函數(shù)與極限習(xí)題與答案14(證明題)

1、高等數(shù)學(xué)三、證明題（共124小題，）、一225 一一11、設(shè) f(t)=2t + + +5t ,證明 f(t) = f(一)。 t114、驗(yàn)證 1 - cth x = 一-2。 sh xt、，2、一1 一x 、 一y z -設(shè)f (x) =ln -，證明 f (y)+ f (z) = f ()(式中，y <1, z <1).3、設(shè) F(x) =lg(x +1),證明當(dāng) y >1 時(shí)有 F(y2 -2) F(y 2) = F(y)。4、設(shè) f (t) =et ,證明 f (x) = f (x - y)。f(y)5、證明f (x) =(2+*3)x -(2-v3)x是奇函數(shù)。6、

2、x - a設(shè)f (x) = arctanx (-°o<x<-),中(x)=,1 ax(a | <1,x <1),驗(yàn)證：f 跳x) = f (x) - f (a)。2_2_7、證明Sh x+Ch x =Ch2x。8、驗(yàn)證2Shx Chx =Sh2x。9、驗(yàn)證Sh(£+P) =ShaChP+Cho(ShP。10、驗(yàn)證Sh(u - P) =Sh«ChP - ChShP。11、驗(yàn)證 Ch(s+P) =ChsChP+ShzShP。12、驗(yàn)證Ch® P) =ChaChP ShtShP。2113、驗(yàn)證 1 -th x = 12-。 ch x15

3、、設(shè)數(shù)歹卜:Xn N外都是無界數(shù)列，Zn = XnYn， 試判定：z :是否也必是無界數(shù)列。 如肯定結(jié)論請給出證明，如否定結(jié)論則需舉出 反例。 16、 a - - b設(shè)ai, bi是兩個函數(shù)，令an噂=«anbn , 0+=巴"，(n=1,2,)試證明：lim an存在，lim bn存在，且 lim an = lim bnn )二二n bn ,n j二二17、設(shè)Xi W(0,2), Xn書=2Xn -Xn2.(n =1,2；)，試證數(shù)列 必?cái)浚⑶髽O限lim Xn.n j二二18、若在x0的某去心鄰域內(nèi)f (X) > g(X),且lim f(X)=A,lim g(X

4、) = B ；試證明A之B. X XoX >Xo19、若在x0的某去心鄰域內(nèi) f (x) Ma(x),且lim o(x) = 0,試證明lim f(x)=O x-xox-xo20、 1 - 試證明limcos -不存在。 X Q x21、設(shè)當(dāng)xt x0時(shí)，f(x)T g, g(x)T A(A#O),試證明 lim f(x)g(x)=°°. X Mo22、設(shè) xt x0, f(x)T s, g(x)T A,試證明 lim f (x)十 g(x)=°0 . x >xo23、設(shè)xt x0時(shí)，f(x)T m，g(x)T A(A是常數(shù))，試證明 lim g(x)

5、 =O. Xxo f (x)24、設(shè)有數(shù)列'an 滿足 an O; an1 一 r,O :二 r ：二 1,試證明 lim an hO ann F 二25、設(shè)lim f(x)=A,lim g(x) = B,且A a B,試證明：必存在x0的某去心鄰域，使得 XXoX 5XO在該鄰域?yàn)閒(x) -g(x).#、設(shè) lim f (x) =A(A . 0),試用" xXo_ 6"語言證明limf(x) =JA .x匹35、27、設(shè)有數(shù)列Ian精足an > 0且lim ;a = r, (09r < 1),試按極限定義證明: n一j 二;lim an =0.n:：

6、)28、(0 _ r < 1),試證明 lim an = 0. n >設(shè)有數(shù)列an贏足an > 0及l(fā)im an' = r n一an29、設(shè)lim xn = 0及l(fā)im 迎1 = a存在，試證明：a < 1. n-?cn-?c xn30、設(shè)當(dāng)xt x0時(shí)，f (x)是比g(x)高階的無窮小.證明：當(dāng)xt址時(shí)，f (x)+g(x)與g(x)是等價(jià)無窮小.31、設(shè)當(dāng)xt x0時(shí)，a(x)、B(x)是無窮小，且：(x) - -(x) - 0.證明:ln 1 1 -：i(x) ,1 - ln 1.1:(x) 1與cc(x) - B(x)是等價(jià)無窮小.32、設(shè)當(dāng)xt x0

7、時(shí)，a(x) , 0(x)是無窮小且：(x) - ：(x)= 0證明：ex) e勖 u(x)P(x).33、設(shè)當(dāng)xt x0時(shí)，a(x)與B(x)是等價(jià)無窮小,且 lim f(x)= a =1, lim f (x) 一 ： (x)xx0 ： (x)x-.xog(x)證明:lim f(x)-P(x)=A. x-x0g(x)34、設(shè) lim f(x)=A,且A=0, x jx°試證明必有x0的某個去心鄰域存在，使得f(x)在該鄰域內(nèi) ,有界.設(shè)xt X0時(shí)，a (x)與P(x)是等價(jià)無窮小且 lim 二(x) f (x) = AX_X0證明：lim : (x) f (x) = AxX036

8、、若數(shù)歹卜包適合an 1 -an = r(an -an)(0 < r <1)求證：lim ann ）二二a2 -ra11 -r37、設(shè) lim 中(x) = u0, lim f (u) = f (u0)，證明: X_X0u )U0lim f W(x) 1= f (u0)。X >X038、用極限存在的夾逼準(zhǔn) 則”證明數(shù)列的極限lim =0.n 3; 2n39、設(shè)數(shù)列）適合Xn 1Xn< r ：二1, （r為定數(shù)）證明：lim xn =0.n j：40、設(shè) x1 =-2X2Xn1 3 5 (2n -1)2 4 6 (2n)證明:xn < -;:，. 2n 1（2）求極

9、限1mx41、設(shè)Xn11-+ +321+1,求證：lim xn存在3n 1n 、二42、設(shè)Xn=1122132+,（n為正整數(shù)）求證：limXn存在.43、設(shè)XoX1 = 1x01 X0_ x . XnXn+ = 177*1 Xn證明極限lim Xn存在，并求出此極限值。 n, ,1a設(shè) X1 >0,且 Xn由=(Xn +)(其中 a >0), 2Xn證明極限limxn存在，并求出此極限值.#、45、設(shè)x1=72-",且 Xn+ = J2 +Xn；證明lim xn存在，并求出此極限值n f 二46、設(shè)x1> a >0,且 xn4=Jaxn ,證明:lim xn

10、存在，并求出此極限值 n J=:47、已知：lim f(x)=A>0,試用極限定義證明：lim Jf (x) = AK.x 及x >x0 48、設(shè)lim f (x)=A,試證明： x小對任意給定的s>0,必存在正數(shù)5,使得對適含不等式 0 < x1 -x01ca； 0<x2-x0的一切x1、x2,都有 f(x2)-f(x1) < 工成立。49、若 lim f(x)=A,lim g(x)=B,且Bn AxX0證明：存在點(diǎn)x0的某去心鄰域，使得在 該鄰域內(nèi)g(x)Af(x).50、設(shè) lim (x) = u0,且 (x)= u0,又 lim f (u) = A

11、xX0uU0試證：lim f 1- ( x) 1 = A x >X051、設(shè) lim f (x) = A,求證：lim f (x) =|A .xx0x >Xq52、設(shè)有兩個數(shù)列(1)nmxn =0；(2) yn - Mkn, On滿足試證明:lim(ny -(M為定數(shù)). xn yn ) - 0 53、設(shè) lim xn n=A,且B <A<C.試證必有正整數(shù)N存在，使當(dāng)n >N時(shí)恒有成立.用數(shù)列極限的定義證明limL = 0.二n!#、55、1 L：”(x) 1a - 1=limr7x內(nèi)-(x)設(shè)當(dāng)XT 4時(shí)，口與a1(x)均為無窮小，且口(x)(x)；如果也需=

12、A1 ' .：i(x) i -1試證明：hm - XT:(X)(式中a是正常數(shù))56、設(shè)當(dāng) xt xo, a(x), P(x)都是無窮小，且 ot(x)¥0, P(x)¥0 試證明：1+a(x)盧x) (x)B(x) .57、設(shè)當(dāng)xtxo, 口(x), 口 1(x), p(x), P(x)均為無窮小, 且a (x) a 1 (x); P(x) P1 (x),如果 lim ；(x) = A x-xo ：(x)11試證明:lim 1 + a(x)陸=lim 1 + a1(x)際. xxo58、設(shè)當(dāng)x >xo時(shí)，O(x)T 0, B(x)=o 1(x)1a1(x)

13、a(x).lim .“)-吧)-存在(=A# 0) xT°u(x)1(x) - B(x)求證：lim 二 A.xxou(x)59、設(shè)在x0的某去心鄰域內(nèi)0 < a(x) W u(x) W P(x),且當(dāng)xt x0時(shí)，a(x)P(x). 試證明：當(dāng)x > x0時(shí)：(x) u(x).60、用數(shù)列極限的定義證明：lim n(n2 + 2)= 1 .n 二 2n 5261、1用數(shù)列極限的定義證明：lim a n =1 (0<a<1).n.62、用數(shù)列極限的定義證明：lim an =0,(其中0<a<1). n :63、右limx_Xo證明：an 1 . a

14、n2求證：limx >Xoa=lim 丁x 1x0-f(x)=0, lim g(x) =0,但 g(x)#0. x_X0lim Ux_=b的充分必要條件是f g(x)lim f(x)-b g(x)=0.x-x0g (x)64、用無窮大定義證明：lim log a x =(其中0 < a < 1). x )二65、用無窮大定義證明：lim (x3 -4x)=依. x66、用無窮大定義證明：lim 1=.x 10 Jx -167、用無窮大定義證明：lim tanx = ,二x _: _0 268、用無窮大定義證明：lim ln x =.x 0 ,69、用無窮大定義證明：lim 2

15、" = x ：1 x -170、當(dāng)xt x0時(shí)，f(x)是無窮大，且lim g(x) = A, x .,x0證明：當(dāng)xt x0時(shí)，f (x)十g(x)也為無窮大.71、設(shè) lim u(x) = A, Aa0;且 lim v(x) xXoxx0試證明：lim u(x)v(x) = AB.XXo72、設(shè)有數(shù)歹Ua1=a, a2 =b (b*a), an七求證：nmyn =nm(an+ an)及niman.73、當(dāng)xt x0時(shí)，設(shè) %=o(，匕=o(B)且lim 全存在, x >x0-74、用函數(shù)連續(xù)性的M S-6"定義，驗(yàn)證函數(shù)f(x)=cosx在任意點(diǎn)X0處連續(xù).75、

16、設(shè)f (x)在a,十8 W連續(xù),且 星/(x)存在，證明f(x)在b,十g網(wǎng)界.76、設(shè)f (x)在(a,+g)內(nèi)連續(xù)，且lim f(x)與lim f(x)存在,證明f (x)在(a, + °o)內(nèi)有界. x_a 書+ oo77、證明方程x5 7x=4在區(qū)間(1, 2)內(nèi)至少有一個實(shí)根.78、證明x = asin x+b(a >0, b>0)至少有一個正根，并且 它不超過a + b.79、證明方程x3 +4x2 -3x-1 =0有三個實(shí)數(shù).80、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，x =a與x = b是方程f (x) = 0的兩個相鄰的根(a < b).證明：若已知(a, b)內(nèi)

17、一點(diǎn)C處的函數(shù)值f(c) >0,則f(x)在(a, b)內(nèi)處處為正.81、設(shè)函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù)，a<x1<x2<b,證明在(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) J使f(t)= f(x1)； f(x2) .82、證明：任何奇次代數(shù)方程至少有一實(shí)根.83、試證方程x=cosx在(0,工)內(nèi)至少存在一個實(shí)根.284、設(shè)n為正數(shù)數(shù)，函數(shù)“乂)是0, n】上的連續(xù)函數(shù)，f(0)= f(n), 試證明存在巴 "+”0, n】使f (口)= f (口+1).85、設(shè)f (x)在區(qū)間 a, b止連續(xù)，且 a <x1 < x2 c < xn < b,

18、G, c2，cn為任意正數(shù)，則在b, b內(nèi)必存在一點(diǎn)卻使得f()=Cif(xi) c2 f (x2)cnf(xn)G c2一 cn86、證明方程=0有分別X-'l X-'2 X-'3包含在區(qū)間(九1，九2)與(兒2，人)內(nèi)的兩個實(shí)根 其中ai >0(i =1, 2, 3),且儲 工入2 <%87、證明方程sin x-x=1至少有一個根介于2和2之間.88、試證方程x =sinx +2至少有一個不超過3的正根.89、若 f(x)在 fe, b lh 連續(xù),且 f(a)xa, f (b) > b,證明：在(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) 之使f (9=之90、證

19、明：方程+=r+二6胃=0,有一個根介于1和2之間,x-1 x -2 x-3另一個根介于2和3之間.91、證明：方程x4 -3x+1 = 0在-1, 1 內(nèi)有實(shí)根.92、設(shè)f(x)在a, b lh連續(xù)，且方程f(x) = 0ft a, b lh無實(shí)根, 證明f(x)在a, bIk恒為正或恒為負(fù).93、設(shè)f(x)在0, 2a止連續(xù)，且f(0)=f(2a),證明至少有一點(diǎn) e 10, a 1,使得f (：) = f (： + a).94、設(shè)f(x)在 a, b 連續(xù)，a<ccd<b, 證明：對任意正數(shù)p和q,至少有一點(diǎn)Mwb, d 適合 pf(c) qf(d) = (p q)f (19

20、5、設(shè)f(x)在 0, 1 ±非負(fù)連續(xù)，且 f (0) = f (1) =0,試證對于實(shí)數(shù)c(0<c<1),必存在一點(diǎn)x0 e 10, 1),使f (Xo) = f (Xo +C).96、試估計(jì)方程X36x+2 = 0的各根白范圍.(要求范圍是端點(diǎn)為相鄰 整數(shù)區(qū)間).97、證明方程X5 -3x=1至少有一個根介于1和2之間.98、設(shè)f (x)及g(x)在b, b止一致連續(xù)，試證明F (x) = f (x) -g(x)在A, blk也一致連續(xù).99、若f (x)在a, +兇土連續(xù)，且 段/(x) = a(定數(shù))試證明f (x)在la, +8止一致連續(xù).100、試證明：若f

21、(x), g(x)在(a, b)內(nèi)都一致連續(xù)則F(x) = f (x)十g(x)在(a, b)也必一致連續(xù).101、設(shè)f (x) =x2,試證明在任意有限區(qū)間(a, b)內(nèi)f(x)一致連續(xù)，而在(3,+8)上f(x)不一致連續(xù).102、證明：f(x)=z'x,在1, +兇)±一致連續(xù).103、設(shè)0 :二c ：二1,試證明f (x) = cos,在(c,1)內(nèi)一致連續(xù). x104、證明：函數(shù)f (x) = x+sinx在(-°°,十a(chǎn))一致連續(xù).105、設(shè)f(x)對一切x, y滿足f (x + y) = ey f (x)+e*f (y),且f (x)在x =

22、 0處連續(xù).求證：f(x)在任意點(diǎn)x處連續(xù).106、設(shè)f(x)在a, b連續(xù)，f(a) = A, f(b) = B, C是介于A與B之間的任一實(shí)數(shù)，證 中(x) =min" (x), c試證明：中(x)也在, b連續(xù).107、設(shè)f(x)在a, b!h連續(xù)，f(a) = A, f(b) = B, C是介于A與B之間的任一實(shí)數(shù), 證：穴x) =maxf(x), C,試證明：中(x)也在b, b止連續(xù).108、設(shè)f(x), g(x)為連續(xù)函數(shù)，試證明M (x) = Max" (x), g(x)也是連續(xù)函數(shù).109、證明方程乂 =sinx+2,至少有一個小于3的正根.110、設(shè)f

23、(x)與g(x)在 b, blh連續(xù),且 f (a) < g(a) f (b) > g(b),試證明曲線 y = f (x)與y = g(x) 在(a, b)之間至少有一個交點(diǎn).111、設(shè)f(x), g(x)為連續(xù)函數(shù),m(x) = min f (x), g(x)試證明：m(x)也是連續(xù)函數(shù).112、設(shè)f(x), g(x)都在 6, b】上連續(xù)，M (x) = Max f (x), g(x) xw b, b】， 試證明：M(x)在a, b Ik也連續(xù).113、幾 十、.士 m 'f(x)，當(dāng) f(x)<0之f (x)在(*,+叼上連續(xù)&x) =10 當(dāng)f(x)

24、>0， 試證明出x)在(血，+叼上連續(xù).114、幾 十、左右"(x),當(dāng)f(x)A0設(shè)f (x)在(，+叼上連續(xù)g(x) =10 當(dāng)f(x) <0試證明：g(x)在(-00,+°°)上連續(xù).115、設(shè)a<b<c, f(x)= -1 + 1 十 1, x -a x -b x -c試證明在(a, b)及(b, c)方程各有一個實(shí)根.116、設(shè)f (x)對一切 s, t適合f (s +t) = f (s) f 且f (x)豐 0 試證明：若f (x)在x =加連續(xù)，則f (x)必處處連續(xù).117、設(shè)f (x)在區(qū)間(-a, a)內(nèi)滿足條件f(x)

25、 <1, 且對一切s <a, t| <a成立f(s t)f(s) f(t)1 - f (s)f(t)若f(x)在x=0處連續(xù)，試證明f(x)在(-a, a)內(nèi)連續(xù).118、試由f (x) =ex在x =眺連續(xù)性導(dǎo)出f (x)在(-巴+g)上連續(xù)性的證明.119、試由f (x) = lnx在x =1處連續(xù)性導(dǎo)出f (x)在。+ g)上連續(xù)性的證明.120、試由f(x)=tanx, xw (-三號)在x =0處的連續(xù)性導(dǎo)出y= f(x)在(-") 內(nèi)連續(xù)性的證明.121、設(shè)f (x)在0, a】上連續(xù)，且取得最小值f (0) = f (a) = m,試證明：對于滿足0

26、<b <2的任意正數(shù)b,必存在巴亡b, a使f()=f仁+b).122、o. 1x、xsin 一設(shè) f(x)=-x, xW(0, + s), f(0) = 0x 1試證明：對于任意的 c(0 <c<1),存在e>0使f(D = c.123、設(shè)f (x) = Vx sin( Jx +1 - Vx) , x w b, +a , 試證明f(x)在0, +9上有界.124、設(shè)f(x)在 La, a lh連續(xù)，且 f(-a) = f(a).試證：在 0, a Ik至少有一點(diǎn)彳"0, a )>f (-) = f (- - a).三、證明題(共124小題，)1、

27、11 2251證： f ( )=2( )75()' t， ' t，2 _1' t，T t=-2- 2t2 5t t2t9分2、一 225=2t告上 5tt2t.f(t)二葉.證：f (y) + f (z) =ln=ln1 - y1 y1 -yln上1 z1 -z,1 -y -zyz二 ln -1 y - z yzy zf()'1 yz 7y z11 yz=lny z1 1 yz1 一八1 yz二 lny z1 -1 yz. f(y) f(z) =f(或證:f ( y-z1 yz1)=In 1 yzy z1 yz .=lny z11 yz3、=In=ln(1 -

28、y)(1 - z)(1 y)(1 z)1 _y _z yz1 y z yz1 z ,ln 彳=f(y) f(z)證:F(y2 -2) -F(y -2) =lg(y2 -2+1) -lg(y -2+1)= lg(y2 -1) -lg(y -1)=lgy2 -A_y -1Tg(y 1) =F(y)4、證f (x) _ exX _yef(y)ey(x -y) =ex-f(x)f(y)二f (x -y)10分2分6分8分10分4分6分10分8分10分5分9分10分5、3分_1因(2 、3)(2 一 . 3) =1,即 _ 2 - 32.3f (-x) =(2 .3)，-(2 - .3)，=一(23)x

29、 - (2 - , 3)x 1一f(x)10分f(x)是奇函數(shù)。6、設(shè)y = arctan x,二二arctan atan y - tan ： x - a1 tan ytan 工 1 xa故f (x) f (a) = y - - arctanf I :(x) 1 = arctan1 ax故f(x)=f(x)-f(a)10分7、sh1 2x chx_xe -e)2x_x葉)24分10分二左邊右邊8、左邊二2x e -e1 =sh2x=右邊9、 x-2x 二(e e )2=ch2x10分右邊-ae- e-' e: e': 1ey：13、左式10分4分10分4分10分4分10分4分8

30、分10分4分8分= 1e：F eq：H)一 2=左邊10、六、由ex - e-x e ' ee " e"：' e ' - e-'右邊 =-2222J e.e-T2=左邊11、a , -a P , -P a -a P -P 右邊=e e e e - e -e e -e2222= 1e" e，12=左邊12、cU cB+c-P cU c-U cB c-P 六斗 e e e e e -e e -e 后工1 =-2222ee j'l 2二左式.,2, 2, 2, sinh x ch x -sh x=1 -=2, 2cosh x ch

31、 x而ch2x - sh2x = 1故 左式二右式。14、2 ch2xsh2x - ch2x1 -cth x = 1 - 22sh x sh x又sh2x - ch2x - -1故 左式=右式10分15、結(jié)論不一定成立例如 &n = 1,0,3,0,5,，2n -1,0,2n +1, 4 = 020,4,0,6,Q2n,(V都是無界數(shù)列，但Zn = % yn = 010分顯然Zn是有界數(shù)列16、a2-aibi -a1 - b1=b2，an 1二.anbn anbn=bn 1故對一切n有an <bnan 1 = . anbn - an2 = ananbn . bn - bn ubn

32、 1 - -2- - 一2 = bn即an單調(diào)增，bn單調(diào)減 于是有.a1 "a'dbManMbnMbnLydMab即an有上界b2, bn 有下界22從而lim an與lim bn都存在。n 舉二nt 二設(shè) lim an = A, lim bn = Bn nn = ： n則由 limbn噌=lim an *bn得B= A+Bnn f二 22從而A = B10分即 lim an =lim bn n n ?17、因“ (0,2),故乂2 =2x1 -x12 =1-(1 -x1)2 得0 :二X2三1設(shè)0 :二 Xn M1,則 Xn1 =1-(1-4”仍有0 < Xn 1

33、- 1故對一切正整數(shù)n 一 2,0 :二xn 一1成立。從而xn 有界加xni - xn xn _ xn xn(1 _xn) 因 0 ：二 xn 三 1 故 xn .1 -xn _ 0 即xn 單調(diào)增于是lim xn存在 n_.<,：設(shè) lim xn = A (A _ x2 . 0) n 一r2由 lim Xn 1 = lim( 2xn -Xn ) n_n得 A = 2A - A2解得唯一函根A = 110分故 lim xn =1 n_.18、令(x) = f (x) -g(x)則在x0的某去心鄰域內(nèi)中(x)至05分從而 lim :(x)xx0=lim If (x) -g(x)= A -

34、B >08 分xx0故A之B得證10分19、證：因 lim «(x) =0 故 lim La(x)】=04 分x '2x_/0又因a(x) E f (x) Ect(x)7 分從而 lim f (x) =010 分x叫注：本題亦可用“-每"定義證明20、證 f (x) = cos取Xn =-1- (n =12 )2n 二顯然：當(dāng)nT空時(shí)，Xn T 0且xn 0 0而 lim f (xn) = lim cos(2n 二)=1n：1另取tn = (n -1,2,)n (2n1)二顯然：當(dāng)nT 時(shí)，tnT 0,且tn ¥0而 lim f (tn) = lim

35、 cos(2n - 1)二-1 n .n_j：;1故lim cos不存在x0x21、因1=f(x) g(x) f (x) g(x)其中l(wèi)im 1=0xf f (x)11lim =一 (A = 0)x >x° g(x) A故 limx %f (x)g(x)即 lim f (x) g(x)=：xx022、8分10分因1二 f(x) g(x) f(x) 1 .g(x) f(x)lim 二 0x >x0 f (x)g(x) lim = 0 x >x0 f (x)limxx01 +1 g(x) f (x)limx >x° f (x) g(x)二01#分即 li

36、m I f (x) g(x)-二 xXo23、因皿:g(x)，f(x)f(x)lim g(x)=A,即g(x)在x0的某去心命域內(nèi)有界5分x兩lim -=0,即 一-是當(dāng)xt x0時(shí)的無窮小8分x 囪 f (x)f (x)10分故 lim g(x) = o nf(x)24、因叫Mra n故有a2 _ a1ra3 < a2r 三 a1rn 10 < an Wa1r5 分因 0<r<1 故 limrn=08 分n從而 lim an =010分n25、證：令甲(x) = f (x) - g(x)3 分則 lim 中(x)=A-B>05 分xTx0由局部保號性知：存在x&

37、#176;的某去心鄰域使得中(x)>08分即f (x) > g(x)10 分26、因 lim f(x) = A. (A 0)xx0故存在60 > 0,使當(dāng)0 < x - x0 < 6時(shí)，f (x) 0任給£>0,取明=JAa(取6460)必存在6 A 0,使當(dāng)0 M x x0 < 5時(shí)恒有 f(x)A<%成立弟 iL f (x) - Al而 <f(x) -、；A =上f f (x) 7 Af (x) - A 明<<=金成乂、A .A故 lim . f(x) - Ax-x)-27、因 lim n an' =r n

38、_ .取；：1 - r (1 - r < ： 1)必存在N > 0使當(dāng)n > N時(shí)有|v'an - r < s即有:：,c r十名=，一成立從而有an <八n因 0 c 九 < 1,故 lim = 0 n工二又因an >0,可得lim an =0n .:二28、an 1lim = r, r ： 1n二an取名 <1r (九= r+s <1)必存N > 0,n > N時(shí)，何有r c £成立 an即有"a士 <r +君<1成立 a n即 aN 1 ：:： aN ,aN 2 :：aN 1 

39、9;1 :：aN 12 kaN k ,二 aN '因 0 ： ,： 1,故 lim an k = 0k- n5分8分10分3分6分8分10分使當(dāng)4分7分8分10分從而 lim aN .k = 0 k <進(jìn)而 lim an = 0 n_.29、倘設(shè)a > 1由 lim xn-1- a an '二 xn得 lim -xn- =|a a1T |xn|存在N >0使當(dāng)n a N時(shí)即 Xn+ > Xn故 lim xn / 0nsC9分10分從而lim xn #0與已知矛盾 n .IP a| <130、因?yàn)?lim fix) =0 x % g(x)所以f(x)

40、 g(x) lim xx0g(x)f (x) =lim( 1) x g(x)=0 1二1即當(dāng)xT x0時(shí)，f (x)+ g(x) g(x)10 分31、因?yàn)?lim u(x) =0, lim P(x) =0 x >x0xx0一一 .rnrr r2 分所以 lim h(x) - B(x)】=0, lim On H + a(x) ln11 + P(x) D = 0 x JXqxXq且limXXoIn 1，：Kx) I - In 1 .-(x) 1:(x) 一 -(x)1 :(x)In：.1：(x)二 lim ：xxo(x)(x)1： (x) - 1x)(x) - 1x).1«).1

41、 yx)lim =： 二 lim ：xx0： (x) - (x)x >x)：.(x) - (x)=lim： = 1x 兩 1 ：(x)因此，當(dāng)xt x0時(shí)ln 1 i：. (x) L ln 1-(x) 1與a(x) - P(x)是等價(jià)的無窮小量32、因?yàn)?lim .：>(x) =0, lim ：(x) =0 x_xox xo所以 lim 匕(x) - : (x) - 0 x )xolim e"x) e"x) = 0xxoe: (x) _e:(x);e:(x)i(x) 1且 lim：= lim e (x)：xx0 : (x) - ： (x) x： (x) - (x

42、)-：(x)e-(xj(x) -1=lim e limxx0xx0 ： (x) ：(x)故當(dāng)xt x0時(shí),e°(x)-e*x)與汽(x) - P(x)是等價(jià)無窮小33、lim f(x)-g(x)x >x°g(x)f(x) -二(x) f (x) - :(x)=lim Xf g(x) f (x) - - (x)f (x)-(x)(x): (x)二 A lim 8分10分3分6分8分10分4分8分f f(x) 1 二(x)二 A a-1a -110分=A34、因?yàn)?lim f (x) = A = 0 x.xo一 A 、.，,，取名1=>0,必存在6 >0,使當(dāng)

43、20 < x - x0 < 6時(shí)，何有aL-f (x) - A=成乂2又 LA- f(x) <|f(x)-A所以 A - f(x) ： -A即有(x) j：故得/f(x)IA即當(dāng) xW1x 0 < x -x0 < bh寸,10分10分有界f(x)注：若說lim 1=1存在，故 1在x0的某去心 X X。f (x) Af (x)鄰域內(nèi)有界，不扣分。35、lim ：(x) f (x)x jx0(x)=lim ： (x) f (x)xM - (x)(x)=lim lim 二(x) f (x) x >x0 -< (x) xx0=1 A二A36、證：記bn =a

44、n 1 -an有b1 =a2 -a1, b2 = rb1, 4 = rb2 =r 2bl由數(shù)學(xué)歸納法可得：bn =“rn又因?yàn)?bib2 , bn 二an 1 -a1即an 1 = aibi(1 r , r2, r n,)3bi(jn)1 (-r)因此lim an_ 二n1 = nim：ab1n 二a11 - ra2 - a a2 _ ra 1-a1- -1 -r 1 - r解法2a2 一 a1=a2 - a1= r°(a2 -a1)a3 一 a2a4 - a3=r (a2 - a1 )2= r(a3 -a2)=r (a2 -a1)an 1 -an =r(an -a。/)=廣-aj兩

45、邊相加：2n_jan 1 -a1 二 (a2 -a1)(1 r r r ),、1 - rnan l二a1 ,(a2 -a1)二1 - ra2 - aa2 - ra1lim an 1 =a1=n1 - r 1 - ra2 - ra11 - r=f(uo)存在 0(”時(shí)，何有 f (u) - f (Uo) < 8= u0,取馬=",存在6A0即 lim an =n n37、由阿f (u)任給；0,使當(dāng)u -u0又 lim (x)xxo使當(dāng)0 <|x- x0| < 6時(shí)，中(x) u0| < n故當(dāng)0 < x -x0 <6時(shí)，就有f (x) f(U0)|

46、 < 6成立因此 lim f :(x) 1 = f (u0)xx03分7分10分3分7分10分4分8分10分38、因?yàn)?2 n =(1 1)n =1 n 1)1n(nJ(n 2)于是有 0 :二二：-2 n -1p 2又 lim = 010分n-' n -1所以lim=二0n .，二 2n39、由已知x2| < x1 rX3I 風(fēng)”2由數(shù)學(xué)歸納法可得:0_-n< xn E x1r由于limn_5 二n cx1 r =0(0 _ r ： 1)根據(jù)極限存在準(zhǔn)則有l(wèi)im xn = 0nC因此 lim xn = 0 n .40、用數(shù)學(xué)歸納法證明：,-1111當(dāng) n=1 時(shí)，x

47、= 成立.2、- 43 2n 14分6分10分2n 1設(shè)當(dāng)n = k時(shí),xk < 成立 2k 1則當(dāng)n = k +1時(shí)，2k 1 2k 11. 2k 1xk 1 = xk：二=2k 2. 2k 12k 2 2k 2.(2k 2)2 -111=，；< i=2k 2 2k 3.2(k 1) 1不等式成立，故對一切1n有xn n 成".、,2n 1且 lim 0 = 0,n_.<,：1lim : 0f"./2n 1因此：lim xn = 0n .41、10分因?yàn)閄n 1111113 13x13n1 3n 1 1所以數(shù)列4 單調(diào)增又因?yàn)閄n1 13 132 13n

48、 1,1 ±131323n8分10分1顯然：xn 1 = 1 ,-n2 2321(n 1)2n2 (n 1)2Xn1-(y)n1即數(shù)列機(jī)有上界為I.根據(jù)準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限因此lim xn存在 n ”二42、即數(shù)歹I阮單調(diào)增又 Xn =111+ + +-l：二 1221 2322 3二111(1)(22(n 7) n11_).(_3 n -1-1)n= 2-1 2 n即數(shù)歹IH 有上界為210分根據(jù)準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列還有極限 因此：lim xn存在n 5 二43、1 '顯然 0 < Xn <1 + Xn，故 Xn書=1 + xn <21 Xn即：數(shù)列%

49、有上界為22 =而 x0 = 1, x1 = 1 十 11顯然X1 X0設(shè)xk > Xk成立則 xk 1 - xk_Xk1Xkxk -11 XkXk -Xk(1 Xk)(1 Xk j)即Xk由AXk亦成立根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限，知lim Xn存在n一.可設(shè) lim xn = A (A 1 0) n .由 lim xn 1 n.<:得A : 1魄10分取A1 =，5,而慶2 = 1-5( A2 <0舍去)，因止匕l(fā)im xn =n .：二244、因?yàn)閤n由=1(xn+亙)-jxn = 也 2XnXn所以數(shù)列反有下界為va 即從n = 2開始有xn至v'a而T=2(1力

50、斗1+1即Xn卅MXn,所以數(shù)列4廣義單調(diào)減根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限，知 lim xn存在7分n_.<.：可設(shè) limxn=A,則A2ja>0 n一：;由 lim xn¥ = lim 1 (xn + a )n， ' n - 2xn得 A =1(A a)2 AA2 =a因Aa0,故A = va因此 limxn=ja10 分n .45、當(dāng) n =1時(shí)，x1 =、.2 :二 2設(shè)當(dāng)n = k時(shí),xk <2成立則當(dāng)n = k , 1時(shí)，xki = 2-x； .2 2= 2由數(shù)學(xué)歸納法原理知：數(shù)列 "n 有上界為23分下面再用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列4為單調(diào)增當(dāng)

51、n = 1時(shí)，X2 = 2-x； = , 222 = "設(shè)n = k時(shí)，xk書>xk成立則當(dāng)n = k , 1時(shí)，xk 1 1 - xk 2 - 2 xk 122 xk = xk 1所以數(shù)列單調(diào)增根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限，知 lim xn存在7分x 二可設(shè) lim xn = A,則 A > 22 0 0n. ,由 lim xn 書=lim 弋2 + xn,得 A = J2 + An 'n ,'10分解得：A =2, A2 = -1(舍去),因此 lim xn =2#、當(dāng)n =1時(shí),Xi a設(shè)當(dāng)則當(dāng)n = k時(shí),xk > a成立n = k +1 時(shí)，xk 書=«axk > v a a = a由數(shù)學(xué)歸納法原理知：Xn 有下界為a且Xn 1 = aXn :二.Xn 冬=X。即數(shù)歹IXn 單調(diào)減根據(jù)數(shù)列單調(diào)有界必有