偏微分方程實(shí)驗(yàn)報(bào)告1-張偉-20122058

1、重 慶 大 學(xué)學(xué) 生 實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告實(shí)驗(yàn)課程名稱 偏微分方程數(shù)值解 開課實(shí)驗(yàn)室 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 學(xué) 院 數(shù) 統(tǒng) 年級 2012 專業(yè)班 信計(jì)1班 學(xué) 生 姓 名 張 偉 學(xué) 號 20122058 開 課 時(shí) 間 2014 至 2015 學(xué)年第 2 學(xué)期總 成 績教師簽名數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院制開課學(xué)院、實(shí)驗(yàn)室： 數(shù)統(tǒng)學(xué)院 實(shí)驗(yàn)時(shí)間 ： 2015年 5月6日實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名 稱初值問題的Euler方法和梯形法實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型驗(yàn)證演示綜合設(shè)計(jì)其他指導(dǎo)教師李茂軍成 績是一實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^該實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生掌握求解初值問題的歐拉法和梯形法，并能通過計(jì)算機(jī)語言編程實(shí)現(xiàn)這兩種算法。二實(shí)驗(yàn)內(nèi)容考慮如下的初值問題：該問題有解析解。1. 用

2、歐拉法求解該問題，取步長，將四種步長的計(jì)算結(jié)果（時(shí)刻的計(jì)算結(jié)果），解析結(jié)果和相應(yīng)的絕對誤差列表顯示。2. 用梯形法求解該問題，取步長，將四種步長的計(jì)算結(jié)果（時(shí)刻的計(jì)算結(jié)果），解析結(jié)果和相應(yīng)的絕對誤差列表顯示。3. 在同一種方法下，請說明哪種網(wǎng)格大小的計(jì)算結(jié)果更加精確，并說明理由。在相同的網(wǎng)格大小下，比較上述兩種算法的計(jì)算結(jié)果，那種算法的結(jié)果要好一些，并說明理由。要求：將程序放到實(shí)驗(yàn)結(jié)果部分。將電子版的實(shí)驗(yàn)報(bào)告發(fā)送到郵箱limj,郵件標(biāo)題為：偏微分方程實(shí)驗(yàn)報(bào)告1-姓名-學(xué)號。紙質(zhì)版的實(shí)驗(yàn)報(bào)告在下次上機(jī)實(shí)驗(yàn)時(shí)提交。三實(shí)驗(yàn)原理、方法（算法）、步驟1歐拉法的迭代格式及其誤差估計(jì)：，。2. 梯形法的迭代

3、格式及其誤差估計(jì)。，。 四實(shí)驗(yàn)環(huán)境（所用軟件、硬件等）及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)文件Matlab 或者Fortran1、用歐拉法求解該問題（MATLAB）主界面輸入主函數(shù)如下：x=0:0.2:1;%步長，可以取得更精確f=exp(x);plot(x,f,'g-*')box ongrid onhold ons,t=euler('fun1',0,1,1,5) %這里5=1/0.2plot(s,t,'r-o')xlabel('x')ylabel('y')title('精確解與歐拉法數(shù)值解')legend('exp

4、(x)','歐拉法數(shù)值解')disp(' 步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h)');disp( x' (exp(x)' t' abs(t-exp(x)')調(diào)用子程序一%歐拉方法求解常微分方程function x,y=euler(fun,x0,xfinal,y0,N)if nargin<5,N=50;%區(qū)間長度endh=(xfinal-x0)/N;%步長x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:N x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i);end調(diào)用

5、子程序二function f=fun1(x,y) %函數(shù)定義,可以據(jù)情況更改f=y;2、用梯形法求解該問題主界面輸入主函數(shù)如下：x=0:0.2:1;%步長f=exp(x);plot(x,f,'g-*')box ongrid onhold ons,t=tixingfa('fun1',0,1,1,5)plot(s,t,'r-o')xlabel('x')ylabel('y')title('精確解與梯形法數(shù)值解')legend('exp(x)','梯形法數(shù)值解')disp(&

6、#39; 步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h)');disp( x' (exp(x)' t' abs(t-exp(x)')調(diào)用子程序一(子程序二同上)%梯形法求解常微分方程function x,y=tixingfa(fun,x0,xfinal,y0,N)if nargin<5,N=50;%區(qū)間長度endh=(xfinal-x0)/N;%步長x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:N x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1)

7、; y(i+1)=(y1+y2)/2;end五實(shí)驗(yàn)結(jié)果及實(shí)例分析1、用歐拉法求解該問題當(dāng)h=0.2時(shí)，運(yùn)行結(jié)果： 步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.2000 1.2214 1.2000 0.0214 0.4000 1.4918 1.4400 0.0518 0.6000 1.8221 1.7280 0.0941 0.8000 2.2255 2.0736 0.1519 1.0000 2.7183 2.4883 0.2300當(dāng)h=0.1時(shí)，運(yùn)行結(jié)果：步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.1000 1.

8、1052 1.1000 0.0052 0.2000 1.2214 1.2100 0.0114 0.3000 1.3499 1.3310 0.0189 0.4000 1.4918 1.4641 0.0277 0.5000 1.6487 1.6105 0.0382 0.6000 1.8221 1.7716 0.0506 0.7000 2.0138 1.9487 0.0650 0.8000 2.2255 2.1436 0.0820 0.9000 2.4596 2.3579 0.1017 1.0000 2.7183 2.5937 0.1245 圖1 h=0.05時(shí)精確解與歐拉法數(shù)值解的圖像當(dāng)h=0.0

9、5時(shí)，運(yùn)行結(jié)果：（圖1見上）步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.0500 1.0513 1.0500 0.0013 0.1000 1.1052 1.1025 0.0027 0.1500 1.1618 1.1576 0.0042 0.2000 1.2214 1.2155 0.0059 0.2500 1.2840 1.2763 0.0077 0.3000 1.3499 1.3401 0.0098 0.3500 1.4191 1.4071 0.0120 0.4000 1.4918 1.4775 0.0144 0.4500 1.5683 1.5513

10、0.0170 0.5000 1.6487 1.6289 0.0198 0.5500 1.7333 1.7103 0.0229 0.6000 1.8221 1.7959 0.0263 0.6500 1.9155 1.8856 0.0299 0.7000 2.0138 1.9799 0.0338 0.7500 2.1170 2.0789 0.0381 0.8000 2.2255 2.1829 0.0427 0.8500 2.3396 2.2920 0.0476 0.9000 2.4596 2.4066 0.0530 0.9500 2.5857 2.5270 0.0588 1.0000 2.7183

11、 2.6533 0.06502、用梯形法求解該問題當(dāng)h=0.2時(shí)，運(yùn)行結(jié)果：步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.2000 1.2214 1.2200 0.0014 0.4000 1.4918 1.4884 0.0034 0.6000 1.8221 1.8158 0.0063 0.8000 2.2255 2.2153 0.0102 1.0000 2.7183 2.7027 0.0156當(dāng)h=0.1時(shí)，運(yùn)行結(jié)果：步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.1000 1.1052 1.1050 0.0002

12、0.2000 1.2214 1.2210 0.0004 0.3000 1.3499 1.3492 0.0006 0.4000 1.4918 1.4909 0.0009 0.5000 1.6487 1.6474 0.0013 0.6000 1.8221 1.8204 0.0017 0.7000 2.0138 2.0116 0.0022 0.8000 2.2255 2.2228 0.0028 0.9000 2.4596 2.4562 0.0034 1.0000 2.7183 2.7141 0.0042當(dāng)h=0.05時(shí)，運(yùn)行結(jié)果：（見下圖2）步長h 精確解u 數(shù)值解u 誤差估計(jì)O(h) 0 1.00

13、00 1.0000 0 0.0500 1.0513 1.0513 0.0000 0.1000 1.1052 1.1051 0.0000 0.1500 1.1618 1.1618 0.0001 0.2000 1.2214 1.2213 0.0001 0.2500 1.2840 1.2839 0.0001 0.3000 1.3499 1.3497 0.0002 0.3500 1.4191 1.4189 0.0002 0.4000 1.4918 1.4916 0.0002 0.4500 1.5683 1.5680 0.0003 0.5000 1.6487 1.6484 0.0003 0.5500 1

14、.7333 1.7329 0.0004 0.6000 1.8221 1.8217 0.0004 0.6500 1.9155 1.9150 0.0005 0.7000 2.0138 2.0132 0.0006 0.7500 2.1170 2.1164 0.0006 0.8000 2.2255 2.2248 0.0007 0.8500 2.3396 2.3388 0.0008 0.9000 2.4596 2.4587 0.0009 0.9500 2.5857 2.5847 0.0010 1.0000 2.7183 2.7172 0.0011圖1 h=0.05時(shí)精確解與梯形法數(shù)值解的圖像3、歐拉法與

15、梯形法的比較不妨以h=0.025作為依據(jù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見下表1：表1 h=0.025歐拉法與梯形法的比較步長精確解歐拉數(shù)值解歐拉絕對誤差梯形數(shù)值解梯形絕對誤差0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0250 1.0253 1.0250 0.0003 1.0253 0.0000 0.0500 1.0513 1.0506 0.0006 1.0513 0.0000 0.0750 1.0779 1.0769 0.0010 1.0779 0.0000 0.1000 1.1052 1.1038 0.0014 1.1052 0.0000 0.1250 1.1331

16、 1.1314 0.0017 1.1331 0.0000 0.1500 1.1618 1.1597 0.0021 1.1618 0.0000 0.1750 1.1912 1.1887 0.0026 1.1912 0.0000 0.2000 1.2214 1.2184 0.0030 1.2214 0.0000 0.2250 1.2523 1.2489 0.0035 1.2523 0.0000 0.2500 1.2840 1.2801 0.0039 1.2840 0.0000 0.2750 1.3165 1.3121 0.0044 1.3165 0.0000 0.3000 1.3499 1.344

17、9 0.0050 1.3498 0.0000 0.3250 1.3840 1.3785 0.0055 1.3840 0.0000 0.3500 1.4191 1.4130 0.0061 1.4190 0.0001 0.3750 1.4550 1.4483 0.0067 1.4549 0.0001 0.4000 1.4918 1.4845 0.0073 1.4918 0.0001 0.4250 1.5296 1.5216 0.0080 1.5295 0.0001 0.4500 1.5683 1.5597 0.0087 1.5682 0.0001 0.4750 1.6080 1.5987 0.00

18、94 1.6079 0.0001 0.5000 1.6487 1.6386 0.0101 1.6486 0.0001 0.5250 1.6905 1.6796 0.0109 1.6904 0.0001 0.5500 1.7333 1.7216 0.0117 1.7332 0.0001 0.5750 1.7771 1.7646 0.0125 1.7770 0.0001 0.6000 1.8221 1.8087 0.0134 1.8220 0.0001 0.6250 1.8682 1.8539 0.0143 1.8681 0.0001 0.6500 1.9155 1.9003 0.0152 1.9154 0.0001 0.6750 1.9640 1.9478 0.0162 1.9639 0.000