2019年北京市高考數學試卷(理科)

1、2019年北京市高考數學試卷（理科）題號一一三總分得分、選擇題（本大題共 8小題，共40.0分）1. 已知復數z=2+i,則z?=（）A. 一B. 一C. 32.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4第17頁，共18頁3.已知直線l的參數方程為（t為參數），則點（1,0）到直線l的距離是A.-B.-C. -D.-4 . 已知橢圓一+=1 （a>b>0）的離心率為一，則（）D.）D. 7兩顆星的星等與亮度滿足A.B.C.5 . 若x, y滿足|x| &y,且yX1,則3x+y的最大值為（A.B. 1C. 56 .在天文學中，天體的明暗程度可

2、以用星等或亮度來描述.m2-m尸Tg一,其中星等為 mk的星的亮度為Ek （ k=1 , 2）.已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A.B.C.D.7 .設點A,B,C不共線，則“與 的夾角為銳角”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件8 .數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C： x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如圖）.給出下列三個結論：曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)；曲線C上任意一點到原點的距離都不超過一；曲線C所圍成的 心形”區(qū)域的面積小于 3.其中，所

3、有正確結論的序號是()A.B.C.D.二、填空題(本大題共 6小題，共30.0分)9 . 函數f (x) =sin22x的最小正周期是 .10 .設等差數列an的前n項和為Sn,若a2=-3, S5=-10,則%=, S的最小值為11 .某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為 .12 .已知l, m是平面“外的兩條不同直線.給出下列三個論斷： llm；m/a; l,a.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題:13 .設函數f (x) =ex+ae-x (a為常數).若f (x)為奇函數，則

4、a=;若f (x) 是R上的增函數，則 a的取值范圍是 .14 .李明自主創(chuàng)業(yè)，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、 京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水 果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%.當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為.三、解答題(本大題共 6小題，共80.0分)15 .在GABC 中，a=3, b-c=2, cosB=-.(I )求

5、b, c的值；(n )求 sin (B-C)的值.16 .如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PA*面 ABCD, AD1CD, AD/BC, PA=AD = CD=2,BC=3. E為PD的中點，點 F在PC上，且一=-.(I )求證：CD，平面PAD ;(n )求二面角F-AE-P的余弦值；(出)設點G在PB上，且一=-.判斷直線 AG是否在平面AEF內，說明理由.17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為主要支 付方式之一.為了解某校學生上個月A, B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了 100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A, B兩種支付方式都不使用的有 5

6、人，樣 本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付賦(0, 1000(1000, 2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(I )從全校學生中隨機抽取 1人，估計該學生上個月 A, B兩種支付方式都使用 的概率；(n)從樣本僅使用 A和僅使用B的學生中各隨機抽取 1人，以X表示這2人中上 個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；(m)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用 A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于 2000元.根據抽查結果，能 否認為樣本僅使用 A的學生中本月支付金額大于 2000元的人

7、數有變化？說明理由.18 .已知拋物線 C: x2=-2py經過點(2, -1).(I )求拋物線C的方程及其準線方程；(n)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為 0的直線i交拋物線c于兩點m , N,直線y=-1分別交直線OM, ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過 y 軸上的兩個定點.19 .已知函數 f (x) =-x3-x2+x.(I )求曲線y=f (x)的斜率為l的切線方程；(n)當 xQ-2, 4時，求證：x-6號(x) <x;(出)設F (x) =|f (x) - (x+a) | (aCR),記F (x)在區(qū)間-2, 4上的最大值為 M (a).當M (a)最小

8、時，求a的值.20 .已知數列an,從中選取第i1項、第i2項、第im項(i1 <i2<vim),若a <a va，則稱新數列a , a ，a為an的長度為m的遞增子列.規(guī)定：數列an的任意一項都是an的長度為1的遞增子列.(I)寫出數列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一個長度為4的遞增子列；(n)已知數列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為a ,長度為q的遞增子列的末項的最小值為 a .若pv q,求證：a < a ;(出)設無窮數列an的各項均為正整數，且任意兩項均不相等.若an的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s-1,且長度為s末項為2s-1的遞增子

9、列恰有2s-1個(s=1, 2,)，求數列an的通項公式.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本題考查復數及其運算性質，是基礎的計算題.直接由二-二- |二|求解.【解答】解：.z=2+i,z?: = |：;=（*.如 + I= 5 .故選D.2 .【答案】B【解析】【分析】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題.由已知中的程序 語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量s的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【解答】解：橫以程序的運行，可得k=1, s=1,s=2,不滿足條件k>3,執(zhí)行循環(huán)體，

10、k=2,s=2,不滿足條件k>3,執(zhí)行循環(huán)體，k=3,s=2,此時，滿足條件k>3,退出循環(huán)，輸出s的值為2.故選B.3 .【答案】D【解析】1+3fy ? + * t為參數），消去，可得4x-3y+2=0.|4 x 1 - 3 x 2| _ G則點1,0）到Ml l的距離是d= 八上+ .：7 5 .故選：D.消參數t化參數方程為普通方程，再由點到直線的距離公式求解.本題考查參數方程化普通方程，考查點到直線距離公式的應用，是基礎題.4 .【答案】B【解析】解：他意，= 得:,則士 = ， H" -L rr 1.4a2-4b2=a2,即3a2=4b2.故選：B.由橢圓離心

11、率及隱含條件a2=b2+c2得答案.本題考查橢圓的簡單性質，熟記隱含條件是關鍵，是基礎題.5 .【答案】C【解析】解：由（"作出可行域如圖，1 V 2 T工廿 1 =0 zc-y+l=OX、聯(lián)立 j Tg 1 IP 解得A 2，-1），令 z=3x+y,化為 y=-3x+z,由圖可知，當直線y=-3x+z過點A時，z有最大值為3>2-1=5.故選:C.由約束條件作出可行域，令z=3x+y,化為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案.本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題.6 .【答案】A【解析】【分析】本題考查對數的運算性質

12、，是基礎的計算題.把已知數值代入m2-m產：lg亮，化簡后利用對數的運算性質求解.【解答】解：設太陽的星等是m1=-26.7,天狼星的星等是m2=-1.45,由題意可得：15（州刃一,2 " /?2.也郎=喈=1也1,則4 =心E士5'故選A.7 .【答案】C【解析】【分析】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.工S與較的夾角為銳優(yōu)？ ”1B+N1>I加T； '工8+充>1請I? 你與T的夾角為銳角”，由此能求出結果.【解答】解：點A,B,C不共線，若 E與.的夾角為銳角”，則RT充>u

13、,| . +|2=| . -|2+4 .=|2+4 .>| . |2, "8與鏟的夾角為銳角"？ 鵬+”|>|那|，若 I TS + k，|> I 喬 I,則 1Tg+ .7|2> lA-J/? I2,化簡得而.刀>。，即工S與飛的夾角為銳角， “初+而I>I前I ?%&與而的夾角為銳優(yōu);設點a, b, C不共線，則 方與飛的夾角為銳角”是TTg+NAI喬I的 充分必要條件.故選:C.8.【答案】C【解析】【分析】本題考查了命題的真假判斷與應用，屬于中檔題.將x換成-x方程不變，所以圖形關于y軸對稱，根據對稱性討論y軸右邊的圖形可

14、得.【解答】解：將x換成-x方程不變，所以圖形關于y軸對稱，當x=0時，代入得y2=1,y二士，即修經過 0, 1) , 0,(-1)；當 x>0 時，方程變?yōu)?y2-xy+x2-1=0,所以A=x2-4 x2-1)>Q 解得 x C0,2,所以x只能取整數1,當x=1時，y2-y=0,解得y=0或y=1,即嗨經過1,0),1.1) ,根據對稱性可得曲線還經過-1,0) , -1(, 1),故曲線一共經過6個整點，故正確.當 x>0 時，由x2+y2=1+xy 得 x2+y2-1=xy V'翼"，(生二y 時取等)，. x2+y,即曲線C上y軸右邊的點到原點

15、的距離不超 過6，根據對稱性可得：曲線C上任意一點到原點的距離都不超 過金；匐 正確.在x軸上圖形面積大于矩形面積=1X2=2, x軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積=：x 2x 1=1 ,因此曲線C所圍成的 心形”區(qū)域的面積大于2+1=3,故錯誤.故選C.9 .【答案】一【解析】解：，f X)=sin2 Rx),.f x)= :mN4出 + ；,. f X)的周期T=；,故答案為：；.用二倍角公式可得f x)=-(卬+：,然后用周期公式求出周期即可.本題考查了三角函數的圖象與性質，關鍵是合理使用二倍角公式，屬基 礎題.10 .【答案】0 -10 【解析】解：設等差數列an的前n項和為Sn,

16、a2=-3, S5=-10,(fjj + d = -3 5x4r)(l | tf - -|H '解得 a1=-4, d=1,. a5=a1+4d=-4+4 X=0,it(n 1)=-4n+J n-")2n=4或n=5時,Sn取最小值為S4=S5=-10.故答案為：0, -10.利用等差數列an的前n項和公式、通項公式列出方程組，能求出a1=-4,d=1 , 由此能求出a5的Sn的最小值.本題考查等差數列的第5項的求法，考查等差數列的前n項和的最小值的求 法,考查等差數列的性質等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎 題.11 .【答案】40【解析】【分析】本題考查由三視圖

17、求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.由三視圖還原原幾何體，然后利用一個 長方體與一個棱柱的體 積作和求解.【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體是把棱 長為4的正方體去掉一個四棱柱, 則該幾何體的體 KV=4x2x2+(2 + -I)x2x-I = 4O.故答案為40.12 .【答案】 若l，a, l",則m/“答案不唯一）【解析】【分析】本題考查滿足條件的真命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.【解答】解：由l,m是平面a外的兩條不同直線，可知：由線面平行的判定定理，得：若 lL, l!m,貝 m

18、/a,故答案為若U% l",則m/a .（答案不唯一）13 .【答案】-1（-8, 0【解析】解：根據題意，函數f X）=ex+ae-x,若 f X）為奇函數，則 f -x）=-f X） , ie-x+ae<=- ex+ae-x）變形可得 a=-1,函數 f <）=3+2百X,導數 f 'X）=eX-a'X若f X）是R上的增函數，則f X）白得數f'X）=ex-ae-x方mR上恒成立， 變形可得：a&2x恒成立，分析可得awq即a的取值范圍為-00, 0 .故答案為：-1, -3, 0.對于第一空：由奇函數的定義可得f -x）=-f X）

19、 , ie-x+aex=- ex+ae-x）變形可得分析可得a的值，即可得答案；對于第二空：求出函數的導數，由函數的導數與單調性的關系分析可得f X） 的導數f'X）=eX-ae-XO& R上包成立，變形可得：20含恒成立，據此分析可得 答案.本題考查函數的奇偶性與單調性的判定，關鍵是理解函數的奇偶性與單調性的定義，屬于基礎題.14 .【答案】130 ； 15【解析】【分析】本題考查不等式在實際問題的應用，考查化簡運算能力，屬于中檔題.由題意可得顧客一次購買的總金額，減去X,可得所求值；在促銷活動中，設訂單總金額為m元，可得m-X） X 80%>mx 70%不等式,結合包

20、成立思想，可得X的最大值.【解答】解：當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140 （元），即有顧客需要支付140-10=130 （元）；在促銷活動中，設訂單總金額為m元，可得（m-X ）X80喉 mx 70% 即有x< -,由題意可得m> 120,可得x<=15,則x的最大值為15元.故答案為：130, 1515 .【答案】 解：(I ) .a=3, b-c=2, cosB=.，由余弦定理，得 b2=a2+c2-2accosB=-，. b=7, .c=b-2=5；(n )在 AABC 中，1.CosB=-,sinB=一, 由正弦定理有:,.b>c

21、, . B>C, .C 為銳角,.cosC=一，. sin (B-C) =sinBcosC-cosBsinC=.【解析】(I)利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,代入已知條件即可得到關于b的方 程，解方程即可；(Hsin B-C)=sinBcosC-cosBsinC,根據正弦定理可求出sinC,然后求出cosC, 代入即可得解.本題考查了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬基 礎題.16 .【答案】證明：(I )下人，平面ABCD,二. PA 工D,.AD1CD, PAAAD=A,p. CD "面 PAD.解：(n)以A為原點，在平面 ABCD內/ ： XX.過

22、A作CD的平行線為x軸，/； /AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標a,A (0, 0, 0) , E (1, 0, 1) , F (-,cX-),P (0, 0, 2),二 (1,0,1),=(-，-，-)：平面AEP的法向量 二(1, 0, 0), 設平面AEF的法向量 =(x, y, z),，取 x=1 ,得=(1 , 1 , -1 ),設二面角F-AE-P的平面角為0,貝U cos o =一.二面角F-AE-P的余弦值為一.(出)直線AG不在平面 AEF內，理由如下:,.點 G 在 PB 上，且= , G (-，0，= (-，0, 一)，平面AEF的法向量 二(1, 1, -1),

23、=-=-wq故直線 AG不在平面 AEF內.【解析】(I )指出PA/D, AD/D,由此能證明CD。面PAD.(II)隊為原點，在平面ABCD內過A作CD的平行線為x軸，AD為y軸,AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F-AE-P的余弦值.1"h 4(m)求廝”(，0),平隙EF的法向量M = 1, 1, -1),瘠-彳”=/4,1l!>:父從而直線AG不在平面AEF內.本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線是否在已知平面內的判斷與求法，考 查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基 礎 知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.17 .【

24、答案】解：(I )由題意得：從全校所有的1000名學生中隨機抽取的 100人中，A, B兩種支付方式都不使用的有 5人，僅使用A的有30人，僅使用B的有25人，. A, B兩種支付方式都使用的人數有：100-5-30-25=40 ,.從全校學生中隨機抽取 1人，估計該學生上個月 A, B兩種支付方式都使用的概率 p=0.4.(n )從樣本僅使用 A和僅使用B的學生中各隨機抽取 1人，以X表示這2人中上個月 支付金額大于1000元的人數，則X的可能取值為0, 1, 2,樣本僅使用A的學生有30人，其中支付金額在(0, 1000的有18人，超過1000元的 有12人，樣本僅使用B的學生有25人，其

25、中支付金額在(0, 1000的有10人，超過1000元的 有15人，P (X=0)=-=P (X=1)= =,P (X=2)=-X的分布列為:X012P數學期望E (X) 二 1.(m )不能認為樣本僅使用 A的學生中本月支付金額大于 2000元的人數有變化，理由如下：從樣本僅使用 A的學生有30人，其中27人月支付金額不大于 2000元，有3人月支付 金額大于2000元，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為p=雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為.故不能認為認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化.【解析】(I)從全校所有的1000名學生中隨機抽取的1

26、00人中，A, B兩種支付方式都 不使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用B的有25人，從而A, B兩種 支付方式都使用的人數有40人，由此能求出從全校學生中隨機抽取1人，估 計該學生上個月A , B兩種支付方式都使用的概率.(R)冊本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金 額大于1000元的人數，則X的可能取值為0, 1,2,分求出 相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望E X) .(m)冊本僅使用A的學生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金額大于2000元，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金 額都 大于2000元的概率為p=

27、4 =,不育湫為認為樣本僅使用A的學生中本 月支付金額大于2000元的人數有變化.本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基 礎知識，考查推理能力與計算能力，是中檔 題.18 .【答案】解：(I )拋物線C： x2=-2py經過點(2, -1).可得4=2p,即p=2,可得拋物線C的方程為x2=-4y,準線方程為y=1 ；(n)證明：拋物線x2=-4y的焦點為F (0, -1),設直線方程為y=kx-1,聯(lián)立拋物線方程，可得 x2+4kx-4=0,設 M (xi, yi) , N(X2, y2),可得 xi+x2=-4k, xix2=-4,

28、直線OM的方程為y=x,即y=-x,直線ON的方程為y=x,即y=-x,可得 A ( 一, -1) , B ( , -1),可得AB的中點的橫坐標為 2 (-+-) =2?=2k,即有AB為直徑的圓心為(2k, -1),半徑為 =-|-1=2?=2,可得圓的方程為(x-2k) 2+ (y+1) 2=4 (1 + k2),化為 x2-4kx+ (y+1) 2=4,由x=0,可得y=1或-3.則以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點(0, 1) , ( 0, -3).【解析】(I)代入點2(-1),解方程可得p,求得拋物線的方程和準線方程；(H)拋恢x2=-4y的焦點為F 0,-1)段直線方程為y=

29、kx-1 ,聯(lián)立拋物線方 程，運用韋達定理，以及直線的斜率和方程，求得A,B的坐標，可得AB為直 徑的圓方程，可令x=0,解方程，即可得到所求定點.本題考查拋物線的定義和方程、性質，以及圓方程的求法，考查直線和拋物 線方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔 題.19 .【答案】解：(I ) f' (x)=-,由 f' (x) =1 得 x (x-)=0,得 又 f (0) =0, f (-)=,- y=x 和 一,即 y=x 和 y=x-一;(n )證明：欲證 x-64 (x) <x,只需證-6< (x) -x<0,令 g (x) =f (x

30、) -x=_, xq-2, 4, 則 g' (x)=- 可知g' (x)在-2, 0為正，在(0, 一)為負，在一，為正, . g (x)在-2, 0遞增，在(0, -)遞減，在-，遞增, 又 g (-2) =-6, g (0) =0, g (-)=>-6, g (4) =0, -6q(x) WQ. x-6 號(x)土；(出)由(n)可得，F(xiàn) (x) =|f (x) - (x+a) |二|f (x) -x-a|=|g (x) -a|,.在-2, 4上,-6為(x) wq令 t=g (x) , h (t) =|t-a|,則問題轉化為當tq-6, 0時，h (t)的最大值M (a)的問題了,當 a<3 時，M (a) =h (0) =|a|=-a,此時-a當a=-3時，M (a)取得最小值 3；當 a及3 時，M (a) =h (-6) =|-6-a|=|6+a|,-6+a>3, .M (a) =6+a,也是a=-3時，M (a)最小為3,綜上，當M (a)取最小值時a的值為-3.【解析】 本題考查單數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性以及導數的綜合應用, 構造法，轉