高中數(shù)學等差數(shù)列教學設計

1、等差數(shù)列一、教學內(nèi)容分析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學 5（人教版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一， 它不僅有著廣泛的實際應用， 而且起著承前啟后的作用。一方面 , 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分； 另一方面 , 學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。 而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法通項公式和遞推公式的基礎上， 對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。 同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了 “聯(lián)想”、“類比”的思想方法。二、學生學習情況分析我所教學的學生是我校高二（ 2）班的學生，經(jīng)過一年的學習，大部分學

2、生知識經(jīng)驗已較為豐富， 他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段， 具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力， 但也有一部分學生的基礎較弱， 學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。三、設計思想1教法誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構(gòu)； 有利于突出重點，突破難點；有利于調(diào)動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學生的積極性。講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學內(nèi)容，抓住重點，突破難點。2學法引導學生首先從四個現(xiàn)實問題 （數(shù)數(shù)問題、

3、 女子舉重獎項設置問題、 水庫水位問題、儲蓄問題） 概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念； 接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式； 可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導。在引導分析時，留出“空白” ，讓學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。四、教學目標通過本節(jié)課的學習使學生能理解并掌握等差數(shù)列的概念， 能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列， 引導學生了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想， 會求等差數(shù)列的公差及通項公式，能在解題中靈活應用，初步引入“數(shù)學建模”的思想方法并能運用；并

4、在此過程中培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數(shù)與數(shù)列關系的前提下， 把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列， 培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。在解決問題的過程中培養(yǎng)學生主動探索、 勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神； 使學生認識事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維習慣。并通過一定的實例激發(fā)同學們的民族自豪感和愛國熱情。五、教學重點與難點重點：等差數(shù)列的概念。等差數(shù)列的通項公式的推導過程及應用。難點：理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關鍵：等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學過程教學

5、情境設計和學習任務學生活動設計意圖環(huán)節(jié)上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在日常生活傾聽課堂引入中，人口增長、教育貸款、存款利息創(chuàng)設等等這些大家以后會接觸得比較多的情景實際計算問題，都需要用到有關數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數(shù)列。由學生觀察分析并得出答案：觀察分析，發(fā)表各自的意見引向課題在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從 0 開始，每隔 5 數(shù)一次，可以得到數(shù)列： 0，5，_,_,_,_, 2000 年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了 7 個級別。其中較輕的 4 個級別體重組成數(shù)列（單位： kg）： 48，53， 58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)

6、質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位探索為 18cm，自然放水每天水位降低 2.5m，最低降至 5m。那么從開始放水算起，研究到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位： m）： 18，15.5 ， 13，10.5 ，8，5.5我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是： 本利和 =本金×（1+利率×寸期） . 例如，按活期存入 10 000 元錢，年利率是 0.72%。那么按照單利，5 年內(nèi)各年末的本利和分別是：年初本年末本利和時間金（元）（元）第 1 年10

7、 00010 072第 2 年10 00010 144第 3 年10 00010 216第 4 年10 00010 288第 5 年10 00010 360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列： 10 072 ，10 144 ，10 216 ， 10288，10 360 。思考：同學們觀察一下上面的這四個觀察分析并得出答案 :通過分析，激數(shù)列：引導學生觀察相鄰兩項間發(fā)學生學習0， 5， 10，15，20， 的關系，得到：的探究知識48，53，58， 63 對于數(shù)列， 從第 2 項起，的興趣，引導18，15.5 ，13，10.5 ，8，5.5 每一項與前 一項的 差都等于揭示數(shù)列的10 072

8、，10 144 ，10 216 ， 10 288 ，5 ；共性特點。10 360對于數(shù)列， 從第 2 項起，看這些數(shù)列有什么共同特點呢？每一項與前 一項的 差都等于5 ；發(fā)現(xiàn)對于數(shù)列， 從第 2 項起，規(guī)律每一項與前 一項的 差都等于-2.5 ；對于數(shù)列， 從第 2 項起，每一項與前 一項的 差都等于72 ；由學生歸納和概括出， 以上四個數(shù)列從第 2 項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點）。 等差數(shù)列的概念 學生認真閱讀課本相關概念，通過學生自對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔钫页鲫P鍵字。己閱讀課本，數(shù)列。請同學們根據(jù)我們剛才分析等找出關鍵字，差數(shù)

9、列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下提高學生的個定義：閱讀水平和等差數(shù)列： 一般地，如果一個數(shù)列思維概括能從第 2 項起，每一項與它的前一項的力，學會抓重總結(jié)差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就點。提高叫做等差數(shù)列 。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 公差，公差通常用字母d 表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5 ， 72。提問：如果在 a與 b 中間插入一個數(shù) A，由學生回答：因為a，A，b使 a ， A， b 成等差數(shù)列數(shù)列，那么A組成了一個等差數(shù)列，那么由應滿足什么條件？定義可以知道： A-a=b-A讓學生參與到知識的形成過程中，獲所以就有a bA2由三個數(shù) a， A， b 組成的等

10、差數(shù)列可深入探究， 得到更一般化的以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A 結(jié)論叫做 a 與 b 的等差中項 。不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第 2 項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數(shù)列： 1，3，5，7，9，11， 13中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是 7和 11的等差中項，5和 13的等差中項?？磥?，a2a4a1a5 , a4a6a3a7從而可得在一等差數(shù)列中， 若 m+n=p+q則amana paq得數(shù)學學習的成就感。引領學習更深入的探究，提高學生的學習水平?？偨Y(jié)提高 等差數(shù)列的通項公式 對于以上的等差數(shù)列， 我們能不能用通項公式將它們表示出來

11、呢？這是我們接下來要學習的內(nèi)容。、我們是通過研究數(shù)列 an 的第 n 項與序號 n 之間的關系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學們根據(jù)通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。由學生經(jīng)過分析寫 出通項公學會發(fā)現(xiàn)規(guī)式：律，并加以總這個數(shù)列的第一項是 5，第 2結(jié)。項是 10（=5+5），第 3 項是 15（=5+5+5），第 4 項是 20（ =5+5+5+5），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 an 5n 這個數(shù)列的第一項是 48，第2 項是 53（=48+5），第 3 項是58（=48+5× 2），第 4 項是 63（ =48+5× 3），由此可以猜想得到這個數(shù)列

12、的通 項公式是an 48 5( n1) 這個數(shù)列的第一項是 18，第2 項是 15.5 （=18-2.5 ），第 3 項是 13（=18-2.5 ×2），第 4 項是 10.5 （=18-2.5 ×3），第 5 項是 8（=18-2.5 ×4），第 6 項是 5.5（=18-2.5 ×5）由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 an 18 2.5(n 1)這個數(shù)列的第一項是10072，第 2 項是 10144（=10172+72），第 3 項是 10216（ =10072+72×2），第 4 項是 10288（=10072+72×3），

13、第5項是10360（ =10072+72×4），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是 an1007272(n1)、那么，如果任意給了一個等差數(shù)引導學生根據(jù)等差數(shù)列的定列的首項 a1 和公差 d，它的通項公式是義進行歸納：什么呢？a2a1d ,a3a2d,(n 1)個等式a3d,a4引導學生進行理性分析與推導，從而得出公式?？偨Y(jié)提高思考：那么通項公式到底如何表達呢？得出通項公式 ：由此我們可以猜想得出：以 a1 為首項， d 為公差的等差數(shù)列 an 的通項公式為 an a1 ( n 1)d所以a2a1d,a3a2d,a4a3d,a2a1d,進一步的分a3a2d (a1d ) d a 2

14、d ,析。a4a3d (a12d ) d a 3d ,思考，并發(fā)表各自的意見。讓學生有自主思考的時空。也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項 a1 和公差 d，那么這個等差數(shù)列的通項 an 就可以表示出來了。例1、求等差數(shù)列8，5，2，的第讓兩個學生分別對這兩小題加讓學生參與20項 .以分析。課堂。 -401 是不是等差數(shù)列 -5 ，-9 ， -13 ，的項？如果是，是第幾項？應用鞏固分析：要求出第 20 項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿足

15、該數(shù)列的通項公式， 并且需要注意的是，項數(shù)是否有意義。解：由 a1 =8，d=5-8=-3 ，n=20，得 a20 8 (21 1) ( 3) 49由 a1 =-5 ，d=-9-（-5 ）=-4 ，得這個數(shù)列的通項公式為an5 4(n 1)4n 1, 由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù) n, 使得 -401=-4n-1 成立。解這個關于n 的方程，得n=100，即 -401 是這個數(shù)列的第100 項。例題評述：從該例題中可以看出，等 聆聽教師點評差數(shù)列的通項公式其實就是一個關于an 、 a1 、d、n（獨立的量有3 個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當判斷是

16、第幾項的項數(shù)時還應看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)， 如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。隨堂練習 ：課本 45 頁“練習”第 1 題； 完成練習通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。講練結(jié)合，有利提高學生的知識應用水平例 2某市出租車的計價標準為 1.2 解：根據(jù)題意，當該市出 學以致用，將元/km，起步價為 10 元，即最初的 4km 租車的行程大于或等于 4km時， 所 學知 識 應（不含 4 千米）計費 10 元。如果某人每增加 1km，乘客需要支付 1.2用到具體生乘坐該市的出租車去往 14km處的目的元 . 所以，我們可以建立一個等活中去，加深地，且一路暢通， 等候時間為 0，需

17、要差數(shù)列 an 來計算車費 .對概念的理支付多少車費？令 a1 =11.2 ，表示 4km 處解。的車費，公差 d=1.2 。那么當出租車行至 14km處時， n=11，此時需要支付車費a1111.2(111)1.223.2(元答：需要支付車費23.2 元。例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實 聆聽教師點評際問題的一個簡單應用，要學會從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識解決實際問題。隨堂練習 ：課本 45 頁“練習”第 2 題； 完成練習例3 已 知 數(shù)列 an 的 通項公式 為分析思考，然后分組討論，讓anpn q, 其中 p、q 為常數(shù)，且 p兩組學生代表發(fā)表 自己的見0，那么這個

18、數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？解。分析：判定 an 是不是等差數(shù)列，可解：取數(shù)列 an 中的任意通過教師點評，提高學生對關鍵問題的認知水平。講練結(jié)合，有利提高學生的知識應用水平培養(yǎng)學生分析問題的能力，在小組討論中提高組長的組織與歸納組內(nèi)成員想法的能力。以利用等差數(shù)列的定義，也就是看相鄰兩項 an與an 1 （ n 1），an an 1（ n 1）是不是一個與 n 無關求差得的常數(shù)。an an 1 ( pn q) p n 1) q探索研究課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？引導學生動手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標系中，畫出通項公式為an3n5 的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？在同

19、一個直角坐標系中，畫出函數(shù)y=3x-5 的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列anpnq 與一次函數(shù) y=px+q 的圖象之間有什么關系。分析： n 為正整數(shù)，當 n 取 1，2，3，時，對應的 an 可以利用通項公式求出。經(jīng)過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；畫出函數(shù) y=3x-5 的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當 x 在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應的點的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列 an pn q 的圖象是一次函數(shù) y=px+q 的圖象的一個子集，是 y=px+q 定義在正整數(shù)集上對應的點的集合。該處還可以引導學生從等差數(shù)列 an pn q 中的

20、p 的幾何意義去探究。pn q ( pn p q p 它是一個與 n 無關的數(shù) .所以 an 是等差數(shù)列。這個數(shù)列的首項 a1 p q, 公差 d p 。由此我們可以知道對于通項公式是形如 an pn q 的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù) p 就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.例題評述：通過這個例題我們知道判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個數(shù)列的通項公式是關于正整數(shù) n 的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。學生動手畫圖，并進行學習小組討論，發(fā)表見解。對所得結(jié)論進行更深入一步的探究，激發(fā)學生的學習興趣。通過學生動手作圖，并加以對比，讓學生體會數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關系。本節(jié)主要內(nèi)容

21、為：等差數(shù)列定義： 即 anan 1 d (n 課堂2)小結(jié) 等 差 數(shù) 列 通 項 公 式 ： ana1( n1)d (n 1)推導出公式： anan m dm()1、已知 an 是等差數(shù)列 .2a5a3a7 是否成立？2a5a1a9 呢？為什么？2anan 1an （1n 1）是否成立？據(jù)評價此你能得出什么結(jié)論？2anan kan （kn 1）是否成立？據(jù)設計此你又能得出什么結(jié)論？2、已知等差數(shù)列 an 的公差為 d. 求證： amandmn以學習小組為單位，在學習小學生自己小組中，各自歸納自己對這堂課結(jié)，使學生對的收獲，后由小組代表總結(jié)歸自己所學知納。識有更深刻的認識。作業(yè)是課堂的延續(xù)，除了檢驗學生對本節(jié)課知識的理解程度，還在于引導學生對本課知識的進一步探究，讓學生在更大的