上海高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座關(guān)于求圓錐曲線方程的方法_5096

1、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座：關(guān)于求圓錐曲線方程的方法高考要求求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查學(xué)生識(shí)圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問(wèn)題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對(duì)稱問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問(wèn)題常用定義法和待定系數(shù)法重難點(diǎn)歸納一般求已知曲線類型的曲線方程問(wèn)題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上22時(shí)，可設(shè)方程為mx+ny =1(

2、m 0, n 0)定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到量的大小典型題例示范講解C'18mC例 1 某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸 ( 即雙曲20 m線的虛軸 ) 旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中、 是雙曲線的頂點(diǎn)，、 是冷卻塔上口A'14 m AA AC C直徑的兩個(gè)端點(diǎn)， 、 是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)， 已知 =14 m， =18 m, B BAACCBB=22 m, 塔高 20 m 建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程22 mB 'B命題意圖 本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識(shí)、思想和方法解決實(shí)

3、際問(wèn)題的能力知識(shí)依托 待定系數(shù)法求曲線方程；點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程；積分法求體積錯(cuò)解分析建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵技巧與方法 本題是待定系數(shù)法求曲線方程解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy, 使 AA在 x 軸上， AA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O， CC與 BB平行于 x 軸設(shè)雙曲線方程為x2y2=1( a 0, b 0), 則 a=1 AA =7a2b22yC'C又設(shè) (11,y1),(9,x2) 因?yàn)辄c(diǎn)、C在雙曲線上，所以有BCBA'Ax2292y2o11y11,2172b272b 2B'B由題意，知y2 y1 =20, 由以上三式得y1= 12, y2=8, b=72

4、故雙曲線方程為x2y249=198例 2 過(guò)點(diǎn) (1 ，0) 的直線 l 與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上且離心率為2 的橢圓 C相交于 A、B 兩點(diǎn)，直2線 y= 1 x 過(guò)線段 AB的中點(diǎn)， 同時(shí)橢圓 C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l 對(duì)稱， 試求直線 l 與橢圓 C的方程2命題意圖 本題利用對(duì)稱問(wèn)題來(lái)考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)y1計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng)Ay= 2 x知識(shí)依托 待定系數(shù)法求曲線方程， 如何處理直線與圓錐曲線問(wèn)題，對(duì)稱o 1xB問(wèn)題錯(cuò)解分析 不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤恰當(dāng)?shù)乩煤脤?duì)稱問(wèn)題是解決好本題的關(guān)鍵技巧與方法 本題是典型的求圓錐曲線方程的問(wèn)題，解法一，

5、將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線斜率的等式解法二，用韋達(dá)定理AB解法一由 e=c2a 2b2122a2, 得a22, 從而 a =2b , c=b設(shè)橢圓方程為 x2+2y2=2b2, A( x1, y1),B( x2, y2) 在橢圓上則22=22,22=22, 兩式相減得， ( 12222yy2x1x2x1 +2y1x2 +222)+2(y1 2 )=0,1.bybxxyx1x22( y1y2 )設(shè) AB 中點(diǎn)為 ( x, y ),則 k=x0, 又( x , y) 在直線 y=1x 上， y =1x , 于是x0= 1, k = 1, 設(shè) l00AB2y00020202

6、 y0AB的方程為 y= x+1右焦點(diǎn) (,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為 (x ,y),by1解得 x1則 xbyx2b1y1b2由點(diǎn) (1,1) 在橢圓上，得 1+2(1 ) 2=2b2,2=9,a29bbb168所求橢圓 C的方程為 8x 216 y 2=1,l的方程為 y= x+199解法二由=c2a2b21, 從而22,=,得a=2bea2a22c b設(shè)橢圓 C的方程為x2+2y2=2b2, l 的方程為 y=k( x 1),222224k 2將 l的方程代入C 的方程，得(1+2 k ) x 4k x+2k 2b =0, 則x1+x2=12k 2 , y1+y2=k( x1 1)+ k(

7、x21)= k( x +x) 2k=2k1212k2直線 ly = 1 x 過(guò) AB的中點(diǎn) ( x1x2 , y1y2), 則k12k2, 解得 k=0，或 k= 1212k 221222k 2若k=0, 則l的方程為y=0, 焦點(diǎn)(,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0F c舍去，從而 k= 1，直線 l的方程為y=( x 1), 即 y= x+1, 以下同解法一例 3 如圖，已知 P1OP2的面積為27 ，P為線段 P1P2 的一個(gè)三等分點(diǎn)， 求以直線4P113、OP為漸近線且過(guò)點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程OP122命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合

8、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)P題、解決問(wèn)題的能力知識(shí)依托 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式；三角形的面積公式；以及點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)oP2適合方程錯(cuò)解分析 利用離心率恰當(dāng)?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關(guān)鍵，正確地表示出P1OP2 的面積是學(xué)生感到困難的技巧與方法 利用點(diǎn) P 在曲線上和 P1OP2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、 b 的兩個(gè)方程，從而求出a、 b 的值解以 O為原點(diǎn)， P1OP2的角平分線為x 軸建立如圖的直角坐標(biāo)系x2y2設(shè)雙曲線方程為22 =1( a 0, b 0)ab由 e2= c 21 ( b ) 2( 13) 2 ，得 b 3a 2a2a2兩漸近線 OP、OP方程分別為 y=3x 和 y=3x122

9、2yP1PoxP2設(shè)點(diǎn) P ( x,3x ), P ( x , 3x )(x 0, x 0),則由點(diǎn)P1 P得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為P 分 P P 所成的比 =2,112122221212PP2(x12 xx12x2),又點(diǎn) P 在雙曲線x24 y 2=1上，所以( x1 2x2 ) 2( x1 2 x2 )232 ,2a29a29a29a2=1,即( x1+2x2) 2 ( x1 2x2) 2=9a2, 整理得 8x1x2=9a2又2921329213| OP1|x14 x12x1 ,|OP |x24 x22x22 tan P1Ox23122sin P1OP21 tan 2 P1Ox19134S P

10、OP1 | OP1 | |OP2 | sin P1OP2113 x1x21227 ,12224134即 x1x2=92由、得 a2=4, b2=9故雙曲線方程為x2y2=149例4雙曲線x 2y 2bFFPOPPFF FPF4b2 =1( N)的兩個(gè)焦點(diǎn)、，為雙曲線上一點(diǎn)， | 5,|,|,| 成等121122比數(shù)列，則 b2=_解析設(shè)1( c,0 ）、 2(c,0)、( ,y),則FFP x2+|PF22PO|2222| PF1| =2(|+| F1O| ) 2(5 +c ),即 | PF1| 2+| PF2| 2 50+2c2 ,2PF|22PF| · | PF|,又 | PF|

11、 +|=(| PF| | PF|)+2|121212依雙曲線定義，有 | PF1| | PF2|=4,依已知條件有12122=4c2| PF| ·| PF|=| F F| 16+8c2 50+2c2, c2 17 ,3又 c2=4+b2 17 , b2 5 , b2=133答案 1學(xué)生鞏固練習(xí)1 已知直線 x+2y 3=0 與圓 x2+y2+x 6y+m=0 相交于 P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OPOQ，則 m等于 ( )A 3B 3C 1D 12 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±52) 的橢圓被直線3 2=0 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 ，x y2則橢圓方程為 ( )A

12、. 2x 22 y 21B. 2x 22 y 2125757525x 2y 21x2y 21C.75D.2525753 直線 l 的方程為 y=x+3, 在 l 上任取一點(diǎn)P，若過(guò)點(diǎn)P 且以雙曲線 12x24y2=3 的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為 _4已知圓過(guò)點(diǎn) (4 ， 2) 、 ( 1，3) 兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為 43，則該圓的方程為 _PQ5已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F， M是橢圓上的任意點(diǎn)， | MF| 的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以 y=x 為軸的對(duì)稱點(diǎn)M1 和 M2，且 | M1M2|= 4 10 ，試求

13、橢圓的方3程6 某拋物線形拱橋跨度是20 米，拱高 4 米，在建橋時(shí)每隔4 米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng)7 已知圓 C1 的方程為 ( x 2) 2+( y 1) 2= 20 , 橢圓 C2 的方程為 x 2y 23a 2b 2 =1( a b2 ，如果ACDEFB0) ， 2 的離心率為1 與2 相交于、兩點(diǎn)，且線段恰為圓1 的C2CCA BABC直徑，求直線AB的方程和橢圓C2 的方程參考答案 :1 解析將直線方程變?yōu)?2y+m=0,x=32y, 代入圓的方程 x+y +x 6得(3 2y) 2+y2+(3 2y)+ m=0整理得 5y220y+12+m=0, 設(shè) P( x1,

14、y1) 、 Q( x2, y2)12m則 y1y2=, y1+y2=4又 P、 Q在直線 x=3 2y 上， x1x2=(3 2y1)(3 2y2)=4 y1y2 6( y1+y2)+9故 y1y2+x1x2=5y1y2 6( y1+y2)+9= m 3=0，故 m=3答案 A2 解析由題意，可設(shè)橢圓方程為y 2x 222a2b2=1, 且 a=50+b ,即方程為y2x 250 b2=1b2將直線3 2=0 代入，整理成關(guān)于x的二次方程x y2 2由 x1+x2=1 可求得 b =25, a =75答案 C3 解析所求橢圓的焦點(diǎn)為F ( 1,0),F (1,0),2a=| PF|+| PF|

15、1212欲使 2a 最小，只需在直線l 上找一點(diǎn) P 使 | PF|+| PF| 最小，利用對(duì)稱性可解答案x2y 2=112544 解析設(shè)所求圓的方程為( xa) 2+( y b) 2=r 2( 4 a) 2( 2 b)2r 2a 1a 5則有 ( 1 a)2(3b)2r 2b 0 或 b 4| a |2 ( 2 3)2r 2r 213r 227由此可寫所求圓的方程答案 x2+y2 2x12=0 或 x2+y2 10x8y+4=05 解 | MF| max=a+c,| MF| min=a c, 則( a+c)( a c)= a2 c2=b2,2設(shè)橢圓方程為x2y2b =4,a214設(shè)過(guò)1和2

16、的直線方程為y= +mMMx222222將代入得 (4+ a ) x2a mx+a m 4a =0設(shè) M1( x1, y1) 、 M2( x2 , y2), M1M2 的中點(diǎn)為 ( x0, y0),則 x0= 1 ( x1 +x2)= a 2m, y0= x0+m=4m24a 24a22m4m,y代入 y=x, 得 a24a24aD' oE'C'F'x2m=0,由知 x +x=0, x x =4a2,由于 a 4,4 a21212又| MM|=2410ACDEFB2 ( x1x2 )4 x1x2,1232故所求橢圓方程為x2y2代入 x1+x2, x1x2 可解

17、 a =5,5=146 解以拱頂為原點(diǎn)， 水平線為 x 軸，建立坐標(biāo)系， 如圖， 由題意知， | AB|=20 ，| OM|=4 ，A、B坐標(biāo)分別為 ( 10， 4）、(10 ， 4）設(shè)拋物線方程為 x2=2py, 將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 100= 2p×( 4), 解得 p=12 5, 于是拋物線方程為 x2= 25y由題意知 E點(diǎn)坐標(biāo)為 (2 ， 4) ，E點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將 2 代入得 y= 016, 從而 | EE|=( 0 16) ( 4)=384 故最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)應(yīng)為384 米7解由 =2 , 可設(shè)橢圓方程為x2y 2e22b2b2 =1,又設(shè) A( x1, y1) 、B( x2, y