數(shù)學建模：最小二乘擬合實驗

1、 數(shù)學建模期末實驗作業(yè) 院 系：數(shù)學學院 專 業(yè)：信息與計算科學 年 級：2014級 試題編號：37胡克定律的綜合評價分析背景摘要：利用一個打蛋器和一個物理學公式，毀掉一面六英寸厚的承重墻，這么天方夜譚的事你能相信嗎？但它卻真的發(fā)生了！越獄這一電視劇相信很多人都耳熟，即使沒看過里面的內(nèi)容，但應該都曾經(jīng)聽過它的大名。在越獄第一季第六集中，Michael要通過地下管道爬到醫(yī)務室的下面，但是一條重要通道是被封死的，因此必須要把這個封死的墻破壞掉，由于是混凝土結(jié)構(gòu)，因此破壞起來很難，Michael從紋身上拓下魔鬼的畫像，投影在掩住管道入口的墻上，用“胡克定律”計算出最佳位置，再用小巧的打蛋器在承重墻上

2、鉆出了幾個小洞，最后借助這幾個小洞毀掉了這堵承重墻。相信大多數(shù)人都覺的很夢幻很不科學，但事實就是這樣的令人驚訝。搜狐娛樂曾經(jīng)報道過，有越獄粉絲不相信這一情節(jié)，在現(xiàn)實生活中進行實驗，結(jié)果真的重現(xiàn)了“胡克定律”鑿墻這一情節(jié)。胡克定律的表達式為F=k·x或F=k·x，其中k是常數(shù)，是物體的勁度（倔強）系數(shù)。在國際單位制中，F(xiàn)的單位是牛，x的單位是米，它是形變量（彈性形變），k的單位是牛/米。倔強系數(shù)在數(shù)值上等于彈簧伸長（或縮短）單位長度時的彈力。彈性定律是胡克最重要的發(fā)現(xiàn)之一，也是力學最重要基本定律之一。在現(xiàn)代，仍然是物理學的重要基本理論。胡克的彈性定律指出：彈簧在發(fā)生彈性形變時

3、，彈簧的彈力Ff和彈簧的伸長量（或壓縮量）x成正比，即F= -k·x。k是物質(zhì)的彈性系數(shù)，它由材料的性質(zhì)所決定，負號表示彈簧所產(chǎn)生的彈力與其伸長（或壓縮）的方向相反。但當我們進行多次實驗，便會發(fā)現(xiàn)隨著F的逐步增大，便不再服從胡克定律。為此我們應當運用插值與擬合的內(nèi)容，探索更加準確的公式。一、建模問題1.問題提出1.1 問題背景彈簧在壓力F 的作用下伸長x，一定范圍內(nèi)服從胡克定理：F與x成正比，即F=kx。現(xiàn)在得到下面一組F，x數(shù)據(jù)，并在（x，F(xiàn)）坐標下作圖，可以看到當F大到一定數(shù)據(jù)值后，就不服從這個定律了。表1-1X1247912131517F1.53.96.611.715.618.

4、819.620.621.11.2 問題提出試根據(jù)上述所給出的數(shù)據(jù)及已知的胡克公式，解決一下問題：（1）試由數(shù)據(jù)確定k（2）給出不服從胡克定理時的近似公式1.3 問題分析這是一道關(guān)于彈簧勁度系數(shù)的問題，對于此類建模有實際的價值，而且也可以讓我們拓寬物理學習的視野，很有價值。二、模型假設(shè)通過閱讀題目與查閱資料，我們可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)的值是隨著X的改變而改變的，當X小于某一值時，F(xiàn)遵循胡克定律，而當X大于某一值時，F(xiàn)便不再遵循胡克定律，故我們可以提出以下假設(shè)。假設(shè)1：當X<9時，F(xiàn)遵循胡克定律。假設(shè)2：當X>9時，F(xiàn)不遵循胡克定律。三、模型建立 已知胡克定律為：F=KX，但通過簡單的計算題目中

5、所給的數(shù)據(jù)，便會發(fā)現(xiàn)K的值并非固定值，我們可假設(shè)F=KX中還有第三個未知量S。故建立模型公式：F=KX+S運用數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第四版）7.4.1線性最小二乘擬合內(nèi)容，在matlab程序上可進行求解。四、符號說明表4-1 符號名稱符號含義f彈簧受到的壓力數(shù)值k彈簧的彈勁系數(shù)x彈簧增加的距離S胡克定律中的未知數(shù)值五、模型求解解：（1）試由數(shù)據(jù)確定k輸入以下程序：x=0 1 2 4 7 9 12 13 15 17;f=0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1;k=f/x可得結(jié)果：k =1.4377（2）給出不服從胡克定理時的近似公式：輸入以下程序：x

6、=0 1 2 4 7 9 12 13 15 17;f=0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1;a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k+',x,z,'r')運行結(jié)果：a =1.3340 1.2678可得圖5-2-1：圖5-2-1通過圖5-2-1，可以看到當彈簧伸長10個單位長度后，擬合的情況并不好，偏差較多，且用計算結(jié)果得出的公式F=1.3340X+1.2678與胡克定律也相差甚遠，故可以根據(jù)圖5-1，將十個數(shù)據(jù)分為兩組來進行驗算。先取前六個數(shù)據(jù)的值進行線性擬合：輸入程序

7、：x=0 1 2 4 7 9;f=0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6;a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k+',x,z,'r')可得結(jié)果：a =1.7085 0.0008可得圖5-2-2：圖5-2-2通過圖5-2-2，可以看到擬合良好，且0.008可以忽略不計，故可以用F=1.7085X來表示力和彈簧伸長的關(guān)系，該公式較符合胡克定律。接下來對后面的四個數(shù)據(jù)進行二次擬合來觀察效果：輸入程序:x=12 13 15 17;f=18.8 19.6 20.6 21.1;a=polyfit(x,f,2)z=poly

8、val(a,x);plot(x,f,'k+',x,z,'r')可得結(jié)果：a = -0.0732 2.5790 -1.5834可得圖5-2-3：圖5-2-3通過圖5-2-3可以看出，當才用后四個數(shù)據(jù)來進行擬合時，擬合情況較為準確，可以接受，近似公式為F=-0.0732+2.5790X-1.5834六、結(jié)果分析通過運用matlab分別進行三次擬合，可以發(fā)現(xiàn)三次擬合的結(jié)果大不相同。第一次將所有數(shù)據(jù)進行擬合，擬合的情況并不好，偏差較多，得出的公式與胡克定律也相差甚遠；第二次按照模型假設(shè)，只采用0 1 2 4 7 9這六個數(shù)據(jù)進行擬合，擬合情況較為良好，所得到的公式也極為

9、接近胡克定律；第三次同樣按照模型假設(shè)，采用12 13 15 17這四個數(shù)據(jù)進行擬合，擬合情況同樣良好，且所得公式也符合我們的模型假設(shè)。綜合三次擬合，現(xiàn)在可以解答第二步所建立的模型假設(shè)。假設(shè)1：當X<9時，F(xiàn)遵循胡克定律。假設(shè)1結(jié)果：當X<9時，F(xiàn)遵循胡克定律，其公式為F=1.7085X假設(shè)2：當X>9時，F(xiàn)不遵循胡克定律。假設(shè)2結(jié)果：當X>9時，F(xiàn)不遵循胡克定律，其近似公式為近似公式為F=-0.0732+2.5790X-1.5834七、實驗心得在進行建模和仿真分析時，人們經(jīng)常面臨用已知系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)應用數(shù)學模型描述對應系統(tǒng)，即對數(shù)據(jù)進行擬合。擬合的目的是尋找給定的曲線（直

10、線），它在某種準則下最佳的擬合數(shù)據(jù)。常用的擬合方法之一是多項式的最小二乘擬合，其準則是最小誤差平方和準則，所用的擬合曲線為多項式。在本次建模實驗中，我們所用到的方法就是是線性最小二乘擬合，通過這次實驗，使得我掌握了用線性最小二乘擬合建立回歸數(shù)學模型（包括參數(shù)估計和模型建立），并通過幾個數(shù)據(jù)擬合的回歸分析來判斷曲線（直線）擬合的精度，判斷模型建立是否正確。八、參考文獻類別著錄項目專著數(shù)學建模與數(shù)學實驗/趙靜，但琦主編.4版北京：高等教育出版社，2014.8九、附錄附錄A：其實除我們所熟知的F=KX這一簡單的胡克定律，還有一個廣義的胡克定律，其內(nèi)容為：在材料的線彈性范圍內(nèi)（見下圖的材料應力應變曲線的比例極限范圍內(nèi)），固體的單向拉伸變形與所受的外力成正比；也可表述為：在應力低于比例極限的情況下，固體中的應力與應變成正比，即=，式中E為常數(shù)，稱為彈性模量或楊氏模量。把胡克定律推廣應用于三向應力和應變狀態(tài)，則可得到廣義胡克定律。圖