對(duì)幾何計(jì)算的一些思考

1、通化師范學(xué)院本 科 生 畢 業(yè) 論 文（ 2015 屆 ）題 目： 對(duì)幾何計(jì)算的一些思考 系 別： 數(shù) 學(xué) 學(xué) 院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 二 班 作者姓名： 劉 霄 霄學(xué)號(hào)： 201106010222 指導(dǎo)教師： 趙建紅 職稱： 副教授 學(xué)歷： 本科 論文成績(jī)： 2014 年 12 月 目 錄摘 要.IIAbstract.II1引言.12幾何計(jì)算在綜合題型的中主要特點(diǎn).13向量的方法平面幾何問(wèn)題的應(yīng)用.14幾何量的代數(shù)表示.3 4.1基本、高級(jí)、有理不變量.3 4.2長(zhǎng)度,面積,角度:有理不變量的出現(xiàn).35幾何代數(shù)語(yǔ)言.46引入基本幾何基.47實(shí)踐與應(yīng)用.4 7.1用規(guī)則的拓?fù)溥\(yùn)

2、算自動(dòng)求取幾何基序列.5 7.2中考幾何計(jì)算題的求解方法.58結(jié)束語(yǔ).5致謝語(yǔ).6參考文獻(xiàn).6指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ).評(píng)閱人評(píng)語(yǔ).對(duì)幾何計(jì)算的一些思考數(shù)學(xué)系2011級(jí)2班 劉 霄 霄摘 要：“代數(shù)”與“幾何”的重大討論已經(jīng)延續(xù)了幾個(gè)世紀(jì),研究了幾何問(wèn)題代數(shù)化給人們帶來(lái)的問(wèn)題；從人類已有的認(rèn)知方面去尋找?guī)缀螁?wèn)題的幾何化道路；在研究幾何問(wèn)題的同時(shí),怎么樣抓住幾何問(wèn)題的特點(diǎn).在解決平面幾何問(wèn)題時(shí)利用向量的方法怎么樣找出問(wèn)題中的向量幾何,以及向量在幾何中的應(yīng)用. “幾何數(shù)”和“幾何基”,構(gòu)造出一個(gè)幾何問(wèn)題幾何化的結(jié)構(gòu)框架,同時(shí)為幾何計(jì)算奠定了基礎(chǔ),提供實(shí)施計(jì)劃.幾何中的基本、高級(jí)以及有理不變量,基在仿射幾何中的

3、運(yùn)算,及其與有理多項(xiàng)式的異同.在多維空間中的應(yīng)用,幾何在實(shí)踐中的應(yīng)用,本文敘述了用規(guī)則的拓?fù)溥\(yùn)算自動(dòng)求取幾何基序列以及中考中幾何計(jì)算題的求解方法,使得本文結(jié)合理論與實(shí)際.關(guān)鍵詞:幾何計(jì)算;幾何代數(shù)化;幾何基;幾何數(shù)Some Views on Geometry ComputingClass2, 2011,College of Mathematics Liu XiaoxiaoAbstract：“Major discuss algebra” and “geometry” has been for centuries,has studied the geometry problem algebraic

4、al gave rise to the problem;geometric road to find the geometric problem form the perspective of human existing in the study of geometric problems;at the same time,how to seize the characteristics of geometric problems.In solving the problems in plane geometry by vector method is how to find out the

5、 vector geometry problems, as well as the vector in geometry. "Geometry" and "geometry", constructs the framework of a geometric problem geometry, and laid the foundation for the geometric calculation, provide implementation plan geometry in the basic, advanced and rational invar

6、iants, base in affine geometry calculation, and the differences between the rational polynomial. Application in multidimensional space, the application of geometry in practice, this paper describes a method for solving topological rules automatically calculate the geometric and geometric base sequen

7、ce and the senior high school entrance examination in the problem of calculation, makes the combination of theory and practice.Key words： geometry computing;geometry algebraization;primary geometric functions;geometric numeric-III-1引言數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的“形”與“數(shù)”的一門重要學(xué)科科學(xué),在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中數(shù)與形是相輔相成的,但是也是獨(dú)立存在的.幾何與代數(shù)都是數(shù)學(xué)的一部

8、分,幾何主要研究的是形,代數(shù)主要研究的是數(shù).到了17世紀(jì)初,笛卡爾(Descartes)坐標(biāo)幾何創(chuàng)立了,實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的緊密結(jié)合.笛卡爾(Descartes)在幾何學(xué)中引用代數(shù)中形式化的符號(hào)體系來(lái)表示其中的方式方法,并因此使得幾何間的計(jì)算也能以代數(shù)的方式運(yùn)用并體現(xiàn)出來(lái),人們稱這一概念為“幾何代數(shù)化”.經(jīng)過(guò)時(shí)間的積累,大多數(shù)的人已經(jīng)習(xí)慣運(yùn)用這種方式.因此,這個(gè)過(guò)程不知不覺(jué)得將幾何作用的范圍縮小了,找不到幾何的自然屬性了.于是，17世紀(jì)后半葉,微分學(xué)和積分學(xué)的創(chuàng)建人之一，偉大數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)曾提出:“怎樣才能創(chuàng)造出一種幾何語(yǔ)言,可以直接的對(duì)幾何直接進(jìn)行計(jì)算和推理呢?”他希望能有一種可

9、以讓我們對(duì)幾何體進(jìn)行直接處理幾何計(jì)算,并稱其為“幾何代數(shù)”,它的元素則稱為“幾何數(shù)”1。這就是所謂的“回歸幾何”即運(yùn)用幾何的方法來(lái)解決幾何中的存在的一系列問(wèn)題。那么,代數(shù)化是不是解決幾何計(jì)算這一嚴(yán)峻問(wèn)題的唯一出路呢?幾何本身的自然屬性能否得到真正的自然回歸，從而，實(shí)現(xiàn)萊布尼茨的偉大設(shè)想理念呢? 一般來(lái)說(shuō),幾何中問(wèn)題基本上都是關(guān)于空間問(wèn)題,幾何學(xué)科就是用空間概念來(lái)解決空間問(wèn)題,通常用幾何間的相互(空間)關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題,人們總是試圖尋找將一些問(wèn)題歸結(jié)為幾何形式的方法,這樣就可以利用人類的直覺(jué)去直觀地解決所遇到的幾何問(wèn)題.因此,本文提出了“幾何問(wèn)題幾何化”,也就是從幾何的角度來(lái)考慮幾何問(wèn)題,用代數(shù)的

10、方法來(lái)解決幾何方案.全面闡述了幾何創(chuàng)建、幾何表示及幾何計(jì)算中的有關(guān)理論,特別是在幾何奇異問(wèn)題中的處理策略. 2幾何計(jì)算在綜合題型中的主要特點(diǎn)幾何計(jì)算型的綜合題的主要有包含邏輯關(guān)系復(fù)雜,覆蓋面廣,知識(shí)點(diǎn)多,解法靈活等特點(diǎn).這類題型著重考查學(xué)生對(duì)三角形、四邊形、三角函數(shù)、圓等的幾何知識(shí)的理解以及掌握程度,以及熟練的應(yīng)用方程、轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想來(lái)探究問(wèn)題和分析問(wèn)題能力以及應(yīng)用綜合的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.因此,學(xué)生在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)條件解題的基礎(chǔ)之上,找出隱含在幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系及其位置關(guān)系,并在復(fù)雜的背景下對(duì)其進(jìn)行辨認(rèn)并近一步將基本圖形分解,最后,通過(guò)合

11、理添加輔助線來(lái)補(bǔ)全或者構(gòu)造出基本圖形,以及善于聯(lián)想之前所學(xué)的知識(shí),并正確地應(yīng)用,將問(wèn)題合理地歸花和解析,以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.3向量的方法在平面幾何問(wèn)題的應(yīng)用 運(yùn)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的時(shí)候,首先要了解向量的所有性質(zhì)并理解其意義,特別是在運(yùn)用向量等式、向量等式的恒等變換以及向量線性關(guān)系的時(shí)候,要考慮到這樣做的作用.下面我們通過(guò)例題了解向量在平面幾何中的運(yùn)用.例 已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,其焦點(diǎn)在軸上.斜率為1,并且經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),且有與=（3,-1）共線.（1） 計(jì)算橢圓離心率； (2）設(shè)為橢圓上任意一個(gè)點(diǎn),并且,證明2+2為定值.解：（1）設(shè)橢圓方程為,則直線的方程為

12、代入橢圓方程并化簡(jiǎn),結(jié)果為：令則由,=（3，-1）且與共線得,又即所以 （2）證明：由（1）知,所以橢圓可化為設(shè),由已知得在橢圓上即 由（1）得 又 代入 得故為定值,定值是1. 點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線方程、平面向量以及橢圓幾何性質(zhì)等的基礎(chǔ)知識(shí)的,也考查了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及綜合推理能力.在這道題中向量是發(fā)揮了重要的作用,充分的利用了向量的性質(zhì).4幾何量的代數(shù)表示4.1基本、高級(jí)、有理不變量在數(shù)學(xué)教學(xué)中,括號(hào)就是行列式,也是點(diǎn)的向量在齊次坐標(biāo)下的表達(dá)方式.也是射影幾何中的基本不變量.在仿射幾何中,這些行列式的維數(shù)基本上都是不同的,與他們所處的空間息息相關(guān).因此,它們可以用來(lái)表示各自

13、的二維幾何和三維幾何中的平行四邊形或者是平行六面體的體積等等.也就是說(shuō),只要向量空間中含有內(nèi)積結(jié)構(gòu),其中的向量以及其內(nèi)積的量基本上保持不變,這就是基本不變量.而代數(shù)中的不變量是將上面提到的基本上保持不變的量作為基,通過(guò)數(shù)學(xué)中的“四則運(yùn)算”即加、減、乘、除構(gòu)造的.必然的,雖然都是加減乘除,但都會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)那就是他們是一樣的嗎？意義也是否是一樣的呢？事實(shí)上代數(shù)不變量的基本運(yùn)算要復(fù)雜的多,意義與作用肯定也是不相同的.數(shù)學(xué)教學(xué)中將那些能夠滿足代數(shù)生成元的基本不變量的需要的代數(shù)關(guān)系的多項(xiàng)式稱之為“”.例如,射影平面上有五個(gè)點(diǎn)即1,2,3,4,5,那么根據(jù)這五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在齊次坐標(biāo)下的行列式,也就是括號(hào)=

14、就滿足了所謂的 關(guān)系-+ =0 (1)式(1)的左端就是一個(gè).代數(shù)不變量的基本運(yùn)算因?yàn)檫@樣的關(guān)系而變得相對(duì)較為復(fù)雜,因而有很多的問(wèn)題還沒(méi)有找到合適答案.我們將基本不變量的多項(xiàng)式函數(shù)就稱之為高級(jí)不變量,如果要想新生成一個(gè),那么需要把高級(jí)不變量作為一個(gè)單獨(dú)的元加入到基本不變量的系統(tǒng)里,加進(jìn)去后高級(jí)變量與基本不變量產(chǎn)生的多項(xiàng)式關(guān)系就是了.這樣做有兩個(gè)重要的意義:還原計(jì)算結(jié)果簡(jiǎn)化計(jì)算的幾何意義.首先是高級(jí)不變量需有明確的幾何意義,實(shí)際問(wèn)題中使用的高級(jí)不變量都是在計(jì)算過(guò)程中和幾何表示中自然出現(xiàn)的多項(xiàng)式;其次,是高級(jí)不變量應(yīng)該需要按照不同的等級(jí)來(lái)分配,級(jí)別較高的不變量應(yīng)該是級(jí)別較低的不變量的多項(xiàng)式函數(shù),所

15、以級(jí)別最低的高級(jí)不變量就是基本不變的量;最后可以用低級(jí)不變量的多項(xiàng)式函數(shù)反映高級(jí)不變量在向量變?cè)械囊环N特殊的性質(zhì).4.2長(zhǎng)度,面積,角度:有理不變量的出現(xiàn) 對(duì)于有理不變量中的一維幾何來(lái)說(shuō),兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的多項(xiàng)式函數(shù)就是兩點(diǎn)之間的距離.距離可以是多項(xiàng)式函數(shù),但在平面幾何以及空間幾何中距離不能是多項(xiàng)式函數(shù),面積和體積才是多項(xiàng)式幾何.所以三角形面積與四面體體積就可以說(shuō)是代數(shù)不變量.如果維數(shù)增大了,這樣的不變量只能是高維坐標(biāo)下的無(wú)理函數(shù),因此不能稱為代數(shù)不變量.那么,有理不變量的比值始終是與增加維數(shù)無(wú)關(guān)的,因而是有理不變量9.在角度方面,向角就是表示一個(gè)二維旋轉(zhuǎn).在角度這方面有些是已經(jīng)確定了,也有沒(méi)有

16、明確規(guī)定的.在距離方面就沒(méi)有明確規(guī)定.但有3個(gè)關(guān)于角度的事實(shí)有:1)3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成角度,反三角函數(shù)是超越的角度.2)角度的正弦、余弦函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)都是無(wú)理不變量.另外,他們乘角的2個(gè)邊長(zhǎng)是關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的多項(xiàng)式函數(shù)也就是兩個(gè)邊的內(nèi)積和外積.3)對(duì)于二維的幾何問(wèn)題來(lái)講,角度的正切函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)都是有理不變量.但是對(duì)于大于二維的幾何問(wèn)題來(lái)講,正切函數(shù)是無(wú)理不變量.對(duì)于同一平面中的兩個(gè)角度的正切函數(shù)的比值是有理不變量,但是對(duì)于互為異面的兩個(gè)角度的正切函數(shù)的比值卻是無(wú)理不變量.可見(jiàn),對(duì)于二維幾何來(lái)講,有理不變量只有角度的正切函數(shù).正切函數(shù)對(duì)角度的刻畫可以精確到只相差的整數(shù)倍.被稱為“全角”1

17、0是平面上有向角度模掉的等價(jià)類.若僅利用代數(shù)方程卻不利用不等式,所以在代數(shù)中只能將角度發(fā)展到全角不能再往前發(fā)展了.5幾何代數(shù)語(yǔ)言 對(duì)于我們經(jīng)常運(yùn)用的經(jīng)典幾何,怎樣才能找到一種適用于所有幾何問(wèn)題的計(jì)算?如果我們選擇運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行幾何的計(jì)算,那么主要通過(guò)三個(gè)步驟來(lái)解決問(wèn)題.對(duì)所給出的幾何的代數(shù)表示是運(yùn)用建模.對(duì)于我們所面對(duì)的同一個(gè)幾何問(wèn)題同樣也可以采用各種各樣的代數(shù)來(lái)進(jìn)行表示.那么所說(shuō)的以“真正的幾何語(yǔ)言”對(duì)幾何進(jìn)行計(jì)算,我們就需要對(duì)代數(shù)的表示進(jìn)行各方面的要求,例如:要使其沒(méi)有任何外部的參照物.建構(gòu)代數(shù)計(jì)算的正確合理的處理算法.我們要求所給出的代數(shù)表示能對(duì)幾何不變量中的代數(shù)進(jìn)行高效計(jì)算,最后

18、得出的結(jié)果需要從幾何形式轉(zhuǎn)換成代數(shù)形式. 從數(shù)學(xué)理論的發(fā)展方面來(lái)看,大家已經(jīng)很清楚地了解到經(jīng)典幾何中的基本要素包括:幾何關(guān)系、幾何體、幾何量、幾何變換等.然而它們的有效表示主要還是依賴于協(xié)變量,也就是那所謂的更高維數(shù)的幾何空間中的不變量.因此,要想找到幾何計(jì)算的核心,只要構(gòu)造出合適的協(xié)變量,而幾何計(jì)算的核心就是解決不變量的代數(shù)問(wèn)題,也就是符號(hào)計(jì)算問(wèn)題.經(jīng)典幾何中有一種根據(jù)統(tǒng)一模式構(gòu)成的協(xié)變量代數(shù),我們將它稱之為幾何代數(shù).幾何代數(shù)有四大基本成分具體如下:一是關(guān)系幾何體系的格拉斯曼結(jié)構(gòu);二是與幾何關(guān)系相關(guān)的克利福德乘法;三是關(guān)于幾何變換的旋量或張量;四是表示幾何量的括號(hào).在這里應(yīng)該對(duì)于括號(hào)系統(tǒng)、格

19、拉斯曼結(jié)構(gòu)、協(xié)變量代數(shù)等作一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹. 基本協(xié)變量、協(xié)變量之間的乘法以及它們之間的代數(shù)關(guān)系是協(xié)變量代數(shù)的三個(gè)基本的成分.現(xiàn)在以平面中的仿射幾何為例子,表示點(diǎn)和方向的向量是基本協(xié)變量,表示直線的向量是2-量以及表示平面的向量是3-向量,這三種向量結(jié)合起來(lái)就組成了格拉斯曼結(jié)構(gòu);協(xié)變量之間的代數(shù)關(guān)系是任意4個(gè)向量(或2-向量)之間的線性關(guān)系,4個(gè)向量之間是相互依賴的.協(xié)變量代數(shù)是根據(jù)克拉默法則得出的. 格拉斯曼結(jié)構(gòu)是一種代數(shù)結(jié)構(gòu),是表示基本的幾何體系.它具有分層結(jié)構(gòu),不僅與凱萊交積、格拉斯曼外積相容,還與克利福德對(duì)偶運(yùn)算相容,所以這種結(jié)構(gòu)在這些代數(shù)運(yùn)算中是封閉的.例如,射影幾何、正交幾何和仿射幾

20、何中的所有點(diǎn)、線、面構(gòu)成的集合都具有格拉斯曼結(jié)構(gòu);共形幾何代數(shù)中的雙曲線與橢圓幾何中的所有點(diǎn)、直線、圓、平面、球組成的各種集合都具有格拉斯曼結(jié)構(gòu).應(yīng)用代數(shù)表示進(jìn)行幾何計(jì)算就是表示幾何量的括號(hào)系統(tǒng),不變量一般是采用抽象符號(hào)來(lái)表示,各種括號(hào)代數(shù)就是相應(yīng)的不變量系統(tǒng).6引入基本幾何基 在投影中,可以把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)換到平面問(wèn)題上,這是畫法幾何問(wèn)題中解決幾何元素間的度量和定位問(wèn)題的基本方法.在這個(gè)過(guò)程中會(huì)用到尺規(guī)作圖,可以歸納出大概10種基本的作圖問(wèn)題:已知點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)作一條直線、求條直線的交點(diǎn)、過(guò)定點(diǎn)作與已知直線平行的線、過(guò)定點(diǎn)作已知直線的垂直線、求分比點(diǎn)、求兩點(diǎn)之間的距離、已知圓心與半徑作圓、求直線與圓的

21、交點(diǎn)以及求兩圓的交點(diǎn)等等問(wèn)題.在三維幾何空間里,作圖的基本問(wèn)題包括:已知點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)作一直線、已知點(diǎn)作一平面、求直線與三角形的交點(diǎn)以及求直線與基本體元的交點(diǎn)(線)等問(wèn)題.用幾何代數(shù)化的方法建立二、三維基本幾何基,用這些高效、精確的幾何基序列建立更高一層次的幾何基.7實(shí)踐與應(yīng)用7.1用規(guī)則的拓?fù)溥\(yùn)算自動(dòng)求取幾何基序列利用交點(diǎn)的特征可以和環(huán)的方向性對(duì)二維和三維布爾運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)練的求取:求取所有在各邊界和對(duì)方各邊界之間的的交點(diǎn)(兩條直線求交幾何基),分析其交點(diǎn)的性質(zhì)并得到運(yùn)算的結(jié)果.可知,以某一個(gè)交點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行的組織算法是新環(huán)的,因?yàn)榄h(huán)的走向是不一樣的,是由交點(diǎn)的特征值根據(jù)運(yùn)算的性質(zhì)協(xié)助決定的,計(jì)算的工作量

22、并不多.并且,還可以利用其交點(diǎn)的特征值也可以較完美地處理二、三維布爾運(yùn)算中的重點(diǎn)、重邊等奇異問(wèn)題.7.2中考中幾何計(jì)算題的求解方法 幾何計(jì)算的思想方法是方程的思想方法.在此,關(guān)鍵是怎樣利用幾何圖形的度量性質(zhì)列出方程或方程組. 在初中的平面幾何中,列方程或方程組的基本方法大致是:(1)利用三角形(或著是多邊形)內(nèi)角和定理或著其推論列方程;(2)利用勾股定理列方程;(3)利用平行線分線段成比例定理或利用其推論列方程;(4)利用相似三角形或相似多邊形的性質(zhì)列方程;(5)利用圓幕定理(即相交弦定理、切割線定理和割線定理)或圓的其他度量性質(zhì)列方程;(6)根據(jù)三角形或梯形中位線定理列出方程;(7)利用基本

23、圖形的面積公式或面積關(guān)系列方程;(8)利用其他的幾何性質(zhì)或代數(shù)性質(zhì)列方程.8結(jié)語(yǔ) 從這百年來(lái)的幾何代數(shù)化之路來(lái)看,解析幾何學(xué)的核心思想成功的完成了利用代數(shù)的形式解決幾何問(wèn)題間的計(jì)算,也是一次將幾何問(wèn)題思考轉(zhuǎn)換為代數(shù)計(jì)算的嘗試,這無(wú)疑是對(duì)幾何的一個(gè)重大貢獻(xiàn).然而,它的發(fā)展使得代數(shù)基本上取代了經(jīng)典幾何的地位,導(dǎo)致失去了幾何本身的一些自然屬性,從而縮小了幾何的作用范圍.本文關(guān)于幾何計(jì)算理論的基本思想可以簡(jiǎn)單地歸結(jié)為:盡量從幾何的角度去考慮幾何問(wèn)題11.但這并非是要否定幾何代數(shù)化的地位,只是強(qiáng)調(diào)幾何的理論、思維對(duì)于處理幾何問(wèn)題有很大的作用,淡化幾何問(wèn)題的代數(shù)方法(“幾何基”也是封裝代數(shù)計(jì)算的一種方法)

24、,將幾何的本質(zhì)屬性挖掘出來(lái),對(duì)處理幾何問(wèn)題有很大的影響力.這就是所謂的“回歸幾何”,找回幾何本質(zhì),發(fā)揮人類最有力的直覺(jué)武器.致謝語(yǔ)成功的完成論文時(shí),我首先要感謝的是我的指導(dǎo)老師趙建紅老師.因?yàn)樵趯懻撐牡倪^(guò)程中趙建紅老師給我很多幫助,很感謝老師對(duì)我的悉心指導(dǎo).當(dāng)我有疑問(wèn)時(shí),老師總是耐心的在傍邊指導(dǎo)我.我的論文能成功的完成跟趙建紅老師的辛苦是密不可分的.在這之外我也感謝一直陪我的同學(xué)們,在這個(gè)過(guò)程中同學(xué)們也給過(guò)我很多幫助,在這之間我們相互鼓勵(lì),相互支持.感謝趙建紅老師和同學(xué)們的幫助.參考文獻(xiàn)1Atiyah M.二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)J.白承銘譯.數(shù)學(xué)譯林,2002(1):1-14.2Sturmfels B

25、.Algorithms in invariant theoryM.Wien:Springer,19933White N.Invariant methods in discrete and computational ge-ometryM.Dordrecht:Kluwer,19944Li H.Automated theorem proving in the homogeneous modelwith clifford bracket algebraC Dorst L,et al.Proceedingsof Applications of Geometric Algebra in Computer Science andEngineering,Birkhäuser,Boston,2002:69-785Li H.Clifford algebras and geometric computationM. ChenF,Wang D,Geometric Computation.Singapore:World Scien-tific,2004:221-2476Li H.Automated geometric theorem proving,Clifford bracketalgebra