 y sin x 在 2， 2 上遞減， 2 ，42所以 3 ，42解得 1 5.24思維升華(1) 已知三角函數(shù)解析式求單調區(qū)間： 求函數(shù)的單調區(qū)間應遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復合函數(shù)單調性規(guī)律“ 同增異減 ”； 求形如 y Asin( x )或 yAcos(x )(其中 0)的單調區(qū)間時， 要視 “ x ”為一個整體， 通過解不等式求解 但如果 0，那么一定先借助誘導公式將 化為正數(shù)，防止把單調性弄錯(2) 已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)先求出整體函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解2、 (1) 函數(shù) f( x) sin 2x的單

6、調減區(qū)間為 _3(2) 已 知 0 ， 函 數(shù) f(x) cos x在， 上 單 調 遞 增 ， 則 的 取 值 范 圍 是42_答案(1)， k 53，7k 1212，k Z (2)2 4解析(1)由已知函數(shù)為 y sin 2x 3，y sin欲求函數(shù)的單調減區(qū)間，只需求2x 3的單調增區(qū)間由 2k 2 2x 3 2k2， k Z ，5得 k xk， k Z .1212精品資料歡迎下載故所給函數(shù)的單調減區(qū)間為， k 5k1212 (kZ )(2) 函數(shù) y cos x 的單調遞增區(qū)間為 2k， 2k， k Z ， 2k， 24k Z，則2k，4解得 4k 52k 1， kZ ，24又由 4k

7、5 2k1 0， k Z 且 2k1 0， k Z ，2443 7得 k 1，所以 2， 4 .類型四三角函數(shù)的周期性、對稱性1、(1) 已知函數(shù) f(x) sin( x ) 0， | 的最小正周期是 ，若將 f(x)的圖象向右平移2則關于函數(shù) f(x)的圖象，下列敘述正確的有_(填3個單位后得到的圖象關于原點對稱，正確的序號 )關于直線關于直線x5x 對稱；對稱；12125關于點12， 0 對稱；關于點12， 0 對稱(2) 已知函數(shù) y 2sin 2x，則 x0_.的圖象關于點P(x0,0)對稱，若 x0 ， 0322解析(1)由題意知 ， 2；y sin22又由 f(x) 的圖象向右平移

8、 個單位后得到x sin2x 3，此時關于原33222點對稱， 3 k， k Z ， 3 k， k Z ，又 |2， 3 k 2，.當 xk 1， ， f(x) sin 2x3時，3125 2x ， 、 錯誤；當 x時，2x ， 正確， 錯誤361232(2) 由題意可知k ， k 0 時， x02x0 k， k Z ，故 x0 ，k Z ，又 x0 ， 03262 .62、 若函數(shù)y cos x( N* )圖象的一個對稱中心是，則 的最小值為66， 0_精品資料歡迎下載答案2解析由題意知 *， min 2.6 k (k Z )? 6k 2(k Z)，又 N62思維升華(1)對于函數(shù) yAsi

9、n(x )，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x x0 或點 (x0,0)是不是函數(shù)的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷(2) 求三角函數(shù)周期的方法：利用周期函數(shù)的定義2利用公式： yAsin( x )和 y Acos(x )的最小正周期為，ytan(x )的最小正 |周期為|.3、(1) 已知函數(shù) f(x) 2sin(x )，對于任意 x 都有 f x f6 x，則 f6的值為 _65a 的值為 _(2) 已知函數(shù) f(x) sin x acos x 的圖象關于直線x對稱，則實數(shù)33答案(1)2 或 2(2) 3解析 x f x，

10、 x6是函數(shù)f( x) 2sin(x )(1) f 66的一條對稱軸 f6 ±2.5f(0) f103(2) 由 x是 f(x)圖象的對稱軸，可得，解得 a3 .33類型五函數(shù) y Asin(x )的圖象及變換11、 (1) 把函數(shù) ysin(x 6)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的2(縱坐標不變 )，再將圖象向右(填正確的序號 )平移 3個單位長度，那么所得圖象的一條對稱軸方程為x ； x； x； x.2484(2) 設函數(shù) f(x) cos x(>0)，將 y f(x)的圖象向右平移3個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則 的最小值等于解析1(縱坐標不變 )，得到函數(shù) y(

11、1)將 y sin(x)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的26 sin(2x)；再將圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù) y sin2( x ) sin(2x )，故 x63362是其圖象的一條對稱軸方程2 *(2) 由題意可知， nT 3 (nN )，精品資料歡迎下載2 *n· (n N ) ， 3*6n (n N )， 當 n1 時， 取得最小值6.1、 (1) 已知函數(shù)y Asin(x ) (A>0， >0， |<2) 的圖象上一個最高點的坐標為(2，2)，由這個最高點到其右側相鄰最低點間的圖象與x 軸交于點(6,0) ，則此函數(shù)的解析式為(2) 函數(shù) f(x) As

12、in(x )(A 0， 0， | )的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為解析(1)由題意得 A 2，T 6 2，所以2 T16，.又 sin8× 2 1，所以 4T84 2k k( Z )又因為|< ，所以 .224T7 (2) 由題圖可知 A2， 4 12 34，所以 T ，故 2，因此 f(x) 2sin(2x )，又7273， k Z ， 2k ， k Z ，12為最小值點， 2× 12 2k 23又| ， .故 f(x)2sin(2x )332、函數(shù) f(x)2sin( x ). 2 的部分圖象如圖所示，則 0， 2答案 3解析T 11521212，2

13、25T 又.T( 0)， ， 2.由五點作圖法可知當x12時， x ，2即 2× 5 ， .1223類型七：三角函數(shù)圖象性質的應用2則 m 的1、已知關于x 的方程 2sin x 3sin 2x m 1 0 在， 上有兩個不同的實數(shù)根，2取值范圍是精品資料歡迎下載答案( 2， 1)解析方程 2sin2x 3sin 2x m 1 0 可轉化為 m 1 2sin2x 3sin 2x cos 2x 3sin 2x7 132sin 2x 6 ， x， .設 2x6 t，則 t6， 6 ，2題目條件可轉化為m sin t， t 7，13，有兩個不同的實數(shù)根266m713y2 和 y sin t

14、，t6，6 的圖象有兩個不同交點，如圖：由圖象觀察知，m1的范圍為 ( 1，)，故 m 的取值范圍是 ( 2， 1) 22類型八 角的變換問題1、 (1) 設 、 都是銳角，且cos 5， sin()3，則 cos .5547(2) 已知 cos( 6) sin 53，則 sin( 6 )的值是254答案(1) 25(2) 5解析(1)依題意得 sin 225241 cos 5， cos() ± 1 sin ± .5又 ，均為銳角，所以0<< <， cos >cos()因為 4>5>4，所以 cos( )5554 5.于是 cos cos

15、( ) cos( )cos sin()sin 4×53× 25 25555525 .4334134(2) cos( 6) sin 53， 2 cos 2sin 53，3(2cos 2 sin) 53，3sin(43， sin(74. ) ) 4， sin( 6) sin( )6565651， cos 3.2、若 0 ， 0， cos 3，則 cos 2243422答案539解析cos cos sin ，24 2 cos cos sin2444244 30 ， ，2444精品資料歡迎下載sin2 2 6 3.又 0，則 ， sin3 .4244224 2故 cos 1

16、5;32 2×653233339 .123、(1)已知 0 2 ，且 cos 2 9，sin2 3，則 cos( )的值為2， cos B 3，則 cos A.(2) 已知在 ABC 中， sin(A B) 34易錯分析(1)角2 ， 2的范圍沒有確定準確，導致開方時符號錯誤(2) 對三角形中角的范圍挖掘不夠，忽視隱含條件，B 為鈍角解析(1) 20 ， ， ，cos 1 sin 242242225245 3，sin 21 cos 29， cos2 cos 2 2 154 527 5cos 2 sin2 sin ×，cos 22939×3272 49×

17、5239cos( ) 2cos212×729 1 729.32B7(2) 在 ABC 中， cos B ， B ， sin B1 cos4.422， cos(A B)1 sin2AB 5， BA B ， sin(A B)332cos A cos(A B) B cos(A B)cos B sin(A B)sin B 5×32×35274712.334類型九三角函數(shù)的求角問題1、5， cos 310，則 _.(1)已知銳角 ，滿足 sin 5102 (2) 已知方程 x 3ax3a 1 0(a 1)的兩根分別為tan 、 tan ，且 、 ，則 22 _.解析(1)由

18、 sin 5， cos 310且 ， 為銳角，可知cos 2 5， sin 10，510510故 cos( ) cos cos sin sin 2 5× 310 5×102，5105102又 0< <，故 4.精品資料歡迎下載tan tan 3a， 3a 1.(2) 依題意有 tan( ) tan tan tan ·tan 3a1，1 tan ·tan 1 3a 1又tan tan 0， tan 0 且 tan 0. 0 且 0，tan ·tan 0，223即 0，結合 tan( ) 1，得 4 .112、 (1) 若 ， (0， )，且 tan( ) 2，tan 7，則 2 _.(2) 在 ABC 中， tan A tan B3 3tan A·tan B，則 C _.tan tan 解析(1) tan tan( ) 1 tan tan 1